Задача оптимального управления в модели эпидемии

На правах рукописи

ОВСЯННИКОВА НАТАЛЬЯ ИГОРЕВНА

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В МОДЕЛИ ЭПИДЕМИИ

Специальность 01.01.09 – «Дискретная математика и математическая кибернетика»

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Поморского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова, г. Архангельск

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Андреева Елена Аркадьевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Дикусар Василий Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент Назаренко Кирилл Михайлович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт системного анализа РАН

Защита диссертации состоится 10 июня 2010 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д.002.17.02 при Учреждении Российской академии наук Вычислительный Центр им. А.А. Дородницына РАН по адресу: 119333, г. Москва,
ул. Вавилова, д. 40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН.

Автореферат разослан « » _____________ 2010 г.

Ученый секретарь доктор физико-математических наук,
диссертационного совета профессор В.В. Рязанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. В настоящее время, так же как и во все предыдущие времена, огромной угрозой человечеству являются эпидемии инфекционных заболеваний. Так, мощные природные катаклизмы (наводнения, землетрясения) могут сопровождаться резким ухудшением санитарно-гигиенических и социально-экономических условий жизни пострадавшего от них населения. При этом наиболее вероятно появление кишечных инфекций (холера, дизентерия, инфекционный гепатит и др.), в том числе в виде вспышек сыпного тифа, туляремии, чумы и других инфекций. Вместе с тем, сценарии неожиданного появления особо опасных инфекций на территории крупных городов России сегодня вполне возможны в результате актов биологического терроризма с возбудителями натуральной оспы, сибирской язвы, геморрагических лихорадок или других опасных патогенов. В этих условиях особое значение приобретают опережающие научные исследования по анализу и прогнозу вероятных сценариев развития эпидемий опасных инфекционных заболеваний, которые могут появиться в результате чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера. Большую роль здесь могут сыграть математические модели распространения эпидемии, которые описаны в ряде работ российских и зарубежных авторов.

Исследователи, которые занимались вопросом построения моделей эпидемии, учитывали наиболее значимые, с их точки зрения, факторы, влияющие на динамику процесса передачи инфекции. Следует отметить, что авторы приведённых выше моделей не предлагали методик для определения коэффициентов моделей. Не проводились исследования условий устойчивости системы, допустимых значений параметров, характерных режимов системы, наличия особых состояний. Не были учтены возрастные особенности протекания заболевания или социальные условия различных слоёв населения.

В настоящей работе исследовано несколько моделей, с помощью которых может быть описан процесс развития эпидемии в неоднородном сообществе, состоящем из n возрастных или социальных групп, построены и обоснованы ряд моделей: неуправляемых и управляемых, детерминированных и стохастических. При построении модели динамической системы возникает задача учёта случайных влияний на параметры модели, связанных с воздействием множества непрогнозируемых природных факторов, их моделирования и численного решения стохастических дифференциальных уравнений при достаточно высоких требованиях по точности. Для проведения численных экспериментов разработаны алгоритмы численной реализации рассматриваемых моделей, на основании которых создан комплекс программ в среде программирования Delphi 7. Отмеченные особенности обуславливают как актуальность, так и новизну исследования.

Цель диссертационной работы:

1) разработать и обосновать дискретную неуправляемую детерминированную математическую модель, описывающей динамику эпидемии в неоднородном сообществе, состоящем из n групп, рассчитать для данной модели параметры задачи, построить на её основе управляемую модель,

2) разработать численную схему решения задачи оптимального управления эпидемией с целью минимизировать затраты на её погашение,

3) найти стационарные состояния неуправляемой системы и выяснить, являются ли они устойчивыми,

4) исследовать зависимость решения задачи оптимального управления от параметров модели,

4) исследовать динамику эпидемии при различных видах управления: только вакцинацией, только изоляцией, комбинацией вакцинации, изоляции и просветительско-образовательной программы,

5) решить задачу оптимального управления эпидемией с учётом латентного периода и исследовать зависимость решения задачи от величины скрытого периода,

6) выявить наиболее рентабельный и гуманный способ управления эпидемией,

7)разработать и обосновать непрерывную неуправляемую детерминированную математическую модель, описывающую динамику эпидемии в неоднородном сообществе, состоящем из n групп, построить на её основе стохастическую модель,

8) разработать численную схему решения стохастического дифференциального уравнения с возмущёнными параметрами, описывающего процесс развития эпидемии,

9) исследовать влияние возмущенных параметров на поведение системы, а также выявить условия, при которых система допускает описание с помощью детерминированной модели, и условий при которых система может быть описана только при помощи стохастической модели.

Научная новизна. В диссертационной работе в отличие от известных работ построена общая дискретная - мерная неуправляемая модель процесса распространения эпидемии, на её основе построены различные управляемые модели (управление путём вакцинации, путём изоляции, комплексное управление с помощью вакцинации, изоляции и просветительско-образовательной программы). Также построена дискретная управляемая с помощью вакцинации и карантина модель с учётом латентного периода. Для неуправляемой модели найдено положение устойчивого равновесия динамической системы. На основе дискретной модели построена непрерывная модель, для которой также найдено положение устойчивого равновесия и построена стохастическая модель эпидемии. Для моделирования решения системы стохастических дифференциальных уравнений, описывающих процесс эпидемии, впервые применён метод унифицированного разложения в ряд Тейлора-Ито, предложенный Кузнецовым Д.Ф.1

. Предложена методика нахождения коэффициентов и параметров модели эпидемии. Построены численные схемы решения задач оптимального управления процессом эпидемии методом проекции градиента и методом синтеза управлений.

Практическая ценность. Построенные алгоритмы позволяют проводить исследования как неуправляемых детерминированных и стохастических моделей с возмущёнными параметрами, так и управляемых моделей, описывающих процесс распространения эпидемии. Они могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с процессом распространения любой эпидемии, передающейся контактным путём: прогнозирование эпидемического процесса в данных условиях, планирование проведения вакцинации, рассмотрение вопроса о целесообразности введения карантина, проведения информационно-образовательной работы, прогнозирование денежных затрат на мероприятия по погашению эпидемии. Модель также может быть использована в медицинских учебных заведениях для обучения сбору, обработке статистических данных, расчёту параметров модели, работе с программой с целью дальнейшего её совершенствования.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные приложения были представлены на научных семинарах кафедры прикладной математики ПГУ им. М.В.Ломоносова (2007-2010 гг.), на кафедре компьютерной безопасности и математических методов управления ТвГУ (2007-2010 гг.), на XXXIX международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (ПМ-ПУ, СПбГУ, апрель 2008 г.), на IV Международной научной школе-семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (6-18 августа 2009 года, Саранск), на Международной научно-практической конференции «Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика» (ПГУ им. М.В.Ломоносова, Архангельск, 1-5 февраля 2010 года).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы и отдельные положения опубликованы в шестнадцати печатных работах (2006-2010 гг.), список которых приведён в конце автореферата.

Личный вклад автора. Научному руководителю принадлежат постановки задач. Автору принадлежат разработка моделей, вычисление параметров моделей, построение вычислительных алгоритмов для решения поставленных задач, комплекс программ и анализ полученных результатов.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав основного текста, содержащих 22 параграфа, заключения, списка использованной литературы и изложена на 132 страницах. Имеется 4 приложения. В диссертации 62 рисунка, отражающие результаты численного моделирования. Список литературы включает 101 наименование.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении дан обзор основных моделей, описывающих процесс распространения эпидемии, указаны их достоинства и недостатки. Приводится список рассматриваемых в работе моделей. Перечисляются основные цели исследования.

В первой главе приводится дискретная неуправляемая -мерная модель эпидемии, её обоснование, физический смысл коэффициентов и методика для их вычисления.

Модель распространения эпидемии построена исходя из предположений:

1. Инфекционное заболевание протекает в каждой возрастной (или социальной) группе по-разному. В связи с этим, целесообразным является выделение возрастных (социальных) групп среди населения.
2. Заболевание передается только при контакте инфицированно­го человека со здоровым. Этот процесс характеризуется функ­цией роста , где — численность насе­ления j –той группы, восприимчивого к заболеванию на i–том шаге, - коли­чество инфицированных людей j –той группы на i –том шаге, а коэффици­ент — частота контактов здоровых людей j –той группы с больными k –той группы на i –том шаге. В общем случае типичное представление скорости роста заболеваемости определяется в виде , где величина есть вероятность того, что случайно встреченный человек принадлежит к группе больных. Конечно, существует множество других способов задания функции роста заболеваемости, но мы остановимся на приведённых выше.
3. Изменение количества людей, подверженных заболеванию, происходит в результате вакцинации; число заболевших людей уменьшается вследствие лечения в условиях карантина (изоляции).
4. Информационно-образовательная программа заключается в организации теле- и радиопередач, лекций, бесед и т.д.
5. Инкубационный период заражения человека, в который болезнь развивается внутри организма и не имеет внешних проявлений, в каждом отдельном случае имеет своё значение.
6. В число инфицированных не входят люди, которые имеют иммунитет или выздоравливают в результате какого - либо иного процесса.
7. Численность людей, подверженных заболеванию, увеличива­ется с рождаемостью и убывает из-за естественных причин, не связанных с распространяющимся заболеванием.
8. Учитывается смертность инфицированных людей, связанной с болез­нью.

Будем рассматривать неоднородное сообщество, состоящее из n социальных (или возрастных) групп. Обозначим через - численность подверженных инфекционному заболеванию в j-й группе на i-ом и на i+1-ом шаге, - численность инфицированных на i-ом и на i+1-ом шаге, - количество людей, восстановивших своё здоровье в j-той социальной группе на i-ом шаге без воздействия внешних средств: карантина, вакцинации и пр. (- среднее время естественного выздоровления при данном инфекционном заболевании), - коэффициент роста, характеризующий частоту встреч здоровых людей j-той группы с инфицированными людьми k-той группы на i-ом шаге (в общем случае он может рассматриваться как функция от ),

- коэффициент естественной смертности людей в j-той группе,

- коэффициент смертности от данной инфекции в j-той группе,

- средняя скорость рождаемости в j-той группе,

- известные значения в начальный момент времени.

Функция удовлетворяет условиям:

= 0 при или ,

>0 при >0, >0,

Динамика неуправляемого процесса распространения эпидемии описывается сле­дующими операторами перехода из состояния на i–ом шаге в состояние на (i+1)-м шаге:

(1)

(2)

После расчёта параметров модели на основе статистических данных по городу Архангельску с помощью этой модели найдено положение равновесия динамической системы:

Рис.1 Фазовый портрет y(x)

На основе дискретной неуправляемой детерминированной модели была построена непрерывная неуправляемая детерминированная модель, для которой при тех же параметрах найдено положение устойчивого равновесия (по Ляпунову): x= чел., y=306 чел., что, в общем-то, совпадает с решением в дискретной модели (см. рис.1)

На основе непрерывной неуправляемой детерминированной модели была построена стохастическая модель эпидемии, где в качестве возмущённого параметра выступает коэффициент роста заболеваемости . Для него найдены значения, при которых стохастическая модель может быть заменена детерминированной. Предположим, что коэффициент роста может быть представлен в виде: , где - математическое ожидание коэффициента , полагаем его постоянным, т.е. ; - случайный процесс; - постоянная, характеризующая степень влияния случайного возмущения на значение коэффициента . В этом случае математическая модель эпидемии примет следующий вид:

(3) (4)

где - заданные случайные величины, закон распределения которых известен.

В общем виде систему (3) - (4) можно записать:

, (5)

, (6)

где ; ; - двумерный векторный винеровский случайный процесс с независимыми компонентами, где

, , , .

Вектор состояния системы уже не является детерминированным, он представляет собой векторный случайный процесс , .

Стохастическая модель состояния (5) - (6) представляет собой задачу Коши для стохастических дифференциальных уравнений.

В работе для численного моделирования решения построенного стохастического дифференциального уравнения применён метод, предложенный Кузнецовым Д.Ф., который основан на разложении решения стохастического дифференциального уравнения в ряд Тейлора-Ито.

Построено унифицированное разложение Тейлора-Ито до малых порядка . Для построения численной схемы выбрана равномерная дискретная сетка , которая построена для отрезка , такая что , . На этой сетке получены следующие выражения для реализации численного метода:

(7)

(8)

где

- система независимых гауссовских случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, которая генерируется на шаге интегрирования с номером и является независимой с аналогичными системами случайных величин, которые генерируются на всех предшествующих шагах интегрирования по отношению к шагу интегрирования с номером . Смоделируем решение системы (5) - (6) с помощью соотношений (7) - (8) на временном интервале Т недель с шагом . Тогда разложения для и примут вид:

Решим задачу при следующих исходных данных: В результате численного моделирования процесса , при значениях (рис.2) получены значения максимальных отклонений траекторий системы с возмущёнными параметрами от траекторий детерминированной системы. Эти значения приведены в табл. 1, откуда хорошо видна прямая зависимость максимальных отклонений решения возмущённой системы от величины возмущённого параметра .

Таблица 1