Многоточечные приближения высших порядков стохастической краевой задачи упругости композитов со случайной структурой

, . 2021

Поля структурных модулей упругости и поля перемещений представляются в виде средней составляющей и пульсации:

, . 22 23

Так как средняя составляющая перемещений известна из граничных условий (9), краевая задача решается относительно пульсаций перемещений .

С помощью принятых гипотез и после математических преобразований система уравнений краевой задачи принимает вид

. 24 25

Обозначив за тензор выражение в квадратных скобках правой части, уравнение (12) формально можно рассматривать как краевую задачу теории упругости для однородного тела с тензором модулей упругости и перемещениями , обусловленными действием случайных объемных сил .

Решение уравнения (12) находится с помощью метода функций Грина. В общем виде для неизвестного поля имеем интегро-дифференциальное уравнение, записанное в рекуррентном виде:

, 26 27

где – функция Грина, – приближение, в котором решается задача.

В первом приближении пульсации перемещений в правой части принимаются равными нулю. Последовательные приближения решения стохастической краевой задачи получаются путем подстановки в правую часть уравнения (13) решений в предыдущем приближении. Рассматриваются решения задачи в первом и втором приближениях:

, 28 29

, 30 31

где разность тензоров структурных модулей упругости включений и матрицы обозначена как постоянный тензор .

Решение интегро-дифференциального уравнения в первом или втором приближении используется для получения статистических характеристик полей деформирования. В качестве искомых статистических характеристик рассматриваются средние значения и дисперсии полей напряжений и деформаций в компонентах композита.

Приводятся общие формулы для условных (т.е. при условии вычисления в одном из компонентов) моментов полей деформирования:

, 3233

, 3435

где – индикаторная функция, которая принимает значение , если радиус-вектор находится в компоненте , и равна во всех остальных случаях. Аналогично записываются выражения для средних и дисперсий пульсаций напряжений в компонентах.

Показано, что для нахождения статистических характеристик в компонентах необходимы три безусловных момента: , и . Приводится аналитический вид функции Грина для изотропного тензора модулей упругости .

Рассмотрены две методики получения формул для искомых моментов с использованием решений краевой задачи. В первом случае моменты вычисляются с использованием решений задачи в том виде, в котором оно записано в выражениях (14) и (15). При этом под интегралом остаются первые производные функции Грина и производные моментных функций. Во втором случае используется операция свертки Стилтьеса и в подынтегральном выражении остаются вторые производные функции Грина и моментные функции без производной.

Аналитические выражения для моментов , и записываются с помощью обеих вышеописанных методик – в первом и, впервые, во втором приближении решения краевой задачи.

В четвертой главе содержатся результаты численных расчетов статистических характеристик полей деформирования в компонентах композита для различных случаев макроскопического напряженно-деформированного состояния, дано описание численных методов, используемых для расчета, а также приведены некоторые априорные оценки и точные решения для частных случаев.

Все численные расчеты реализованы в виде программного кода в среде Wolfram Mathematica с использованием параллельных алгоритмов.

Рассматриваются пористые композиты. Упругие константы матрицы задаются через модуль Юнга и коэффициент Пуассона следующим образом: МПа, . Приводятся новые численные результаты для средних значений и дисперсий полей деформирования в компонентах в случае всестороннего растяжения, чистого сдвига и одноосного нагружения для семи типов структур различной дисперсности с объемной долей включений , , , , описание которых дано в разделе 2.

В таблице 1 представлены статистические характеристики для структур с объемной долей , , , при чистом сдвиге, вычисленные во втором приближении решения стохастической краевой задачи.

Таблица 1. Статистические характеристики полей деформирования для структур с различной объемной долей включений при чистом сдвиге

jpg">

Статистические характеристики
Средние деформации,
	0.98991	0.98507	0.98078	0.97561
Средние напряжения, МПа
	0.13254	0.12535	0.11805	0.11070
Дисперсии деформаций,
В матрице
	0.28793	0.38102	0.47795	0.61877
	1.78269	2.32009	2.90176	3.79986
	1.25770	1.67277	2.08542	2.68656
	0.00130	0.00192	0.00155	0.00032
Дисперсии напряжений, МПа2
В матрице
	0.01219	0.01195	0.01041	0.00869
	0.04742	0.09379	0.15996	0.23979
	0.01459	0.01431	0.01238	0.01022
	0.00334	0.00332	0.00285	0.00230
Коэффициенты вариации
	0.1348	0.1622	0.1737	0.1998
	0.1642	0.2508	0.3388	0.4424

Проведен сравнительный анализ влияния объемной доли, дисперсности структуры на статистические характеристики. Показано, что дисперсность включений в структурах с одинаковой объемной долей оказывает влияние на дисперсии полей деформирования в компонентах, однако средние значения полей деформирования от дисперсности структуры не зависят.

Для частного случая пористых композитов выписано точное решение для средних напряжений в матрице. Записаны выражения для средних деформаций в матрице через эффективные модули упругости и заданный тензор макродеформаций. Из полученных на основе решения стохастической краевой задачи выражений для средних величин полей деформирования в компонентах вычисляются эффективные упругие константы материала.

Представлено сравнение некоторых полученных результатов с работами других авторов.

В заключении изложены основные результаты диссертационной работы.

1. Впервые построено второе приближение решения стохастической краевой задачи теории упругости структурно-неоднородных сред с использованием метода функций Грина.
2. Получены выражения для условных и безусловных моментов первого и второго порядка полей напряжений и деформаций с использованием решения краевой задачи в первых и вторых производных функции Грина с учетом явного вида структурных многоточечных моментных функций высших порядков для синтезированных структур.
3. Произведен синтез неоднородных матричных структур со сферическими включениями, для которых были построены многоточечные моментные функции от второго до пятого порядков. Предложен новый вид аппроксимирующих выражений для моментных функций, коэффициенты которых найдены для структур с различной объемной долей и дисперсностью включений.
4. Разработан программный комплекс в пакете Wolfram Mathematica, позволяющий синтезировать реализации случайных структур с заданными параметрами, строить моментные функции высших порядков для них, вычислять статистические характеристики полей деформирования на основе решения стохастической краевой задачи теории упругости с применением параллельных вычислений.
5. Получены новые численные результаты для статистических характеристик полей деформирования в компонентах пористых матричных композитов со сферическими включениями при различных видах макрооднородного напряженно-деформированного состояния.
6. Произведен анализ влияния геометрических параметров структуры композита, таких как дисперсность и объемная доля включений на результаты расчета средних значений и дисперсий полей напряжений и деформаций.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Ташкинов М.А. Приближение второго порядка для краевой задачи о чистом сдвиге матричного композита со случайными включениями // Молодежная наука Прикамья: сборник научных трудов. Перм. гос. техн. ун-т. — Пермь, 2008.— Вып. 9. – С. 185-188.
2. Ташкинов М.А., Евлампиева Н.В. Получение выражений для приближения второго порядка краевой задачи упругости матричного композита со случайными включениями в случае чистого сдвига // Молодежная наука Прикамья: сборник научных трудов.
   
   
   
   
   

   Перм. гос. техн. ун-т. — Пермь, 2009. — Вып. 10. — С. 67-68.

3. Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э., Михайлова Н.В. Метод последовательных приближений в стохастической краевой задаче теории упругости структурно-неоднородных сред // Механика композиционных материалов и конструкций, 2010. —Т.16. —№ 3. — С. 369-384.
4. Ташкинов М.А. Многоточечные моментные функции структурных свойств полидисперсных композитов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та, серия Физ.-мат. науки, 2011. — №2(23). — С. 74-82
5. Ташкинов М.А., Михайлова Н.В. Многоточечные приближения высших порядков в краевой задаче упругости полидисперсных композитов со случайной структурой // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. ­­ — № 4 (4), — С. 1799-1800.
6. Tashkinov M.A, Wildemann V.E., Mikhailova N.V. Method of successive approximations in stochastic elastic boundary value problem for structurally heterogenous materials // Computational Materials Science, Volume 52, Issue 1 (doi:10.1016/j.commatsci.2011.04.025).
7. Ташкинов М.А. Вычисление статистических характеристик полей напряжений и деформаций в композиционных материалах с использованием параллельных вычислений в программной среде Mathematica 7 // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах (HPC-2010): Материалы X Межд. конф. / Суперкомпьютерный консорциум ун-в России; Перм. гос. техн. ун-т. — Пермь: Изд-во ПГТУ, 2010. — Т.2., – С. 266-268.
8. Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э. Многоточечные приближения высших порядков в краевой задаче упругости полидисперсных структурно-неоднородных сред // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 28 фев. - 3 мар. 2011г. Тез. докл. – Пермь-Екатеринбург, 2011, – С. 308.
9. Ташкинов М.А., Михайлова Н.В. Многоточечные приближения высших порядков в краевой задаче упругости полидисперсных композитов со случайной структурой // Современные методы механики. X Всеросс. съезд по фунд.пробл. теор. и прикл. механики. Вторая Всеросс. шк. мол. ученых-механиков. Тез. докл. (Нижний Новгород, 24—30 августа 2011 г.). – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2011. – С. 168-169.
10. Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э., Михайлова Н.В. Многоточечные приближения высших порядков в стохастической краевой задаче теории упругости структурно-неоднородных сред // Математическое моделирование в естественных науках: тез. докл. 20-й Всерос. шк.-конф. мол. ученых и студентов / Перм. нац. иссл. политехн. ун-т. — Пермь : Изд-во ПНИПУ, 2011. – С. 95.
11. Tashkinov M. Method of Successive Approximations in Stochastic Elastic Boundary Value Problem for Structurally Heterogenous Materials // The Proceedings of the First International Conference on Advances in Interaction and Multiscale Mechanics (AIMM,10), May 31 – June 2, 2010, Jeju, Korea. – P. 114.
12. Tashkinov M.A, Wildemann V.E., Mikhailova N.V. Method of Successive Approximations in Elastic Boundary Value Problem for Random Structure Composites // 20th International Workshop on Computational Mechanics of Materials, Book of Abstracts, 08-10 September 2010, Loughborough, UK. – P. 90-91.
13. Tashkinov M. High Order Multipoint Correlation Functions in Stochastic Elastic Boundary Value Problem for Polydisperse Composites with Random Structure // 2nd International Conference on Material Modelling, Book of abstracts, August 31 – September 2, 2011, Paris, France. – P. 236.

Подписано в печать 17.11.2011 г.

Формат 60 x 90/16. Набор компьютерный.

Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № ___/2011.

__________________________________________________________________

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательства

Пермского национального исследовательского политехнического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, пр-т Комсомольский, 29, к. 113.

Тел. (342) 219-80-33