Авторефераты диссертаций >> Авторефераты - Разное

Pages: |

| 2 |

Модифицированные функционалы лагранжа в механике

-- [ Страница 1 ] --

на правах рукописи

Ткаченко Алексей Сергеевич

МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ЛАГРАНЖА

В МЕХАНИКЕ

01.01.07 – Вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Хабаровск – 2011

Работа выполнена в ГОУВПО «Тихоокеанский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Намм Роберт Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Чеботарев Александр Юрьевич

кандидат физико-математических наук,

Илларионов Андрей Анатольевич

Ведущая организация: Вычислительный центр ДВО РАН,

г. Хабаровск

Защита состоится «27» апреля 2011 года в 15-00 на заседании диссертационного совета К 212.294.02 при Тихоокеанском государственном университете по адресу: 680035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136, ауд. 315л.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тихоокеанского государственного университета.

Автореферат разослан «__» __________ 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Э.М. Вихтенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория вариационных неравенств возникла в шестидесятых годах двадцатого века. Первой задачей в области вариационных неравенств стала задачи из теории упругости – задача Синьорини. Далее исследование вариационных неравенств продолжилось в работах Ж. Лионса, Г. Стампаккьи и их учеников. В настоящее время данная теория активно развивается и представляет интерес для математиков, механиков и экономистов.

Исследование по численному анализу вариационных задач проводится с использованием метода конечных элементов. Большой вклад в данный вопрос внесли работы французских математиков Гловински Р., Лионса Ж.-Л., Тремольера Р. и других, которые подробно исследуют применение метода конечных элементов для аппроксимации непрерывных задач и алгоритмы решения их конечномерных аналогов.

В данной работе используются функции Лагранжа, которые лежат в основе общепринятой схемы анализа экстремальных задач с ограничениями. Функция Лагранжа формируется по исходной задаче и зависит от двух групп переменных – прямых (переменных исходной задачи) и двойственных (переменных, отвечающих ограничениям). В работах Антипина А.С., Голикова А.А., Евтушенко Ю.Г., Поляка Б.Т., Третьякова Н.В., Рокафеллара Р.Т. исследовались модифицированные функции Лагранжа применительно к конечномерным задачам линейного и выпуклого программирования. В последнее время получили развитие схемы двойственности с модифицированными функционалами Лагранжа, для решения бесконечномерных вариационных неравенств механики.

Известные двойственные методы решения вариационных неравенств в механике, основанные на поиске седловых точек функционалов Лагранжа, как правило, предполагают сильную выпуклость минимизируемых функционалов. Для подобных задач сходимость имеет место только по прямой переменной классического функционала Лагранжа и обеспечивается согласованием константы сильной выпуклости с шагом сдвига по двойственной переменной. Поэтому для полукоэрцитивных вариационных неравенств алгоритмы поиска седловых точек, основанные на классических функционалах Лагранжа, непригодны. Для преодоления этого затруднения рассматривается модифицированный функционал Лагранжа. Методы двойственности, основанные на модифицированном функционале Лагранжа обеспечивают сходимость к седловой точке, как по прямой, так и по двойственной переменной, причем не, только в коэрцитивных, но и в полукоэрцитивных вариационных неравенствах.

Вариационные задачи минимизации недифференцируемых функционалов часто возникают в задачах механики, учитывающих трение. Конечноэлементная аппроксимация таких задач приводит к конечномерной выпуклой задаче негладкой оптимизации. Поэтому стандартный подход к решению таких задач заключается в сглаживании недифференцируемого слагаемого в исходной задаче, либо в применении специальных алгоритмов негладкой оптимизации. В некоторых случаях задачу безусловной минимизации недифференцируемого функционала удается свести к задаче условной минимизации дифференцируемого функционала, для решения которой можно применить эффективные методы условной оптимизации. В данной работе исследуется метод решения полукоэрцитивной задачи с заданным трением, позволяющий сглаживать вспомогательный функционал на каждом шаге итерационного процесса.

Цель работы. Построение и обоснование новых методов двойственности для решения полукоэрцитивных вариационных неравенств, соответствующих скалярной задаче Синьорини и модельной задаче с заданным трением.

Методы исследования. В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды, методы функционального анализа, теория выпуклого анализа, теория вариационных неравенств, методы вычислительной математики и математического программирования, теория пространств С.Л. Соболева, общая теория нелинейных краевых задач.

Положения, выносимые на защиту.

Решение полукоэрцитивной задачи Синьорини методами двойственности, основанными на модифицированном функционале Лагранжа.
Сравнение классических и модифицированных методов двойственности при решении коэрцитивных задач.
Исследование модифицированных методов двойственности для решения модельной задачи с трением.

Научная новизна. В диссертации исследуется задача Синьорини в полукоэрцитивной и коэрцитивной постановках и полукоэрцитивная модельная задача с заданным трением. Для данных задач были получены следующие результаты:

разработан, обоснован и реализован алгоритм численного решения полукоэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения;
показано, что даже в коэрцитивном случае модифицированные функционалы Лагранжа ведут себя лучше как в теоретическом, так и в практическом плане;
введен и изучен новый вид модифицированного функционала Лагранжа и на его основе разработан, обоснован и реализован сглаживающий алгоритм численного решения модельной задачи с заданным трением методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения, когда сглаживание вспомогательного функционала происходит на каждом шаге итерационного процесса.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на X (2007 г., г. Хабаровск) и XIII (2011 г., г. Хабаровск) краевых конкурсах молодых ученых; на научных семинарах по дифференциальным уравнениям в ТОГУ (руководитель проф. А.Г. Зарубин); на XXXIV (2009 г., г. Хабаровск) и XXXV (2010 г., г. Владивосток) Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е.В. Золотова; на девятом международном форуме студентов, аспирантов и молодых учёных стран Азиатско-Тихоокеанского региона (2009 г., г. Владивосток); на научном семинаре Вычислительного центра ДВО РАН (рук. член.-корр. РАН, д.ф.-м.н., Смагин С.И.), г. Хабаровск (2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и трех приложений. Общий объем диссертации составляет 105 страниц машинописного текста, включает список литературы из 80 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы, указана актуальность темы исследования, цель и новизна полученных результатов, а также сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Первая глава посвящена исследованию метода итеративной проксимальной регуляризации модифицированного функционала Лагранжа для решения полукоэрцитивной скалярной задачи Синьорини и построению алгоритмов её численного решения рассмотренным методом.

Рассматривается полукоэрцитивная задача Синьорини, вариационная постановка которой имеет следующий вид (§ 1):

(1)

где – ограниченная область с достаточно гладкой границей , – заданная функция и – след функции на .

Условие существования и единственности решения задачи (1) имеет вид

. (2)

Соответствующая вариационной постановки задачи (1) краевая задача имеет вид:

Решаем задачу (1) используя метод двойственности.

Введем классический функционал Лагранжа:

Определение 1. Точка называется седловой точкой функционала , если выполнено двустороннее неравенство

Модифицированный функционал Лагранжа имеет следующий вид:

где - const, символ означает положительную срезку, т.е. .

Определение 2. Точка называется седловой точкой функционала , если выполнено двустороннее неравенство

Известно, что седловые точки для классического и модифицированного функционалов совпадают.

В § 2 рассматривается метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций.

Пусть – произвольная стартовая точка. Построим последовательность в два этапа:

на -ой итерации строится сильно выпуклый в функционал и определяется точка из условия , где , , ;
двойственная переменная корректируется по формуле .

Обозначим . В работе показывается, что последовательность ограничена в и, более того, последовательность является компактной в . Предположения регулярности

(A) ,

(B)

обеспечивают единственность седловой точки функционала (а, значит, и ) и сходимость к ней в пространстве последовательности .

На первом шаге метода Удзавы возникает вспомогательная задача:

(3)

Задача (3) решается с помощью метода конечных элементов в предположении, что – ограниченный многоугольник. Пусть – триангуляция области , – характерный параметр триангуляции, – множество всех узлов триангуляции , – множество узлов триангуляции на границе области , – линейная оболочка соответствующих кусочно-аффинных базисных функций ( – количество узлов ), – множество индексов узлов триангуляции, – множество индексов граничных узлов.

Получаем конечно-элементную задачу

(4)

Введем обозначения: - решение задачи (3), - решение задачи (4).

Теорема 1. Пусть – ограниченный многоугольник в , выполнены предположения (A), (B). Тогда имеет место оценка

, .

В § 3 рассматривается алгоритм численного решения задачи (1) методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций.

Обозначим , . Пусть – граничный узел, (– количество граничных узлов триангуляции области ). Тогда, используя квадратурную формулу трапеций, и учитывая, что расстояние между двумя соседними узлами на границе равно , получаем

Получаем конечномерную задачу

(5)

Для решения задачи (5) применим метод поточечной релаксации.

Выберем начальный вектор . На -ом шаге итерационного процесса координаты определяются из условия

Модифицированная функция непрерывно дифференцируема по . Для положим , где , .

Для обозначим . Получаем

В § 4 рассмотрен метод Удзавы на основе модифицированной функции Лагранжа для конечномерного случая.

Задача (1) аппроксимируется с помощью метода конечных элементов по аналогии § 2 главы 1 (– характерный параметр триангуляции).

. Решение конечномерной задачи

(6)

существует, единственно, причем , где, – решение задачи (1). При условии, что , доказывается оценка , где . Обозначим , .

Составляем классическую функцию Лагранжа

Определение 3. Пара называется седловой для , если выполняется двустороннее неравенство

, где .

Вводим модифицированную функцию Лагранжа

, где .

Определение 4. Пара называется седловой для , если выполняется двустороннее неравенство

Метод Удзавы с модифицированной функцией выглядит так: выбираем начальный вектор . Далее

на -м шаге решаем задачу безусловной минимизации по переменной , то есть находим ;
полагаем и переходим на шаг 1.

Теорема 2. Пусть выполнено условие разрешимости (2). Тогда для любого задача

имеет решение.

Далее рассматривается алгоритм численного решения задачи (1) методом Удзавы на основе модифицированной функции Лагранжа. На каждом шаге метода Удзавы требуется решить вспомогательную задачу вида

(7)

Функция , построенная в § 4 для задачи (1), не является сильно выпуклой по переменной . Это затрудняет применение метода Удзавы для решения рассматриваемой задачи. Для преодоления этой проблемы в § 5 рассматривается метод Удзавы с одновременной итеративной проксимальной регуляризацией модифицированной функции .

Пусть – произвольная стартовая точка. Метод вырабатывает последовательность в два этапа:

на -ой итерации строится сильно выпуклый в функционал и определяется точка из условия , где , , ;
двойственная переменная корректируется по формуле .

На шаге (i) решается задача

(8)

Для решения задачи (8) применяется метод поточечной релаксации.

Зададимся начальным вектором . На -ом шаге итерационного процесса координаты определяются из условия

Модифицированная функция непрерывно дифференцируема по . Для координаты

, где , ,

Для обозначим . Получаем

Вторая глава посвящена исследованию методов двойственности на основе модифицированных функционалов Лагранжа при решении коэрцитивной скалярной задачи Синьорини.

Рассматривается коэрцитивная вариационная задача Синьорини

(9)