Авторефераты диссертаций >> Авторефераты - Разное

Pages: |

| 2 |

Построение и исследование кубатурных формул с пограничным слоем для интегрирования функций из пространств

-- [ Страница 1 ] --

УДК 517+518.392 На правах рукописи

Булгатова Елена Николаевна

01.01.07 – вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата

физико-математических наук

Красноярск – 2009

Работа выполнена в Восточно-Сибирском государственном технологическом университете (г. Улан-Удэ).

Научный руководитель:	Доктор физико-математических наук, профессор
Официальные оппоненты:	Доктор физико-математических наук, профессор Носков Михаил Валерианович
	Кандидат физико-математических наук Шатохина Лариса Владимировна
Ведущая организация:	Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН

Защита состоится 30 июня 2009 года в 15 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.099.18 в Сибирском федеральном университете по адресу: 660074 Красноярск, ул. Киренского, 26 корпус Ж, ауд. 1-15.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Сибирского федерального университета, ул. Киренского, 26.

Автореферат разослан «__» мая 2009г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

к.ф.-м.н. Кириллов К.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Задача о построении формул для приближенного вычисления интегралов является одной из классических задач вычислительной математики. В настоящее время можно выделить несколько научных направлений в теории приближенного интегрирования: построение формул высокой степени точности, применение вероятностно-статистических методов к вычислению интегралов, теоретико-числовые методы построения формул и функциональный подход, связанный с исследованием оценок норм функционала погрешности для различных линейных нормированных пространств.

Широкое применение методов функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в исследованиях по теории приближенного интегрирования началось работами С.М. Никольского [6] и С.Л. Соболева [14]. В дальнейшем эти методы были развиты в работах В. И. Половинкина, М.Д. Рамазанова, Ц.Б. Шойнжурова, В.Л. Васкевича и других авторов. В настоящей работе, в отличие от работ В.И. Половинкина и Ц.Б. Шойнжурова, рассматриваются весовые формулы в пространствах , как предельного случая ранее исследованных пространств. Кроме того, М.Д. Рамазановым проводились исследования кубатурных формул для областей с гладкими границами. В данной диссертации, опираясь на методику Рамазанова, получены формулы с пограничным слоем, в которых коэффициенты вычисляются значительно проще, что облегчает программную реализацию построения и использования формул.

При построении формулы для приближенного вычисления интеграла, погрешность этой формулы рассматривают, как некоторый функционал, действующий на подынтегральную функцию, и называют функционалом погрешности. При этом, если построена формула и требуется найти её погрешность, то достаточно найти или оценить норму функционала погрешности рассматриваемой формулы.

Цель работы. Построение и исследование асимптотической оптимальности кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами в пространстве Соболева и исследование весовых кубатурных формул в пространстве Соболева .

Основные задачи исследования:

– построение и исследование кубатурных формул для областей с гладкими и кусочно-гладкими границами;

– построение и исследование эрмитовых кубатурных формул для области с кусочно-гладкой границей;

– получение асимптотически оптимального функционала погрешности исследованных кубатурных формул и явного вида коэффициентов этого функционала погрешности;

– исследование весовых кубатурных формул с пограничным слоем.

Объект исследования. Весовые кубатурные формулы приближенного вычисления многомерных интегралов и кубатурные формулы, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования при этом ограничена кусочно-гладкой границей [14].

Методика исследований. В работе применяются методы теории функций одного и многих действительных переменных, математического и функционального анализа, алгебры, а также численные методы.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации обеспечена полными доказательствами всех утверждений, полученных в данной работе и численными расчетами.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту. Все основные результаты диссертации являются новыми. На защиту выносятся:

Построение и исследование кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами на плоскости, с коэффициентами, зависящими от уравнения границы только в пограничном слое;
Доказательство асимптотической оптимальности эрмитовых кубатурных формул, содержащих значения функции и значения первой производной, в пространстве Соболева ;
Оценка нормы в пространстве функционала погрешности весовой кубатурной формулы с пограничным слоем.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях кубатурных формул. Полученные формулы могут использоваться при вычислении интегралов.

Личный вклад автора. Все результаты, включенные в диссертацию принадлежат лично диссертанту. В совместных работах вклад соавторов равнозначен.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях: VIII международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (г. Улан-Удэ, 2005); II Всероссийской конференции с международным участием «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» (г. Улан-Удэ, 2006); IX международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (г.Уфа, 2007); III всероссийской конференции с международным участием «Математика, её приложения и математическое образование» (г. Улан-Удэ, 2008); XIII Байкальской Всероссийской конференции с международным участием «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (г. Иркутск, 2008); Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений.» (г. Новосибирск, 2008); III Всероссийской конференции «Винеровские чтения 2009» (г. Иркутск, 2009); на ежегодных научно-практических конференциях Восточно-Сибирского государственного технологического университета (2004-2008 гг.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 11 работах, список которых помещен в конце автореферата. В частности, работа [5] опубликована в журнале Вычислительные технологии, 2006, т.11, №4.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы. В тексте диссертации имеется 13 рисунков и 2 таблицы. Список литературы включает 80 наименований. Объём работы – 109 машинописных страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводятся основные определения и постановка задачи, дается общее описание основных результатов по теории кубатурных формул в функционально-аналитическом направлении, а также краткое изложение результатов диссертационной работы.

В первой главе диссертации построены кубатурные формулы для эллипса и области с кусочно-гладкой границей, исследованы эрмитовы кубатурные формулы и доказана асимптотическая оптимальность этих формул, содержащих первую производную. Рассматриваются кубатурные формулы для интегрирования функций из пространств с нормой

. (1)

В параграфе 1.1 исследованы кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы области только в пограничном слое. Построение и исследование подобных формул проводились М.Д. Рамазановым [12]. Также, Н.И. Блиновым [2], [3], Л.В. Войтишек [3], И. Умархановым [15], Д.Я. Рахматуллиным [13] созданы программы для вычисления многомерных интегралов. В данной работе упрощены вычисления коэффициентов.

Пусть - кратный интеграл, .

Ограниченная область с кусочно-гладкой границей на плоскости разбивается на частей с помощью разложения единицы , где , . Пусть часть границы может быть записана уравнением . В области производится замена переменных . Для определения срезывающих функций используется функция

Рассмотрим одну из областей например , в переменных x, для простоты, в двумерном случае.

После замены переменных область перейдет в область . Замена преобразует границу области в кусок оси , криволинейный параллелограмм соответствует кубу , где , , функция перейдет в .

В переменных y рассмотрим следующий функционал

(2)

Сначала построим функционал с узлами на криволинейной решетке. Для этого функцию в формуле (2) аппроксимируем линейной комбинацией функций , где - дробная часть числа :

. (3)

Коэффициенты функционала (3) определяются из системы уравнений

Элементарный функционал для куба принимает вид

(4)

Узлы кубатурной формулы, соответствующей функционалу (4), лежат в узлах криволинейной решетки.

С помощью функционала (4) построим кубатурную формулу на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы в пограничном слое.

Выполнив обратную замену переменных и в (4), получим

, (5) где - целая часть числа, --47 , (5)

где - целая часть числа , - характеристическая функция области .

Далее характеристическую функцию некоторой области будем обозначать таким же символом, например, - характеристическая функция области .

Учитывая срезывающую функцию ,элементарные функционалы суммируем по всем и при этом по свойству функционала коэффициенты при суммировании равны единице

Аналогично суммируем по последние две суммы в (5)

После преобразования коэффициенты определяются следующей формулой

где коэффициенты и определяются из систем

и .

Вспомогательный функционал погрешности для области в переменных y имеет вид

где .

Учитывая , в переменных x, получаем функционал погрешности формулы с пограничным слоем для области с узлами на решетке

Аналогично получаются функционалы для остальных областей

где .

Окончательно получена формула с коэффициентами пограничного слоя, зависящими от уравнения границы:

По схеме, предложенной в параграфе 1.1, построена кубатурная формула для эллипса .

Кубатурные формулы для областей с кусочно-гладкой границей рассматриваются в параграфе 1.3. Пусть граница области состоит из одной или нескольких непересекающихся кусочно-гладких кривых.

Если точка границы , не является угловой, то можно в окрестности этой точки провести замену переменных , где уравнение границы так, что и обратные взаимно однозначные функции.

Пусть угловая точка. Не нарушая общности, можно принять и предположить, что смыкающиеся в этой точке касательные, расположены так, что одна из них совпадает с положительной частью оси , а другая идет к ней под углом. В этом случае эти дуги выражаются соответственно уравнениями и , причем . Применяем замену переменных

и . (6)

В окрестности точки якобиан преобразования отличен от нуля. Следовательно, система (6) однозначно допускает обращение и . Далее применяем обычную замену для гладкой области.

Для формул, построенных в параграфах 1.2 и 1.3, составлена программа вычисления двойного интеграла по соответствующим областям.

В параграфе 1.4 получена кубатурная формула для области с кусочно-гладкой границей, содержащая как значения функции, так и значения её производных в узлах решетки.

Пусть выпуклая область имеет гладкую границу в -мерном пространстве. Разделим пространство на частей , гиперплоскостями параллельными координатным плоскостям и ,