Регуляризация и единственность решений линейных интегральных уравнений фредгольма первого рода

На правах рукописи

Каденова Зууракан Ажимаматовна

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА

01.01.02 –дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата

физико-математических наук

Новосибирск, Ош – 2006

Работа выполнена в Ошском технологическом университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Асанов Авыт

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Голубятников Владимир Петрович

доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов Александр Иванович

Ведущая организация:

Институт математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург)

Защита состоится «_19_» _декабря_2006 г. в 16-00 на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу:

630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан «____» __________2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

д-р физ.-мат. наук Н.И. Макаренко

Общая характеристика работы

Настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов регуляризации и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

Актуальность работы. Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, принадлежат к классу некорректно поставленных задач. Один из классов таких некорректных задач составляют интегральные уравнения Фредгольма первого рода.

Новое понятие корректности в работах А.Н.Тихонова [6], М.М.Лаврентьева [4] и В.К.Иванова [3], отличное от классического, дало средство для исследования некорректных задач и стимулировало интерес к интегральным уравнениям, имеющим большое прикладное значение.

К ним приводится большое число прикладных задач, в том числе, задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах. В качестве приближенных решений таких задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, используются решения, получаемые методом регуляризации.

Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризации и единственности решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Цель работы. Построение регуляризирующих операторов для решения интегральных уравнений и систем уравнений Фредгольма первого рода, доказательство теорем единственности и получение оценки устойчивости для таких уравнений в разных семействах множеств корректностей.

Основные результаты.

- Доказаны теоремы единственности интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

- Построены регуляризирующие уравнения в пространстве .

- Получены оценки устойчивости в разных семействах множеств корректностей.

- С помощью разложения в ряд Фурье ядра интегрального уравнения Фредгольма первого рода типа свертки доказана теорема единственности и построены регуляризирующие операторы в пространстве .

Методы исследования. Для получения сформулированных в диссертации результатов используются методы функционального анализа и метод Фурье.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. Их достоверность устанавливается доказательствами, иллюстрируются примерами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные теоретические результаты могут быть применены в различных областях науки и техники.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на международных и российских конференциях: Международная научная конференция «Проблемы математики и информатики в XXI веке», г. Бишкек (2000), Международная конференция «Актуальные проблемы современной науки», г. Самара (2004), Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи», г. Самара (2004).

Результаты диссертации доложены также на семинарах: Ошского технологического университета «Проблемы и задачи математики» под руководством д.ф.-м.н., профессора Алыбаева К.С. (2004), Ульяновского государственного университета (семинар Ульяновского филиала Средневолжского математического общества) под руководством д.ф.-м.н., профессора Горбунова В. К. (2004), Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» под руководством академика Монахова В.Н., чл.-корр. РАН Плотникова П.И. (2005), Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН «Условно-корректные задачи» под руководством академика Лаврентьева М.М. (2005).

Материалы диссертации опубликованы в следующих изданиях:

1. Асанов А., Каденова З.А. Об одном классе интегральных уравнений Фредгольма первого рода.// Труды межд. научно-практ. конф.: «Проблемы образования, науки и культуры в начале XXI века». Вестник ОшГУ, серия ф-м.н.-Ош: Билим, 2001.-№4.-С.59-67.
2. Асанов А., Каденова З.А. Об одном классе систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода.// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям.-Бишкек: Илим, 2002.- Вып.31.- С.172-182.
3. Асанов А., Каденова З.А. О единственности решения для одного класса интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара: СамГТУ, 2004.-Ч.3.-С.122-126.
4. Каденова З.А. О единственности решения для одного класса линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода типа свертки. // Труды межд. научной конф.- «Проблемы математики и информатики в ХХI веке».- Бишкек: КГНУ. 2000.- Вестник КГНУ.-Вып.4.-С.123-127.
5. Каденова З.А. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода типа свертки с двумя независимыми переменными. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям.- Бишкек: Илим, 2000.-Вып.-29.-С.143-147.
6. Каденова З.А. О единственности решения для одного класса систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды межд. научн.-теортической конф. «Проблемы экономики, мат.-мод. и авт. инф. процессов»-Ош: Вестник ОшГУ.-2003.-Вып.№7.-С.75-79.
7. Каденова З.А. О единственности решений систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды 5-й Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки». - Самара: СамГТУ.-2004.-Ч.1,2.-С.61-66.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы и списка литературы.

Работа изложена на 93 страницах машинописного текста. Перечень литературы содержит 81 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору А. Асанову за постановку задач и внимание к работе.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор литературы, изложено краткое содержание диссертационной работы.

В первой главе изучаются вопросы регуляризации и единственности решения линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

В §1.1. рассматривается линейное интегральное уравнение вида

, (1)

где

(2)

данные функции, искомая функция. С помощью метода, примененного в работе [1], доказывается теорема единственности решения уравнения (1) в классе .

Обозначим

.

Введём новую функцию следующим образом

(3)

Известно, что

, (4)

где характеристические числа ядра , расположенные в порядке возрастания их модуля, исоответствующие ортонормированные собственные функции.

Теорема 1.1.1. Пусть - полное ядро и . Тогда решение уравнения (1) в пространстве единственно.

При доказательстве единственности решения уравнения (1) рассматриваются вопросы о регуляризации решения и построении регуляризирующих уравнений в пространстве .

Случай 1. Семейство множеств корректностей , зависящее от параметра ,

где .

Будем предполагать, что . Тогда уравнение (1) имеет решение и справедлива оценка

. (5)

Таким образом доказана

Теорема 1.1.2. Пусть ядро положительно определено,

- образ при отображении . Тогда на множестве оператор , обратный к K, равномерно непрерывен с гёльдеровым показателем , т.е. справедливо (5).

При этом решение уравнения

(6)

будет регуляризирующим для уравнения (1) на множестве .

Если - решение уравнения (1), то получена оценка

. (7)

Таким образом, доказана

Теорема 1.1.3. Пусть ядро положительно определено, , - решения уравнения (1) решение уравнения (6). Тогда справедлива оценка (7).

Замечание. Если , то в силу неравенства

можно улучшить оценку (7), тогда при получим:

.

Случай 2. Будем считать, что ядро положительно определено. Семейство множеств корректностей выделено следующим образом:

где

.

Предположим, что . Тогда уравнение (1) имеет решение и справедлива оценка

. (8)

Таким образом, доказана

Теорема 1.1.4. Пусть ядро положительно определено, - образ при отображении . Тогда на множестве существует равномерно непрерывный оператор , обратный к K, т.е. справедлива оценка (8).

В § 1.2. предполагается выполнение следующих условий:

имеют производные

при всех

выполняется хотя бы одно из следующих условий:

при почти всех

при почти всех

при почти всех .

Методом, предложенным в [2], доказывается

Теорема 1.2.1. Пусть выполняются условия а), б) и в). Тогда решение уравнения (1) единственно в классе .

В §1.3. рассматривается следующее уравнение с разностным ядром

. (9)

Предполагается, что и являются непрерывно – дифференцируемыми функциями на . Дополним определение данной функции четным образом так, чтобы при – =.

Тогда будем иметь

(10)

(11) Разложим функцию в ряд Фурье на ,

(12) где

(13)

Доказывается

Теорема 1.3.1. Пусть где определены в формуле (13).Тогда решения уравнение (9) единственное в пространстве .

Интегрируя по частям в формулах для коэффициентов Фурье , получаем

Пусть . (14)

Сформулируем следующие условия

(15)

для любых

Теорема 1.3.2. Пусть выполнены условия а) и б). Тогда коэффициент Фурье имеет значение отличное от нуля, для всех . Поэтому

решение уравнения (9) единственно в пространстве .

В § 1.4. рассматриваются интегральные уравнения с разностными ядрами

(16)

Предполагается, что и являются непрерывно – дифференцируемые функции по t и по х на . Решение ищется в .

Дополняя в области , получим .

Используя разложение в ряд Фурье

(17)

где

(18)

доказываем следующее утверждение.

Теорема 1.4. Пусть где определены в формуле (18). Тогда решение уравнения (16) единственно в пространстве .

Вторая глава посвящена вопросам единственности и регуляризации решений системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

В § 2.1. изучается вопрос о единственности решения системы уравнений Фредгольма первого рода

(19)

где

(20)

- известные nxn – мерные матричные функции.

- n- мерные соответственно искомые и известные вектор-функции.

Введем новую матричную функцию

где B*- сопряженная матрица к матрице В.

В силу замечания 9.1 [5] справедлива формула

Из условия а) следует, что все положительны и

Предположим выполнение следующего условия:

а) Все собственные значение матричного ядра M(t,s) положительны.

Теорема 2.1.1. При выполнения условия а) решение системы (25) в пространстве единственно (здесь En–n-мерное вещественное евклидово пространство).

В § 2.2. Наряду с (20) рассматривается следующая система уравнений

(21)

Случай 1. Выделим семейство множеств корректности, зависящее от параметра , следующим образом:

где .

В диссертации получена следующая оценка устойчивости

(22)

где .

Таким образом, доказана

Теорема 2.2.1. Пусть оператор M, порожденный матричным ядром M(t,s), положительный. Тогда решение системы (19) в единственно. Кроме того, на множестве - образ при отображении оператором ) оператор , обратный к , равномерно непрерывен с гёльдеровым показателем , т.е. справедлива оценка (22).

Показано также, что решение системы (21) будет регуляризирующим для системы (19) на множестве , т.е.

. (23)

Доказывается

Теорема 2.2.2. Пусть оператор M порожденный матричным ядром M(t,s) положительный и . Тогда справедлива оценка (23), где - решение системы (21), - решение системы (19).

Случай 2. Выделив семейство множеств корректностей следующим образом:

,

где

.

Получена следующая оценка устойчивости

. (24)

Доказана

Теорема 2.2.3. Пусть оператор M, порожденный матричным ядром M(t,s), положительный, - образ при отображении . Тогда на множестве существует равномерно непрерывный оператор , обратный к , т.е. справедлива оценка (24).

В § 2.3 предполагается выполнения следующих условий:

а) имеет производные и где H*-сопряженная матрица к матрице H.

б) т.е.

т.е.

т.е.

т.е.

в) выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) т.е. при почти всех