Исследование и анализ нативных электроэнцефалографических данных методами нелинейной динамики

Таблица 2.

Значения констант безразмерной модели

Обозначение		Формула нормировки	Описание	Типичные значения
e, i			Индексы, обозначающие нейроны возбуждения (e) или торможения (i)
e,i		Ge,iexp(1)Smax/e,i|he,irev-hrest|	Влияние мощности на значение мембранного потенциала	1,4210-3, 0,0774
he,i0		he,irev/hrest	Обратный потенциал	-0,643, 1,29
Te,i		e,i	Константа	12,0; 2,6
e,i		vee,ei	Безразмерная характеристика в инверсной шкале	11,2, 18,2
Pee,ie		Pee,ie/Smax	Подкорковый потенциал возбуждения	11,0; 16,0
Pei,ii		Pei,ii/Smax	Подкорковый потенциал торможения	16,0; 11,0
	Ne,i	-	Общее число синаптических окончаний от удаленных клеток возбуждения	4000, 2000
	Ne,i	-	Общее число местных синаптических окончаний e и i	3034, 536
	ge,i	ge,ihrest	Наклон в точке сгиба передаточной функции	-19,6; -9,8
	e,i	e,i/hrest	Точка изгиба передаточной функции	0,857; 0,857

Уравнение (1) определяет эволюцию безразмерного напряжения возбудительных нейронов через само напряжение (he), входной ток возбудительных нейронов (Iee) и входной ток тормозных нейронов (Iie). Уравнения (3) и (5) описывают динамические поведение входных токов. Входной ток возбуждающих нейронов (Iee) устанавливается в соответствии с локальной мощностью (NeSe[he]), удаленной мощностью возбудительных нейронов коры (e), подкорковой мощностью (Pee) и стохастической мощностью (1). Член Se[he] – безразмерная сигмоидальная передаточная функция

, (9)

которая необходима для преобразования локального напряжения возбудительных нейронов в среднюю скорость работы возбудительной популяции (непрерывно-импульсное преобразование). Мощность нейронов удаленного кортекса, которые всегда имеют возбудительный характер, устанавливается в соответствии с уравнением распространения (7) диффузного типа. Для вычисления неизвестных подкорковых мощностей добавляется последний член 1 в (3), который определяется как безразмерная стохастическая мощность

, (10)

где ее – безразмерные малые константы, 1 – источник Гауссова белого шума с нулевым значением.

Аналогичные уравнения определены для динамики нейронов торможения (2), местных токов для нейронов торможения (4) и (6) и отдаленных возбудительных токов для нейронов торможения (8).

Основная переменная в модели he – усредненный по поверхности соматический мембранный потенциал возбудительных клеток кортекса. В уравнениях (1) – (8) используется безразмерный параметр he = h’e·(70 мВ). Экспериментальные данные ЭЭГ пропорциональны модельной переменной he.

Для того чтобы вызвать модельное приступоподобное состояние были изменены два параметра, связанные с процессом возбуждения Безразмерный параметр Pee прямо пропорционален pee (подкорковой возбудительной мощности сигнала) и обратно пропорционален Smax (максимальному КПД нейронной сети, произведенный напряжением сомы нейронов). Таким образом, увеличение в Pee показывает либо повышенное возбуждения в кортексе либо ослабевание КПД нейронной сети. Безразмерный параметр Ге прямо пропорционален Smax и Ge (пиковому постсинаптическому потенциалу возбуждения) и обратно пропорционален е (коэффициенту нейропередачи) и |herev–hrest| (величине разности между инверсным потенциалом и потенциалом покоя). Таким образом, увеличение Ге отражает либо увеличение амплитуды пикового постсинаптического потенциала или максимального КПД нейронов, либо уменьшение величины разности между инверсным потенциалом возбуждения и потенциалом покоя или коэффициента нейропередачи. Для понимания природы явлений, возникающих в результате этой активности, для численного анализа использовалась упрощенная формулировка уравнений (1)–(8) без стохастического члена k и без пространственной зависимости.

Модельное состояние «приступ» было определено как решение модифицированной системы уравнений (1) – (8), приведенных к виду ОДУ, для которых he подвергается устойчивым осцилляциям большой амплитуды. Были численно получены множественные решения системы уравнений (1) – (8), преобразованной в форму ОДУ, для 11,0

Чтобы спровоцировать приступ, сначала были взяты типичные значения параметров (Гe, Pee)=(1,410-3, 11,0). Затем Гe сильно уменьшено, а Pee – увеличено до очень больших значений, не провоцируя приступ. Приступ начинается, когда he испытывает стабильные осцилляции большой амплитуды на доминантной частоте, большей 10 Гц. Увеличение Pee можно интерпретировать как увеличивающийся ток возбуждения от глубоких слоев головного мозга к кортексу. Эти приступоподобные осцилляции сохраняются на меньших частотах по мере того как мы уменьшаем Pee и увеличиваем Гe. Физиологическим обоснованием изменения Pee и Гe может служить затухание возбудительных подкорковых входных сигналов. «Приступ» прекращается, когда эти физиологические механизмы продолжают действовать, и затем необходимо изменить Pee и Гe. Параметры должны вернуться к первоначальным значениям и цикл повторяется. Значения Pee и Гe, использованные для моделирования, сведены в таблицу 3.

Таблица 3.

Таблица диапазонов значений

	До приступа			Приступ		После приступа
Рее	11	439	439	439	439	1000
Ге	0,0014	0,001232	0,00098	0,00097	0,0008	0,0008

На рис. 1–3 показаны модельные сигналы для состояний перед приступом (рис. 1), во время (рис. 2) и после него (рис. 3).

Рис. 1. Осциллограмма, спектр мощности и аттрактор модельного ЭЭГ сигнала для состояния «до приступа».
Рис. 2. Осциллограмма, спектр мощности и аттрактор модельного ЭЭГ сигнала для состояния «приступ».
Рис. 3. Осциллограмма, спектр мощности и аттрактор модельного ЭЭГ сигнала для состояния «после приступа».

В нормальном состоянии электрической активности мозга аттрактор имеет сложный хаотичный вид (рис. 1, 3). Во время приступа состояние системы упорядочивается, и аттрактор приобретает вид одиночной петли (рис. 2).

С использованием модели также были рассчитаны корреляционная размерность и максимальный характеристический показатель Ляпунова. Рассмотренная модель электрической активности мозга позволяет проследить связь между ЭЭГ данными, записанными во время приступа человека, и изменениями в физиологии мозга, и дать ее количественную оценку.

В третьей главе описаны экспериментальные исследования и анализ нативных ЭЭГ сигналов. ЭЭГ регистрировалась на пациентах (16 человек), среди которых одни – условно здоровые, а другие – с различными болезнями (рассеянный склероз, невралгия). Использовалась стандартная международная методика отведений «10-20». Длительности записей ЭЭГ составили 40 с, длительности выборок – до одной секунды, частота дискретизации – fд=250 Гц.

В соответствии с условиями проведения измерений и для обеспечения повторяемости и статистической значимости результатов было сделано несколько выборок для каждого сигнала (по 20 выборок). Затем была выполнена статистическая обработка результатов по стандартным методиками обработки результатов измерений.

Определение нелинейности системы является одним из основных вопросов при анализе ЭЭГ. Определение нелинейности необходимо при рассмотрении вопросов, связанных с уменьшением шума при построении суррогатных данных, а также при вычислении характеристических показателей Ляпунова. Суть метода суррогатных данных заключается в следующем: для исследуемой временной реализации сигнала создается ансамбль суррогатных реализаций, являющихся случайными по своей природе, но обладающих точно такими же автокорреляционной функцией и дисперсией как у исходной реализации. На практике это достигается Фурье-преобразованием исходной реализации, изменением случайным образом фаз и обратным Фурье-преобразованием. Далее сравниваются результаты вычисления различных нелинейно-динамических характеристик (размерностей, корреляционных интегралов и пр.) для оригинального сигнала и его суррогатных реализаций. В результате спектры мощности как реального, так и суррогатного сигналов оказываются неразличимы, в то время как информация о нелинейности системы (если она имеет место) должна сохраняться в реальном сигнале и, соответственно, выявляться нелинейно-динамическим анализом.

Для определения принадлежности участков ЭЭГ сигналов к хаотическим были сформированы суррогатные последовательности и рассчитаны мгновенные корреляционные размерности сигнала D2 и суррогатных данных D2sur (рис. 4).

Здоровые	Невралгия до операции
Рис. 4. Сравнение мгновенных корреляционных размерностей сигнала и его суррогатных данных.

В качестве критерия хаотичности выбран коэффициент корреляции (К) между реальным сигналом и суррогатными данными (табл. 4). При значении К>0,6 корреляционная связь считается удовлетворительной.

Таблица 4.

Коэффициент корреляции для рядов D2 и D2sur.

Коэффициент корреляции, К	Женщины	Мужчины
Условно здоровые	0,80	0,65
	0,61	0,60
	0,60	0,58
	0,78
Невралгия	0,68
Рассеянный склероз	0,80
	0,68
Лудомания		0,60
		0,69
		0,89
		0,67
		0,64
		0,75

Был проведен численный анализ симметричных отведений ЭЭГ, вычислена корреляционная размерность D2 (табл. 5) для здоровых людей.

Таблица 5.

Корреляционная размерность D2.

N отведения	Левое полушарие	Правое полушарие
0/1	3,45±0,58	2,50±0,41
2/3	3,50±0,37	3,35±0,53
4/5	3,76±0,42	4,01±0,75
6/7	3,95±0,58	0,56±0,12
8/9	3,77±0,65	3,67±0,49

Анализ корреляционной размерности симметричных отведений показывает, что для левого полушария значения корреляционной размерности примерно одинаковы для всех отведений и составили для сигналов, используемых для обработки, D2=3,686±0,52. Для правого полушария наблюдается значительный разброс значений по различным отведениям: от 4,01±0,75 до 0,56±0,12. Полученные результаты подтверждают одну из фундаментальных закономерностей организации мозга – межполушарную асимметрию.

Были построены аттракторы для симметричных отведений, которые представлены на рис. 5.

а

б

в Рис. 5. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов для симметричных отведений на фазовой плоскости для: а) диагноза «невралгия», б) диагноза «рассеянный склероз», в) условно здорового пациента.

Анализируя рис. 5, а-в, можно сделать следующие выводы. На рис. 5, а четко прослеживаются межполушарные отличия: для правого полушария ось аттрактора наклонена вправо, для левого – влево. Для пациентов с различными патологиями, например, рассеянный склероз (рис. 5, а) оба аттрактора имеют сложный вид, однако, правый аттрактор более упорядочен, что может свидетельствовать о локализации очага заболевания. Таким образом, можно сказать, что визуальный признак – внешний вид аттрактора – может в некоторых случаях служить врачу как дополнительный информативный показатель.

Одной из важнейших характеристик хаотических процессов является максимальный характеристический показатель Ляпунова (). Как уже говорилось, в пределах аттрактора небольшие изменения начальных условий могут приводить к сильным изменениям в эволюции системы. Характеристический показатель Ляпунова является мерой того, насколько сильны могут быть эти изменения. Полученные результаты обработки нативных ЭЭГ сведены в табл. 6.

Таблица 6.

Максимальный характеристический показатель Ляпунова для исследуемых нативных ЭЭГ сигналов.

Максимальный показатель Ляпунова, , с-1	Женщины	Мужчины
Больные	0,21±0,02	0,38±0,03
	0,25±0,016	0,38±0,028
	0,32±0,027	0,24±0,017
		0,21±0,0168
		0,23±0,0161
		0,23±0,02
Здоровые	0,45±0,02	0,2±0,015
	0,32±0,018	0,18±0,013
	0,39±0,017	0,2±0,014
	0,42±0,02