Нелинейные эффекты при распространении крутильных волн в упругих стержнях

На правах рукописи

СЕРОВ Андрей Вячеславович

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ

ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ КРУТИЛЬНЫХ ВОЛН В УПРУГИХ СТЕРЖНЯХ

Специальность 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико - математических наук

Саратов – 2011

Работа выполнена в Нижегородском филиале Учреждения Российской академии наук Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Ерофеев Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Землянухин Александр Исаевич

доктор физико-математических наук

Герасимов Сергей Иванович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт проблем машиноведения РАН (г. Санкт-Петербург)

Защита состоится «27» декабря 2011 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.06 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп. 1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.».

Автореферат размещён на сайте ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» http://www.sstu.ru «____»_____________20__г.

Автореферат разослан «___» ___________ 20__г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Попов В.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Крутильные волны наряду с изгибными и продольными волнами играют большую роль в формировании вибрационных полей машиностроительных конструкций. Математические модели, описывающие крутильные волны, распространяющиеся в однородных тонких стержнях, базируются, как правило, на технической теории кручения (теория Кулона) или на уточняющей ее теории стесненного кручения.

В основе технической теории Кулона лежат предположения о недеформируемости поперечного сечения в своей плоскости (жесткий контур) и об отсутствии депланации, т.е. выхода поперечного сечения из первоначального плоского состояния. Сечения стержня, согласно этим гипотезам, скользят друг по другу, поворачиваясь в своей плоскости на малый угол как жесткие площадки. Крутильные волны описываются волновым уравнением и распространяются без дисперсии со скоростью сдвиговых волн в неограниченной среде.

В теории стесненного кручения предполагается, что кручение стержня складывается из двух связанных друг с другом движений: поворота поперечных сечений в своей плоскости (кручение по Кулону) и их депланации. Депланация, возникающая в результате неодинакового растяжения продольных волокон при кручении, при этом считается пропорциональной относительному углу поворота, а крутильные волны описываются уравнением Власова. Это уравнение наряду с «волновым» оператором (оператор Даламбера) содержит слагаемое, описывающее дисперсию крутильной волны, т.е. зависимость ее скорости от частоты.

Непрерывное увеличение быстродействия и удельной мощности машин и механизмов, забота о снижении веса конструкции при сохранении ее надежности в работе, а также широкое внедрение в современную технику новых композиционных материалов требуют более полного исследования реального напряженно-деформированного состояния. Для этого часто оказывается недостаточно классических линейных теорий и необходимо рассматривать теории более высоких приближений, учитывающих, в частности, геометрическую и физическую нелинейности.

Нелинейные искажения, возникающие при распространении интенсивных крутильных волн, могут накапливаться с течением времени и при определенных условиях приведут к сильному укручению волновых фронтов и существенному изменению всего волнового процесса. Это, в свою очередь, может вызвать появление больших упругих напряжений, необратимых деформаций в материале и привести к локальной потере устойчивости. Интерес к изучению нелинейных волновых процессов связан с возможностью возникновения даже в простых элементах упругих конструкций специфических нелинейных режимов. С одной стороны, эффекты формирования нелинейных волн с большими градиентами напряжений и деформаций оказываются нежелательными, поскольку могут приводить к разрушению или пластическому течению материала, но, с другой стороны, – они могут быть полезными и найти применение в технологиях обработки материалов, в дефектоскопии и технической диагностике.

На актуальность темы диссертации указывает и то обстоятельство, что работа проводилась в рамках «Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008 –2012 гг.» по темам:

– «Разработка методов повышения ресурса и надежности сложных технических систем путем применения наноструктурных материалов и градиентных защитных покрытий, диагностики на ранних стадиях повреждения и мониторинга состояния материалов и конструкций в процессе эксплуатации» (№ Гос.рег. 01200957043; научный руководитель: академик РАН Митенков Ф.М.);

– «Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов, хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты» (№ Гос.рег. 01200957044; научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.)

и при поддержке:

– Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России » (2009 – 2013 г.г.);

– Гранта Российского фонда фундаментальных исследований «Нелинейные упругие волны в структурированных и поврежденных материалах и элементах конструкций. Теория. Эксперимент. Приложения в технической диагностике» (РФФИ № 09-08-00827; руководитель: профессор Ерофеев В.И.).

Цель работы состоит в изучении нелинейных эффектов, проявляющихся при распространении и взаимодействии интенсивных крутильных волн в упругих стержнях.

Научная новизна:

1. Предложены новые математические модели, описывающие распространение упругих крутильных волн в стержне при наличии депланации и геометрической нелинейности.
2. При численном моделировании обнаружен эффект расщепления солитоноподобных крутильных волн при встречном столкновении.
3. Впервые показано, что нелинейные стационарные крутильные волны могут существовать и при отсутствии в линейной среде дисперсии.
4. Впервые исследован эффект модуляционной неустойчивости квазигармонических крутильных волн.
5. Впервые показано, что с депланацией может быть связано появление «запрещенной» уравнениями нелинейной теории упругой удвоенной частоты (второй гармоники) в спектре крутильной волны.

Практическая значимость. Результаты исследований могут быть использованы при расчетном сопровождении технологий проектирования скважинного и погружного бурового оборудования, содержащего роторные системы. Они также могут найти применение при разработке методик акустического контроля материалов и элементов конструкций.

Методы исследования. При проведении исследований использованы методы механики сплошных сред, теории колебаний и волн. При получении укороченных уравнений для амплитудной и фазовой огибающих квазигармонической волны использован метод усреднения по «быстрым» переменным.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики сплошных сред, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

– Математические модели крутильных колебаний стержня, учитывающие депланацию и упругую геометрическую нелинейность.

– Результаты аналитических исследований и численного моделирования нелинейных крутильных волн.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на Второй Всероссийской конференции «Волновая динамика машин и конструкций» (Нижний Новгород, 2007); Восьмой Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2008); Тринадцатой Нижегородской сессии молодых ученых «Технические науки» (Нижний Новгород, 2008); Научном семинаре Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук (Нижний Новгород, 2010, 2011).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ, 3 из которых [1-3] – статьи из перечня журналов, рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Общий объем составляет 86 страниц, включая 26 рисунков, 1 таблицу, библиографического списка, содержащего 111 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, сформулирована ее цель, основные положения, выносимые на защиту, определены научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе содержится общая схема приведения трехмерных уравнений динамической теории упругости к одномерным уравнениям динамики стержней, основанная на аппроксимации распределения перемещений в поперечном сечении стержня и применении вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.

Построены математические модели, обобщающие уравнения крутильных колебаний стержней Кулона и Власова учетом геометрической нелинейности.

В общем случае учитываются конечные углы поворота, что приводит к следующей системе смещений точек стержня:

(1)

Здесь – угол поворота поперечного сечения в своей плоскости, – функция кручения, определяющая депланацию поперечного сечения. Она находится из решения уравнения Лапласа с граничным условием на контуре сечения : , где – вектор нормали к контуру.

Тензор деформаций считается конечным:

(2)

, а материал стержня считается идеально упругим, то есть деформации и напряжения связаны обобщенным законом Гука:

(3)

где – константы Ламе, – символ Кронекера.

В рамках соотношений (1) – (3) отдельно рассмотрены случаи, когда:

а) депланация отсутствует, тензор деформаций является конечным;

б) депланация учитывается, тензор деформаций предполагается малым;

в) депланация учитывается, тензор деформаций является конечным.

Во второй главе изучаются распространение и взаимодействие интенсивных крутильных волн в стержнях.

При отсутствии депланации и конечности тензора деформаций, что характерно для стержней кругового и кольцевого поперечных сечений, распространение крутильной волны описывается уравнением

, (4)

где х – безразмерная координата, t – безразмерное время.

При V > 1 уравнение (4) имеет аналитическое решение, выражающееся через эллиптический косинус Якоби:

, (5)

где , – неизвестная скорость стационарной волны.

– нелинейный аналог волнового числа, – амплитуда волны, – модуль эллиптической функции, характеризующий степень нелинейных искажений волны, т.е. степень её отличия от обычной гармонической волны. Е – константа интегрирования, имеющая смысл начальной энергии.

Обычно для эллиптических функций , но в данном случае этот модуль является строго фиксированным и равным , что не позволяет нелинейной периодической волне вырождаться либо в линейную, либо в солитон.

Соотношение (5) описывает нелинейную крутильную волну, отличающуюся от гармонической волны по величине периода.

Возможность существования нелинейной стационарной волны кажется, на первый взгляд, невозможной, ведь в линейном приближении для крутильных волн в стержне отсутствует дисперсия, наличие нелинейности приводит к генерации высших гармоник в спектре волны, что способствует укручению профиля волны по мере её распространения, к формированию простой волны Римана. Лишь одновременное воздействие на волновой процесс нелинейности и дисперсии может привести к формированию нелинейной стационарной волны. Почему же возможно существование нелинейной стационарной волны (5)?

Мы найдём ответ на этот вопрос, если проанализируем зависимость скорости нелинейной волны от волнового числа (рис.1).

Рис.1. Зависимость скорости нелинейной волны от волнового числа .

1) 2)

Зависимость, изображённая на рисунке, представляет собой, по сути, нелинейный закон дисперсии. Нелинейность привносит с собой и дисперсию тоже. В линейном приближении зависимость скорости от волнового числа отсутствует, т.е. , именно нелинейная дисперсия делает возможным существование нелинейной стационарной крутильной волны.

Уравнение крутильных колебаний стержня с учетом депланации и геометрической нелинейности имеет вид

(6)

Здесь , , – скорости продольных и сдвиговых волн в неограниченной среде. В линейном приближении полученное уравнение совпадает с уравнением Власова.

В нелинейных слагаемых основной вклад дает слагаемое вида , а остальные нелинейности имеют больший порядок малости. Чтобы убедиться в этом, достаточно в (6) перейти к безразмерным переменным , , где – безразмерная длина волны, – толщина стержня. Указанное нелинейное слагаемое наряду с дисперсионными слагаемыми входит в уравнение с коэффициентом, пропорциональным (т.е. дисперсию необходимо учитывать одновременно с нелинейностью). Остальные нелинейные слагаемые имеют коэффициенты, пропорциональные , , поэтому при (в длинноволновом приближении) ими можно пренебречь, и уравнение крутильных колебаний стержня рассматривать в виде

(7)

где – коэффициент нелинейности.

Введем замену переменных , , , позволяющую получить уравнение с одним свободным параметром:

(8)

Уравнение (8) записано в безразмерных переменных и знак «волна» над безразмерными переменными опущен.

Здесь безразмерный параметр равен отношению скоростей, с которыми распространялись бы продольные () и крутильные () волны, если бы в среде не было дисперсии. Скорость крутильной волны отличается от скорости волны сдвига на постоянный множитель, зависящий от формы поперечного сечения и, как правило, меньше скорости волны сдвига. Это приводит к тому, что в уравнении (8) параметр C будет больше единицы.

Например, для тонкой упругой полосы, ширина которой во много раз превышает ее толщину , функция депланации выражается формулой , полярный момент инерции и момент кручения выражаются формулами , , а их отношение равно . Очевидно, что при скорость крутильной волны уменьшается по сравнению со скоростью волны сдвига.

Уравнение (8) имеет решения в виде стационарных волн деформаций, форма которых не изменяется при их распространении. Существование таких волн обусловлено «уравновешиванием» факторов нелинейности и дисперсии. Поиск решения в виде стационарной волны приводит уравнение (8) к известному уравнению Дуффинга, которое имеет, как периодические, так и уединенные (солитоноподобные) решения.

Солитоноподобные волны, так называемые «кинки», описываются выражением

, (9)

где – скорость уединенной волны, причем , – амплитуда и – ее ширина. Волны (9) распространяются с постоянной скоростью, не изменяют при движении своей формы, устойчивы относительно малых возмущений и имеют параметр подобия , что не отличает их от классических солитонов. Однако амплитуда волн не может быть меньше порогового значения , а ширина изменяется в пределах . Для таких волн численно обнаружены эффекты неупругого взаимодействия и расщепления при встречных столкновениях, что является их отличительной особенностью от солитона.

Численное моделирование уравнения (8) проводилось с помощью разработанного конечно-разностного алгоритма, реализующего неявную трехслойную схему с порядком аппроксимации , где – временной, – пространственный шаги сетки. Разностная схема равномерно устойчива при соотношении шагов .

Программа, написанная на языке С++, реализующая этот алгоритм, приведена в Приложении.