Многоточечные приближения высших порядков стохастической краевой задачи упругости композитов со случайной структурой

На правах рукописи

Ташкинов Михаил Анатольевич

МНОГОТОЧЕЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

СТОХАСТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ УПРУГОСТИ КОМПОЗИТОВ СО СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРОЙ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Пермь – 2011

Работа выполнена на кафедре механики композиционных материалов и конструкций ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор В.Э. Вильдеман

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор В.П. Радченко

Доктор физико-математических наук,

профессор И.Н. Шардаков

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный

университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Защита диссертации состоится 22 декабря 2011 года в часов на заседании диссертационного совета Д.004.012.01 в Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1, сайт: http://www.icmm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН

Автореферат разослан « » ноября 2011 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор технических наук, профессор И.К. Березин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Композиционные материалы широко применяются при проектировании высокотехнологичных конструкций и механизмов. Современные методы позволяют получать материалы со спектром уникальных характеристик, которые можно определять на стадии проектирования за счет выбора типов структуры композитов и физико-механических свойств компонентов. Для каждой конструкции может быть разработан материал, соответствующий ее назначению и условиям эксплуатации.

Актуальным является развитие таких моделей в механике композиционных материалов и конструкций, которые позволяют вычислять параметры полей деформирования для каждой фазы композита, что необходимо для предсказания механизмов деформирования и разрушения в зависимости от геометрических параметров конструкции, условий нагружения и структуры материала, а также для оценки надежности и выработки рекомендаций при проектировании материалов и конструкций.

Значительное место среди композиционных материалов занимают структурно-неоднородные материалы, состоящие из включений, случайным образом расположенных в матрице. Для исследования подобных стохастически армированных композитов используются статистические методы, основанные на применении теории случайных функций. Преимущества таких методов в том, что они позволяют учитывать такой важный фактор реальной структуры композитов, как случайность взаимного расположения компонентов и статистический разброс их свойств. Таким образом, решается задача определения характеристик стохастических полей напряжений и деформаций в элементах структуры композита по известным статистическим свойствам структуры и условиям нагружения.

Характеристики структурных полей деформирования микронеоднородных сред могут быть определены из решения стохастических краевых задач, в которых уравнения и граничные условия содержат случайные величины. Статистическую информацию о структуре, например, в виде многоточечных моментных функций, можно получить, используя образцы композита или модель случайной структуры.

В большинстве работ при описании стохастических структур ограничиваются моментными функциями, как правило, второго порядка. В статистической механике композиционных материалов до сих пор остается открытым вопрос о более полном учете взаимодействия компонент. В данной работе рассматриваются приближения высших порядков в рамках краевых задач, в которых необходимым является учет не только моментных функций второго порядка, но и третьего, четвертого и пятого порядков, что позволяет более полно описывать случайную структуру композитов.

Целью работы является развитие методов исследования полей структурных напряжений и деформаций в композиционных материалах со случайной структурой на основе разработки и реализации методик построения решений статистически нелинейных краевых задач в многоточечных приближениях с использованием моментных функций высших порядков.

Основные задачи исследования:

• вывод аналитических выражений для решения стохастических краевых задач теории упругости при помощи метода функций Грина с использованием процедуры последовательных приближений;
• получение выражений для моментов структурных напряжений и деформаций первого и второго порядков;
• построение и аппроксимация моментных функций высших порядков для синтезированных объемных полидисперсных стохастических структур со сферическими включениями;
• расчет статистических характеристик полей напряжений и деформаций при различных видах макрооднородного напряженно-деформированного состояния;
• анализ статистических характеристик полей напряжений и деформаций в зависимости от структурных параметров и вида макроскопического напряженно-деформированного состояния.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Получены новые результаты построения и аппроксимации многоточечных моментных функций (до пятого порядков) для неоднородных полидисперсных структур со сферическими включениями.
2. Впервые на основе решения краевой задачи во втором приближении выведены аналитические выражения для средних значений, условных и безусловных моментов второго порядка полей деформирования с учетом реального вида моментных функций для неоднородных структур.
3. Получены новые численные результаты для статистических характеристик полей деформирования матричных пористых композитов в случае всестороннего растяжения, чистого сдвига и одноосного нагружения.
4. Впервые произведено сопоставление численных результатов для статистических характеристик в первом приближении решения краевой задачи, где используются моментные функции до третьего порядка, с результатами во втором приближении, получаемом с использованием моментных функций до пятого порядка.

Обоснованность и достоверность результатов. Содержащиеся в работе положения и выводы подтверждены сопоставлением результатов, полученных на основе различных методик и приближений, а также сравнением для некоторых частных случаев результатов работы с частными точными решениями и известными приближенными результатами других авторов.

Практическая значимость работы состоит в создании научных основ для оценки прочности и надежности материалов и конструкций. Разработанные модели структуры и методы решения стохастических краевых задач механики композитов могут быть использованы для сравнительного анализа влияния различных структурных параметров на статистические характеристики полей напряжений с целью созда­ния материалов с заранее заданным комплексом свойств и оценки вероятностей разрушения.

Результаты диссертационной работы в виде математических моделей, методов, алгоритмов, методик расчетов и оформленные в виде программного кода в среде Wolfram Mathematica, могут быть использованы научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, занимающимися разработкой и проектированием композиционных материалов и конструкций из них.

Апробация. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• на 10-м Всероссийском Съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, 2011 г., Нижний Новгород;
• на Конференции по прикладной механике и материалам (McMAT-2011), проводимой Американским сообществом инженеров-механиков (ASME), 2011 г., Чикаго, США;
• на Второй международной конференции по моделированию материалов (ICMM’02), 2011 г., Париж, Франция;
• на 20-ом Международном семинаре по вычислительной механике материалов (IWCMM’20), 2010 г., Лафборо, Великобритания;
• на XVII Зимней школе по механике сплошных сред, 2011 г., Пермь;
• на Первой международной научной конференции «Достижения в механике взаимодействия и мультимасштабной механике» (AIMM’10), 2010г., Джеджу, Южная Корея;
• на XIII Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации», 2011 г., Пермь;
• на Х Международной конференции «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах» (HPC’2010), 2010 г., Пермь;
• на XX Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2011 г., Пермь;
• на XVII Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2008 г., Пермь;
• на XVI Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2007 г., Пермь;

Работа целиком докладывалась на научных семинарах:

• кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского политехнического университета, руководитель – доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Соколкин.
• кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета, руководитель – доктор физико-математических наук, профессор П.В. Трусов.
• Института механики сплошных сред УрО РАН, руководитель – академик РАН В.П. Матвеенко.

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР по грантам Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ 11-01-96030-р_урал_а, проект РФФИ 10-08-96062-р_урал_а, проект РФФИ 08-08-00702).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ, основные приведены в списке [1-13], в том числе 4 в изданиях из перечня ВАК [3-6].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Работа содержит 17 рисунков, 12 таблиц. Общий объем диссертационной работы – 110 страниц. Библиография включает 107 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность, сформированы цели и основные задачи работы, полученные в ней новые научные результаты, ее новизна, практическая ценность, приведены сведения об апробации работы, представлено краткое содержание глав диссертации.

В первой главе рассмотрены вопросы исследования композитов со случайной структурой с использованием структурно-феноменологического подхода. Приведен краткий обзор основных статистических методов решения стохастических краевых задач механики композитов. Даны описания некоторых известных алгоритмов моделирования геометрии трехмерных матричных неоднородных структур.

Вторая глава посвящена построению многоточечных моментных функций для синтезированных трехмерных неоднородных структур.

Рассмотрены объемные полидисперсные структуры со сферическими включениями. Для получения реализаций геометрии структуры матричных двухкомпонентных композитов используется следующий алгоритм. Ограниченная область кубической формы случайным образом по равномерному закону распределения заполняется точками, которые являются центрами сфер. Каждой такой точке ставится в соответствие радиус сферы, который может быть как постоянным для каждой сферы, так и генерироваться по равномерному закону распределения случайным образом в пределах установленного интервала. Ставится условие, что пересечение сфер недопустимо. Были использованы три метода, позволяющие синтезировать структуры с отсутствием пересечения между сферами: удаление пересекающихся сфер; перемещение пересекающихся сфер; уменьшение радиуса пересекающихся сфер.

В работе осуществлен синтез семи типов неоднородных структур композитов с различной объемной долей включений , , , , различным минимальным и максимальным радиусом включений, осредненным минимальным расстоянием между центрами включений.

На рис. 1 приведено графическое представление некоторых исследуемых неоднородных структур с одинаковой объемной долей , отличающихся минимальным и максимальным радиусами включений, а также количеством включений .

a б

в г

Рис 1. Визуализации моделей структур с объемной долей и различной дисперсностью: а) , , ; б) , , ; в) , , ; г) , , ;

Геометрия случайной структуры двухфазного композита описывается с помощью индикаторной функции :

, 1123

где – область, занимаемая включениями, – область, занимаемая матрицей, – радиус-вектор.

Пульсация случайной индикаторной функции в точке определяется как разница между значением индикаторной функции в данной точке и осредненным значением функции:

. 45

Если – статистически однородная и изотропная функция, , – объемная доля включений.

Выражение для -точечной моментной функции -го порядка имеет следующий вид:

6 7

.

Значения моментной функции в зависимости от шага вычисляются сеточными методами. Синтезированный фрагмент структуры разбивается сеткой с шагом , где – средний диаметр включений. В узлах сетки проверяется наличие матрицы или включения, индикаторной функции присваивается значение, соответственно, 0 или 1. Для получения значения моментной функции -го порядка задаются расстояния . Для всех пар узлов сетки, отстающих друг от друга на данные расстояния, вычисляются произведения и делятся на количество пар узловых точек.

При вычислении значений моментных функций все расстояния между точками принимаются одинаковыми и увеличивающимися пропорционально. Для этого моментные функции второго и четвертого порядка строятся на кубической сетке, функции третьего порядка – на гексагональной сетке, для построения моментных функций пятого порядка используется кубическая центрированная сетка. Используются моментные функции, нормированные по оси ординат на центральный момент .

Построены графики моментных функций до пятого порядка. Установлено и проиллюстрировано влияние объемной доли включений, а также дисперсности структуры на графики моментных функций.

Исследована возможность аппроксимации моментных функций высших порядков выражением:

, 8 9

где – сумма модулей разницы всевозможных комбинаций радиус-векторов без повторений слагаемых, – сумма квадратов модулей разницы всевозможных комбинаций радиус-векторов без повторений слагаемых, – порядок моментной функции. Коэффициенты аппроксимирующего выражения вычисляются методом смешанных градиентов.

Рис. 2. Двухточечная нормированная корреляционная функция для структур с разной объемной долей.

Рис. 3. Сравнения графиков корреляционной функции: сеточной и аппроксимированной выражением (5).

Показано, что выражение (4) с достаточной точностью аппроксимирует моментные функции порядка выше третьего, однако результат аппроксимации им корреляционных функций не является удовлетворительным. Были исследованы возможности аппроксимации корреляционных функций тремя различными зависимостями, из которых была выбрана следующая:

10 11

Для моментных функций от второго до пятого порядков приведены значения коэффициентов для рассматриваемых структур. Показано, что графики моментных функций, построенных на сетке, и соответствующие им графики аппроксимирующих выражений совпадают в мере, достаточной для использования предложенных аппроксимирующих выражений в решении стохастических краевых задач.

В третьей главе приводится постановка и решение стохастической краевой задачи теории упругости.

При решении краевой задачи принимаются следующие гипотезы: физические и геометрические величины, описывающие свойства композита, считаются статистически однородными и эргодическими случайными полями; материалы компонентов композита являются упругими, однородными; адгезия между материалами компонентов по границам раздела предполагается идеальной; массовые силы не учитываются; рассматриваются малые деформации; среда обладает свойством макроскопической однородности.

Краевая задача теории упругости для композитов со случайной структурой в некоторой области записывается следующим образом:

, 12 13

, 1415

16 17

, 18 19

где – тензор структурных модулей упругости, , – компоненты постоянного произвольно заданного симметричного тензора малых макродеформаций, – координаты точек поверхности тела. На межфазной поверхности выполняются условия идеального контакта , .

Макроскопические деформации и напряжения определяются путем осреднения по элементарному макрообъему :