Метод оценки прочности хрупких материалов на основе градиентной теории

На правах рукописи

САДИКОВ Павел Валерьевич

метод Оценки прочности хрупких

материалов на основе градиентной теории

Специальность 05.23.17 – Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Санкт-Петербург

2013

Диссертация выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» на кафедре сопротивления материалов.

Научный руководитель:	доктор технических наук, профессор Харлаб Вячеслав Данилович
Официальные оппоненты:	Рутман Юрий Лазаревич доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет», профессор кафедры строительной механики;
	Смирнов Владимир Игоревич доктор технических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения», профессор кафедры «Прочность материалов и конструкций»
Ведущая организация:	ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Защита состоится « 16 » мая 2013 года в 1400 часов на заседании диссертационного совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.223.03 при ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 190005, г. Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д.4, зал заседаний (аудитория 219).

Эл. почта: rector@spbgasu.ru

Тел/факс: (812) 316-58-72

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет».

Автореферат разослан «__» _______2013 г.

Ученый секретарь,

доктор технических наук,

профессор Кондратьева Лидия Никитовна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Проблема прочности является главной проблемой сопротивления материалов. Решая ее, в большой части задач используют напряжения, найденные методами теории упругости в силу относительной простоты ее аппарата. При такой постановке задачи возникают, в том числе, следующие вопросы фундаментального характера: во-первых, оценка локальной мгновенной прочности упругого тела при заданных в рассматриваемой точке напряжениях и характеристиках материала (теории, отвечающие на этот опрос, называются классическими); во-вторых, учет так называемого градиентного эффекта прочности; в-третьих, определение прочности тела в сингулярных точках, где напряжения, найденные упругим расчетом, бесконечны.

Ни один из этих вопросов не решен исчерпывающим образом. Вместе с тем, от обоснованного их решения непосредственно зависит экономичное проектирование конструкций.

Диссертация посвящена учету градиентного эффекта прочности и определению прочности в сингулярных точках. При этом классические теории прочности служат базой для обобщений.

Степень изученности проблемы. Градиентный эффект экспериментально обнаружен в начале XX века. Он состоит в том, что прочность в данной точке тела зависит не только от напряженного состояния в этой точке, но и от скорости изменения напряженного состояния по координатам: росту градиента напряженного состояния отвечает увеличение прочности тела. Данный эффект может быть значительным даже в рядовых случаях, что не позволяет не принимать его в расчет. Например, при изгибе бетонных балок экспериментально установлено повышение прочности на 37-95% в зависимости от высоты сечения.

Опытные данные 20-30-х годов не могу считаться достоверными из-за неразвитой технической базы, однако все они качественно подтверждают влияние градиентного эффекта на прочность. Можно выделить опыты О. Эйзелина, Г. Бирета, А. Тума и Ф. Вундерлиха, С. П. Тимошенко. На основе первых опытных данных предприняты попытки вывести теоретические зависимости, отражающие градиентный эффект. Среди них выделяются работы Ф. Ринагля, В. Кунце, В. Прагера, С. В. Серенсена. С появлением новых средств измерения опытные данные приобретают количественную надежность. Например, опыты А. Баскуля и Ж.-К. Мазо о растяжении пластин с круглым отверстием послужили базой для дальнейших теоретических исследований. Упомянутые авторы, а также Дж. А. Кениг и В. Ольшак, А. Бран, Г. А. Гениев и другие предложили свои формулы для учета градиентного эффекта. Эти формулы в разном виде содержали не только эквивалентное напряжение, но и его производную (градиент). Общим недостатком этих предложений является наличие множества экспериментальных постоянных. При этом в работах не указан способ их определения. Другой недостаток – отсутствие теоретического обоснования. Как правило, формулы являлись обработкой экспериментальных данных.

Существенная работа по вопросам прочности бетона проведена во Всесоюзном научно-исследовательском институте гидротехники. Опыты К. А. Мальцова, А. В. Караваева, А. П. Пака показывают влияние градиентного эффекта на прочность бетона. К. А. Мальцовым предложена простая эмпирическая формула, хорошо отражающая экспериментальные данные и нашедшая отражение в СНиП по гидротехническим сооружениям. В 90-2000-х годах в Новосибирске выполнен ряд работ, посвященных учету градиентного эффекта. М. Д. Новопашиным, С. В. Сукнёвым, М. А. Леганом и другими разработан хорошо обоснованный градиентный критерий прочности, содержащий один структурный параметр материала. Критерий хорошо согласуется с опытными данными для металлов. В последнее время он распространен авторами на хрупкие материалы.

Градиентный критерий, относящийся к хрупким материалам, в 90-е годы предложил В. Д. Харлаб. Он обладает рядом важных преимуществ.

1. Градиентный подход к прочности материала объединен с подходом к оценке прочности в сингулярных точках, исходя из предположения, что бесконечно большие градиенты напряжений в сингулярных точках позволяют материалу сохранять прочность при бесконечно больших напряжениях (пока нагрузка не достигла некоторого критического уровня).

2. В разработанной теории регулярные и сингулярные напряжения оказались равноправными, а это означает, что неправомерно отбрасывать (как это обычно делают) конечные напряжения из суммы их с бесконечными. Следствием оказалось исчезновение ряда парадоксов (например, того, что бесконечно малое отверстие в центре диска вдвое уменьшает прочность диска, или того, что достаточно малая трещина упрочняет материал).

3. Теория охватывает широкий круг задач и позволяет решать новые для механики задачи (например, прочность среды под сосредоточенной силой).

Градиентная теория В. Д. Харлаба оставляет возможности для развития, которые осуществлены в диссертационной работе.

Целью диссертации является разработка метода оценки прочности хрупких материалов, учитывающего градиентный эффект прочности и наличие сингулярных точек.

При этом ставятся следующие задачи:

- упростить применение градиентного подхода В. Д. Харлаба;

- по-новому (с отказом от особого подхода) рассмотреть вопрос оценки прочности в сингулярных точках, напряженное состояние в которых выражено функциями степенного вида;

- получить метод оценки прочности для сингулярных функций произвольного вида, используя результат, относящийся к сингулярным функциям степенного вида;

- рассмотреть случай сингулярности в виде расходящихся рядов, ранее не рассматривавшийся в градиентной теории прочности.

Научная новизна работы. Отправной точкой исследования послужила градиентная теория хрупкого разрушения, разработанная В. Д. Харлабом. Развитие этой теории в нескольких направлениях выполнено в диссертационной работе и составляет ее научную новизну.

1. Введено упрощение градиентной теории В. Д. Харлаба при сохранении точности результатов, связанное с преобразованием главных напряжений в градиентные и последующей их подстановкой в выражение критерия прочности.

2. Получена новая формула для оценки прочности в сингулярных точках, вытекающая из предложения о многократном использовании градиентного преобразования к сингулярным функциям степенного вида.

3. Для напряжений, выраженных сингулярными функциями нестепенного вида, предложен способ проверки прочности на основе обобщения результата, полученного для функций степенного вида.

4. Разработан способ проверки прочности для случая расходящихся рядов, полученный на основе предположения, что расходимость ряда обусловлена некоторой сингулярной функцией.

Практическая значимость работы состоит в повышении точности расчетов за счет учета градиентного эффекта прочности, а также возможности оценки прочности в сингулярных точках. Подобный учет приводит к более рациональному проектированию конструкций, что опробовано в конкретных проектных расчетах. Об этом имеется справка о внедрении.

Диссертационная работа соответствует паспорту специальности 05.23.17 – строительная механика, пункт 2 «Линейная и нелинейная механика конструкций и сооружений, разработка физико-математических моделей их расчета», пункт 3 «Аналитические методы расчета сооружений и их элементов».

Достоверность результатов исследования подтверждается применением обоснованных методов теории упругости и математики, а также согласием результатов с опытом и исследованиями других авторов по данному вопросу.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены в докладах:

59-ой международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов, СПбГАСУ, 2006 г.;

62-ой международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов, СПбГАСУ, 2009 г.;

64-ой международной научно-технической конференции молодых ученых, СПбГАСУ, 2011 г.;

68-ой научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ, 2011 г.;

XXIV международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (BEM&FEM), СПбГАСУ, 2011 г.;

I международном конгрессе молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов, СПбГАСУ, 2012 г.

Публикации. Результаты исследования опубликованы в 6 статьях, 3 из которых – в рецензируемых изданиях, включенных в список ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 92 страницах и состоит из введения, пяти глав, заключения, перечня использованной литературы, включающего 82 источника, 25 из которых на иностранных языках. Диссертация содержит 15 рисунков и 11 таблиц.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Идея градиентного преобразования главных напряжений с последующей их подстановкой в классический критерий прочности (вместо преобразования сразу всего критерия), что существенно упрощает применение подхода. Ниже кратко излагается суть идеи. Критерий прочности по любой классической теории прочности представляет собой математическое выражение, содержащее главные напряжения . Согласно предлагаемому подходу главные напряжения должны быть представлены в следующем виде:

, (1)

где F(x) и (x) – регулярные функции, а (r) – сингулярная функция в точке , то есть . Напряжения (1) подвергаются градиентному преобразованию В. Д. Харлаба:

, (2)

где x0 – координата опасной точки (в общем случае сингулярной); – координата регулярной точки, на которую «заменяется» сингулярная при оценке прочности, определяемая из предлагаемого подхода; – главное градиентное напряжение, на которое при проверке прочности заменяется классическое главное напряжение ; – структурный параметр материала с размерностью длины, определяемый по опытным данным о чистом изгибе балки; – символ градиента. Чтобы оценить прочность с учетом градиентного эффекта, полученные таким образом градиентные напряжения (2) необходимо подставить в выражение критерия прочности S по выбранной теории:

, (3)

где R – предельный параметр прочности по выбранной теории.

В главе 3 диссертации рассморены примеры решения задач, содержащих регулярные функции напряжений, с использованием исходного подхода В. Д. Харлаба и предлагаемого модифицированного подхода. Для сравнения привлечены различные классические теории прочности. В диссертации приведены решения задач о толстостенной трубе под действием внутреннего давления (задача Ляме), об изгибе кривого бруса (задача Головина), о растяжении плоскости с круглым отверстием (задача Кирша). В автореферате в иллюстративных целях приводится решение задачи Ляме. Рассматривается толстостенное кольцо, находящееся под действием внутреннего давления p. Главные напряжения в этом случае определяются по известным формулам теории упругости:

(4)

где r, – напряжения в полярных координатах; a, b – соответственно внутренний и внешний радиусы кольца.

Рис. 1. Задача Ляме

В соответствии с предлагаемым подходом необходимо перейти к градиентным напряжениям по формуле (2):

(5)

Исследование критериев прочности по различным теориям как функций полярной координаты r показывает, что во всех случаях эти функции имеют максимальное значение на внутреннем контуре кольца, т. е. при r=a. Исходя из этого, в опасной точке напряжения будут следующими:

(6)

(7)

В качестве примера воспользуемся критерием прочности по теории Лебедева

. (8)

Здесь Rt – предел прочности при осевом растяжении, Rc – предел прочности при осевом сжатии. Подставляя в уравнение (8) градиентные напряжения (7), и выразив из полученного равенства нагрузку p, получаем:

,

.

Разрушающая нагрузка в опасной точке имеет вид:

. (9)

Легко заметить, что при , то есть, когда =0, (9) дает решение без учета градиентного эффекта.

Чтобы получить решение этой задачи на основе исходной теории, необходимо в критерий прочности (8) подставить исходные напряжения (4) и подвергнуть весь критерий прочности S градиентному преобразованию, аналогичному (2), получив, таким образом, градиентный критерий. Из условия разрушения определяется разрушающая нагрузка. В диссертации приводится решение задачи Ляме с использованием разных классических теорий прочности. Численные результаты сведены в таблицу 1. В качестве исходного материала (условного) выбран бетон класса В12,5 с Rc=67,5105 Па, Rt=6105 Па, =6,7 см, =0,2; в качестве объекта рассмотрена условная конструкция с параметрами a=0,25 м, b=1 м.

Таблица 1

Результаты определения разрушающей нагрузки в задаче Ляме
Вид теории	Разрушающая нагрузка , Па
	без учета градиентного эффекта	с учетом исходной градиентной теории	с учетом модифицированного подхода
теория максимальных удлинений	3.130105	3.860105 (18.9%)	3.855105 (18.8%)
теория Кулона-Мора	3.418105	4.175105 (18.1%)	4.173105 (18.1%)
теория Лебедева	3.586105	4.289105 (16.4%)	4.358105 (17.7%)
теория Липатова	3.590105	4.363105 (17.7%)	4.362105 (17.7%)
теория Дощинского	3.921105	4.741105 (17.3%)	4.741105 (17.3%)
теория Боткина	3.812105	4.619105 (17.5%)	4.619105 (17.5%)