Исследование нелинейного деформирования элементов конструкций, взаимодействующих с грунтами сложной физической природы

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Балафендиева Ирина Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТАМИ
СЛОЖНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ

Специальность 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань - 2013

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Бережной Дмитрий Валерьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, Заслуженный деятель

науки и техники РФ и РТ

Паймушин Виталий Николаевич

КНИТУ им. А.Н. Туполева

зав. каф. Сопротивления материалов

доктор технических наук, профессор,

Заслуженный деятель науки и техники

РСФСР Крысько Вадим Анатольевич

СГТУ им. Ю.А. Гагарина

Зав. каф. «Математика и моделирование».

Ведущая организация: Казанский государственный архитектурно- строительный университет

Защита состоится 1 июля 2013 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного Совета Д 212.081.11 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, ауд. мех. 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета.

Отзывы на автореферат в одном экземпляре, заверенные печатью, просим высылать по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан 29 мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, доцент Саченков А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В современных условиях повсеместно практикуется возведение строительных сооружений в грунтах, находящихся в сложных физико-геологических условиях. Поэтому создание методик расчета трехмерных объектов, взаимодействующих с грунтовыми сооружениями, является сейчас особенно актуальным.

Прогресс в развитии фундаментостроения и подземного строительства в значительной мере определяется достигнутыми к настоящему времени результатами в области математического моделирования различных процессов и физических явлений, в частности, процессов деформирования и разрушения элементов конструкций и сооружений. Существует определенный разрыв между потребностями практики и существующими СНиПами, регламентирующими деятельность проектировщиков и строительную практику, и возможностями уточненных расчетов элементов конструкций и сооружений, исходя из современных возможностей более точной постановки практических задач и их реализации на ЭВМ на основе использования численных методов.

Основным направлением задач, стоящих перед механикой грунтов, является теоретический прогноз поведения грунтовых толщ под влиянием внешних и внутренних воздействий: разнообразных нагрузок от сооружений, изменения под действием природных факторов и деятельности человека условий равновесия, например, при размывах, колебаниях уровня грунтовых вод, разгрузке глубоких слоев грунта при копке строительных котлованов и др.

Задача исследования напряженно-деформированного состояния грунтов под действием внешних сил и собственного веса является главнейшей в механике грунтов, и ее решение для различных случаев загружения имеет непосредственное приложение в практике строительства. Для практики строительства весьма важно знать, как распределяются напряжения в грунте при загрузке части его поверхности, при каких условиях наступает предельное напряженное состояние, после чего возникают недопустимые деформации и нарушения сплошности грунтового массива и т.п. Важную роль играет математическое моделирование, позволяющее прогнозировать и оптимизировать технологические воздействия, интерпретировать и обрабатывать опытные данные.

Традиционно в механике деформируемого твердого тела для решения геометрически нелинейных задач получило распространение лагранжево описание среды, при этом хорошо формулируется краевая задача в дифференциальной или вариационной формах, для решения которой возможно использование различных численных методов. В рамках современных численных методов получили развитие шаговые методы, в соответствии с которыми процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний, и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки, изменением граничных условий или расчетной области и т.д.

При моделировании взаимодействия элементов конструкций с грунтами в ряде случаев для адекватной оценки характера деформирования используются различные методики контактного взаимодействия элементов конструкций между собой и с грунтом. Не учет контакта может привести к принципиально иному результату, в какой-то степени даже противоречащему здравому смыслу.

Целью диссертационной работы является разработка и численная реализация методики решения задач по определению напряженно-деформированного состояния элементов конструкций подземных, промышленных и транспортных сооружений с учетом контактного взаимодействия с окружающим их физически нелинейно-деформируемым грунтовым массивом.

Научную новизну работы составляют следующие положения:

– на основе определяющих соотношений между истинными напряжениями и истинными деформациями реализована и апробирована конечно-элементная методика решения трехмерных задач механики грунтов с сухим трением;

– развиты вычислительные модели упругопластического деформирования пространственных конструкций, взаимодействующих с грунтами, включающие в себя усовершенствованные конечные элементы пространственных конструкций и сплошных сред, а также адаптированные к ним алгоритмы численного решения задач контактного взаимодействия деформируемых тел;

– на ряде линейных и нелинейных задач исследованы точность предлагаемых вычислительных моделей, проведен анализ их эффективности в сравнении с другими численными схемами, применяемыми в расчетной практике;

– решены новые задачи нелинейного взаимодействия трехмерных конструкций с грунтовыми средами с учетом их контактного взаимодействия.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается строгим математическим обоснованием основных расчетных методик, тщательным тестированием на всех этапах разработки и реализации численных алгоритмов, многочисленными сравнениями (и совпадением) с известными аналитическими и численными решениями. При расчетах новых конструкций проводится сравнение с имеющимися экспериментальными данными.

Практическую ценность составляет представленная в диссертационной работе методика расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций с учетом контактного взаимодействия с окружающим их грунтовым массивом в условиях сложного силового нагружения. Разработанная численная методика дает результаты, хорошо согласующиеся с данными натурных испытаний. На ее основе можно рассчитывать трехмерные конструкции и получать достоверные результаты.

Основные положения, выносимые на защиту.

– методика решения двумерных и трехмерных нелинейных задач сплошных сред с сухим трением;

– методика решения двумерных и трехмерных задач взаимодействия деформируемых конструкций и сплошных сред с учетом их контакта;

– результаты решения задач взаимодействия элементов подземных транспортных сооружений с окружающим их физически нелинейным грунтом.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

– на итоговых конференциях Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, 2009-2012 г.г.);

– на Международных молодежных научных школах-конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, 2009-2012 г.г.);

– на Второй международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (Казань, 2009 г.);

– на Межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009-2010 г.г.);

– на Международных конференциях «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2009-2011 г.г.);

– на Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Москва, 2009-2012 г.г.);

– на Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2009-2012 г.г.);

– на Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук», (Зеленодольск, 2011-2012 г.г.);

– на Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2012 г.).

Диссертационная работа в целом обсуждалась и получила одобрение:

– на расширенном семинаре кафедры теоретической механики и лаборатории механики оболочек Казанского (Приволжского) федерального университета (2012 г.);

– на расширенном семинаре кафедры сопротивления материалов и основ теории упругости Казанского государственного архитектурно-строительного университета (2013 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 печатная работа, из них 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ для опубликования результатов кандидатских диссертаций. В работах [5-6, 8-21] соавторы принимали участие в постановке задачи и обсуждении результатов, в работах [1-4, 7, 15] автор реализовал методику расчета, получил численные результаты и проанализировал их.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 124 страницах, содержит 67 рисунков, 10 таблиц. Библиография включает 177 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность темы диссертационной работы, научная новизна и практическая значимость результатов, сформулированы цели, представлены выносимые на защиту научные положения, приводится обзор публикаций по теме диссертации.

Отмечается, что идеи приближенных методов вычисления, на которых базируется МКЭ, были сформулированы в трудах Дж. Аргириса, М. Тернера, Р. Клафа. Развитие метод получил в работах М.Р. Айронса, К. Бате, Э. Вилсона, Р. Галлагера, О.К. Зенкевича, Дж.Т. Одена, Л. Сегерлинда и др. Значительный вклад в теорию МКЭ внесли отечественные авторы А.В. Александров, З.И. Бурман, Д.В. Вайнберг, А.И. Голованов, А.С. Городецкий, С.А. Капустин, М.С. Корнишин, Б.А. Куранов, А.М. Масленников, И.Ф. Образцов, В.А. Постнов, Р.Б. Рикардс, Л.А. Розин, А.С. Сахаров, И.Я. Хархурим, Н.Н. Шапошников и др.

Большой вклад в развитие механики грунтов внесли отечественные и зарубежные ученые М.М. Алиев, Ю.М. Абелев, М.А. Био, А.И. Боткин, В.З. Власов, С.С. Вялов, Н.М. Герсеванов, М.Н. Гольдштейн, М.И. Горбунов-Посадов, С.С. Григорян, Б.И. Далматов, Н.Я. Денисов, Д. Друккер, К.Е. Егоров, Б.Н. Жемочкин, Н.Н. Иванов, А.Н. Крылов, Ш. Кулон, Н.Н. Леонтьев, Н.Н. Маслов, В.Н. Николаевский, В. Прагер, Н.П. Пузыревский, Е.Г. Соловьев, И.Г. Терегулов, К. Терцаги, А.Б. Фадеев, В.А. Флорин, Р. Хилл, Н.А. Цытович и др.

Значительный вклад в развитие методов решения контактных задач внесли фундаментальные труды Л.А. Галина, В.И. Моссаковского, В.Л. Рвачева, А. Синьорини, И.Я. Штаермана. Следует также отметить работы В.М. Александрова, Ю.П. Артюхина, Н.Х. Арутюняна, В.А. Бабешко, И.И. Воровича, Р.В. Гольдштейна, А.Г. Горшкова, И.Г. Горячевой, В.И. Довноровича, К. Джонсона, Е.М. Морозова, А.Н. Подгорного, Г.Я. Попова, B.C. Саркисяна, В.М. Сеймова, М.И. Теплого и многих других.

Первая глава посвящена моделированию упругопластических деформаций в грунте с учетом геометрической нелинейности. Введены основные соотношения теории упругости и теории пластического течения, а также рассмотрен алгоритм процесса продолжения решения так называемая «модифицированная инкрементальная теория Лагранжа». Решены некоторые тестовые и модельные задачи.

Состояние статического равновесия тела описывается вариационным уравнением принципа возможных перемещений

. (1)

Если для векторов принять разложения , где – основные базисные векторы в деформированном состоянии тела, то левая часть уравнения (1) преобразуется к виду . Входящие в него компоненты симметричного тензора называются компонентами тензора деформаций Коши-Грина, а величины по В.В. Новожилову называются обобщенными напряжениями.

Истинными деформациями удлинений и сдвигов назовем величины

(2)

а истинными напряжениями, отнесенными к единицам деформированных площадей , по В.В. Новожилову являются компоненты векторов в представлениях , где – единичные векторы, направленные по касательным к деформированным координатным линиям в точке , в которую переходит точка после деформирования. Между компонентами и имеют место зависимости

(3)

При использовании зависимостей (2), (3) для вариации потенциальной энергии деформаций имеем

(4)

где

В качестве условия пластичности в работе используется критерий Губера–Мизеса, для которого функция текучести , где – интенсивность напряжений, – предел текучести. Для ряда грунтов предельное состояние хорошо описывается условием прочности Мизеса–Боткина, которое записывается в виде

,

где – угол внутреннего трения на октаэдрических площадках, – предельное сопротивление чистому сдвигу.

Уравнения типа Прандтля–Рейса связывают компоненты приращений истинных напряжений и истинных деформаций

,

где – приращение средней истинной деформации, – приращения компонент истинных деформаций, – компоненты девиатора напряжений, – интенсивность касательных напряжений, – символ Кронекера, – коэффициент Пуассона, – модуль сдвига, – модуль Юнга, .

В работе реализована методика, идеально приспособленная для решения упругопластических задач по теории течения и называемая «модифицированным инкрементальным подходом Лагранжа», в которой процесс деформирования представляется в виде последовательности равновесных состояний при соответствующих уровнях нагружения.

Упругопластическое деформирование толстостенного трубы. Исследуется распределение напряжений в толстостенной длинной трубе (рис. 1) под осесимметричным внутренним давлением p при упругопластическом деформировании (плоская деформация). Внутренний радиус трубы a = 1 см, внешний b = 2 см, модуль упругости

E = 2106 кГ/см2, коэффициент Пуассона  = 0.3. Материал полагаем идеально пластическим. Точное решение дает отношение внутреннего давления к пределу текучести p/T = 0.7208, при котором радиус пластической зоны c = 1.5 см. Рассчитывалась четвертая часть сечения, на ее прямолинейных границах задавались условия симметрии. Задача решается за один шаг по нагрузке, при этом
Рис. 1 используется метод проецирования напряжений на поверхность текучести с итерационным уточнением. Для определения эффективности методики моделирования упругопластического деформирования исследовалась сходимость при различных сетках конечных элементов, и полученные значения сравнивались с теоретическим решением. Использовались следующие сетки конечных элементов: сечение разбивалось на 5 элементов по ширине и 20 элементов по окружному направлению, далее – 2020 и 8020.

На рисунках 2 – 4 показаны распределения радиальных и окружных напряжений в трубе по отношению к пределу текучести на различных сетках (рис. 2 – сетка 520, рис. 3 – 2020, рис. 4 – 8020), а также точное решение (штрихованная линия).

Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

Видно, что при сгущении сетки решение сходится и дает хорошую точность.

Деформирование грунтовой насыпи под действием собственного веса и нагружения.

Грунт находится под действием собственного веса и нагрузки, равномерно распределенной по верхней границе насыпи (рис. 5), на нижней границе расчетной области отсутствуют вертикальные смещения, на боковых – горизонтальные, длина основания . Рассмотрен случай плоского деформирования. Считается, что грунт – однородная среда со следующими физико-
Рис. 5 механическими свойствами: модуль деформации , коэффициент Пуассона , сцепление , угол внутреннего трения , плотность , интенсивность распределенной нагрузки . Процесс деформирования был разбит на два этапа. На первом этапе проводится расчет под действием собственного веса. На втором этапе к собственному весу насыпи добавляется равномерно распределенная нагрузка, действующая по верхнему краю насыпи.

На рисунках представлены результаты расчета насыпи под действием распределенной нагрузки с учетом собственного веса грунта: на рис. 6 – распределение вертикальных смещений (в метрах), на рис. 7 – распределение интенсивности сдвиговых пластических деформаций.

Рис. 6 Рис. 7

В таблице 1 приведено сравнение некоторых результатов решений задачи с решениями, полученными в ППП ANSYS и в диссертации Султанова Л.У.1

Таблица 1