Деформационная анизотропия объемно-изотропных структурно неоднородных сред

На правах рукописи

Берестова Светлана Александровна

ДЕФОРМАЦИОННАЯ АНИЗОТРОПИЯ

ОБЪЕМНО-ИЗОТРОПНЫХ

СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

Специальность 01.02.04 – Механика

деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Екатеринбург, 2006

Работа выполнена

в ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Митюшов Евгений Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Савелова Татьяна Ивановна

доктор физико-математических наук,

профессор Наймарк Олег Борисович

доктор физико-математических наук,

профессор Ташкинов Анатолий Александрович

Ведущая организация:

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск

Защита диссертации состоится 19 апреля 2007 года в 1400 на заседании Диссертационного совета Д 004.012.01 при Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Акад. Королева, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан «___» ________ 2007 года.

Ученый секретарь Березин И.К.

диссертационного совета, д.т.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одно из важнейших проявлений ускорения научно-технического прогресса, связано в значительной степени с повышением эффективности использования традиционных материалов: металлов и их сплавов, а также с необходимостью создания новых прогрессивных материалов, к которым в первую очередь относятся композиционные материалы. Реализация этой задачи возможна, в частности, на основе применения математического моделирования структурно неоднородных анизотропных материалов, т. е. материалов, представляющих собой микронеоднородные среды с размерами неоднородностей значительно меньшими характерных размеров образца или изделия, свойства которых различны в разных направлениях.

Структурно неоднородные материалы могут состоять из одной, двух и более изотропных или анизотропных фазовых составляющих, разграниченных поверхностями раздела и отличающихся своей пространственной ориентацией, формой, физико-механическими свойствами. Поведение и свойства микронеоднородных материалов обусловлены сложным взаимодействием большого числа образующих структуру элементов. В силу малости элементов неоднородности и статистического характера их распределения в такой среде можно выделить представительные объемы, свойства которых одинаковы и соответствуют характеристикам всего материала. Следовательно, микронеоднородную среду можно считать макроскопически однородной и характеризовать набором эффективных упругих или пластических коэффициентов, связывающих усредненные по всему объему среды характеристики внешних полей напряжений и деформаций.

Именно проблема определения эффективных характеристик стала одной из фундаментальных задач механики деформируемого твердого тела и привлекает внимание большого числа исследователей. Несмотря на большое количество как оригинальных исследований, так и работ обзорного характера, обсуждаемую проблему нельзя считать окончательно решенной. Модель поликристаллической среды с кристаллографической текстурой (металлы и их сплавы) является наиболее сложной в математическом описании моделью микронеоднородной среды со случайными локальными характеристиками физико-механических свойств. Поликристаллы с кристаллографической текстурой анизотропны и методы описания их деформативных свойств, полученные для изотропных материалов, не подходят для описания свойств в данном случае. При этом, как правило, не исследуется возможность снижения числа эффективных материальных констант, обусловленного существующими внутренними связями в микронеоднородной среде.

При оценке упруго-пластических свойств микронеоднородных материалов используются традиционно два принципиально различных подхода: феноменологический и структурный. Феноменологический требует проведения большого количества испытаний материала при разных сочетаниях нагрузки. Структурные же модели лишены этой общности и применяются главным образом для прогнозирования свойств при одноосных испытаниях. Представляет безусловный интерес сочетание феноменологического и структурного подходов для описания упруго-пластических свойств текстурированных микронеоднородных материалов в условиях сложного напряженного состояния.

Работа выполнялась на кафедре теоретической механики ГОУ ВПО «Уральского государственного технического университета-УПИ» в рамках исследований по г/б темам «Научные основы расчетов на прочность с учетом свойств, структуры материалов и различного характера внешних воздействий» и «Напряжения, деформации, разрушение структурно неоднородных тел при различных типах внешних воздействий».

Цель работы заключается в исследовании закономерностей формирования анизотропии упругих и предельных свойств широкого класса объемно-изотропных структурно неоднородных упруго-пластических сред с использованием спектральных математических моделей.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана спектральная математическая модель анизотропной структурно неоднородной упруго-пластической среды.
2. Показано, что для некоторых микронеоднородных материалов наличие упругой симметрии макрообъема определяет лишь верхнюю границу для количества независимых констант упругости. Все дополнительные соотношения между макроконстантами упругости получены с использованием точных решений задач об определении упругих характеристик микронеоднородных сред.
3. Впервые найдено точное решение задачи об определении эффективных упругих характеристик поликристалла с однородным объемным модулем в случае двухкомпонентной текстуры, допускающей инвариантное преобразование симметрии при повороте системы на угол /4 в рамках двухуровневой трехмерной модели.
4. Разработана аналитическая схема расчета эффективных упругих свойств текстурированных поликристаллических материалов.
5. Предложены методы вычисления параметров армирования композиционных материалов.
6. На основе полученных аналитических соотношений для эффективных свойств проиллюстрирован независимый вклад упругой анизотропии монокристалла (компонент) и кристаллографической текстуры (пространственной ориентации компонент) в макроскопические свойства поликристаллов (композиционных материалов).
7. Для объемно-изотропных материалов разработана структурно-феноменологическая теория пластического течения.
8. С использованием физических уравнений пластического течения выполнено исследование текстурно-обусловленной симметрии пластической деформации и дан способ вычисления меры пластической анизотропии – коэффициента нормальной пластической анизотропии.
9. Проведено трехмерное аналитическое моделирование упруго-пластической деформации в макроскопически изотропных поликристаллах с объемноцентрированной и гранецентрированной кубической решеткой.
10. Дан метод расчета упругих и предельных характеристик объемно-изотропных композиционных материалов.

Достоверность полученных результатов обеспечена строгой математической постановкой задач, применением математически обоснованных методов решения, предельными переходами к известным частным случаям, сравнениями полученных решений с известными экспериментальными данными.

Практическая ценность работы состоит в создании теоретических основ создания регламентированной текстуры в металлах и сплавах, обеспечивающей необходимый уровень служебных характеристик полуфабрикатов и изделий. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при оценке коэффициента нормальной пластической анизотропии, являющегося показателем способности материала к глубокой вытяжке и внесенного в европейский стандарт EN 10130 «Холоднокатаный лист из низкоуглеродистой стали для холодной штамповки». Предлагаемые алгоритмы оценки анизотропии эффективных свойств могут быть использованы при инженерных расчетах с применением современных математических пакетов, содержащих матричные операции без создания дополнительных программных надстроек для численной реализации тензорных преобразований.

На защиту выносятся теоретические положения, связанные с разработкой новых спектральных математических моделей деформирования и повреждения текстурированных структурно неоднородных сред, а также методов расчета их эффективных упругих и пластических характеристик и оценки возможной пластической анизотропии.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на Международной конференции ”Mathematical Methods of Texture Analysis”. (Дубна, 1995); Международной конференции “Texture and properties of Materials” (Екатеринбург, 1997); 13 ой Международной Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2003); Всероссийских I (Екатеринбург, 1999), II (Пермь, 2000); III (Екатеринбург, 2004), IV(Екатеринбург, 2006) научных семинарах “Механика микронеоднородных материалов и разрушение”; 10-ой Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2001); IXX Российской школе по проблемам науки и технологий (Миасс, 2001); Ломоносовские чтения (Москва, МГУ, 2001, 2004) и др. Доклады по теме диссертации были включены в программу и отражены в материалах Международных конференций ICOTOM-11, China, 1996; Nutron Texture and Stress Analysis, Dubna, 1997.; Texture and Anisotropy of Polycrystals, Clausthal, Germany, 1997; Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлоконструкций, С-Петербург, 1997; на VIII (Пермь, 2001) и IX (Н-Новгород, 2006) Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике и др.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической механики Уральского государственного технического университета – УПИ (Екатеринбург, руководитель – проф., д.ф.-м.н. Е.А. Митюшов): объединенных научных семинарах Института физики прочности и материаловедения (Томск, 2003, руководитель – проф., д.ф.-м.н. Л.Б.Зуев); в Пермском государственном техническом университете на семинарах кафедр механики композиционных материалов и конструкций (Пермь, 2006, руководитель – д.ф.-м.н., проф. Ю.В. Соколкин), математического моделирования систем и процессов (Пермь, 2006, руководитель – д.ф.-м.н., проф. П.В.Трусов), а также на научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (Пермь, 2006, руководитель – акад. РАН В.П. Матвеенко).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 60 печатных работ, в том числе 29 статей в отечественных, зарубежных журналах и сборниках.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, 7 приложений и списка литературных источников, в который включено 385 наименований. Объем диссертации составляет 349 страниц, содержит 298 страниц текста, в работу включены 84 рисунка и 9 таблиц, которые размещены по месту ссылок внутри основного текста.

Личный вклад автора. Представленные в работе научные результаты получены лично автором, либо при ее непосредственном участии. Во всех случаях использования результатов других исследований в работе приведены ссылки на источники информации.

Автор выражает искреннюю благодарность за реализацию совместных творческих проектов, постоянное внимание к работе и ценные советы профессору Евгению Александровичу Митюшову.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы, главное направление исследований которой заключалось в теоретическом изучении закономерностей упруго-пластической деформации текстурированных структурно неоднородных сред. Отличительной особенностью работы является рассмотрение этих явлений с использованием спектральных математических моделей широкого класса объемно-изотропных структурно неоднородных сред в рамках двухуровневых моделей текстурированных поликристаллических сред и пространственно-армированных композитов.

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер, в ней выполнена детализация метода Я. Рыхлевского в соответствии с поставленными задачами исследования, устанавливаются правила перехода при использовании различных способов описания упругих свойств анизотропных материалов (тензорный, матричный Фойгта, матричный Мехрабади-Ковина, техническими константами, истинными модулями упругости), находятся тензорные базисы, соответствующие различным группам симметрии материала, дается определение объемно-изотропной структурно неоднородной среды и определяется количество независимых констант с учетом дополнительных соотношений, учитывающих, косвенным образом, геометрию структуры некоторых структурно неоднородных сред.

Согласно методу Я. Рыхлевского обобщенный закон Гука рассмотрен как линейное преобразование пространства симметричных тензоров второго ранга

или .

Здесь и симметричные тензоры напряжений и деформаций; линейный оператор упругости; обратный оператор.

В шестимерном пространстве симметричных тензоров второго ранга особую роль имеют тензоры , удовлетворяющие уравнениям

или

Найден ортонормированный базис, элементы которого соответствуют различным напряженно-деформированным состояниям (собственные упругие состояния):

.

Тензоры напряжений и деформаций в этом базисе представимы в виде:

, ,

где скалярные сомножители и с учетом условия ортогональности для элементов тензорного базиса определяются выражениями

,

и являются координатами тензоров напряжений и деформаций в базисе из собственных упругих состояний шестимерного пространства напряжений-деформаций.

Тензор четвертого ранга модулей упругости , поставленный в соответствие линейному оператору , записан в виде спектрального разложения:

,

аналогично тензор коэффициентов податливости

.

Здесь

, ,

где единичный тензор четвертого ранга.

Параметры есть собственные значения линейного оператора . Эти параметры определяются модулями упругости анизотропного тела и названы истинными модулями упругости модулями Кельвина-Рыхлевского, которые являются корнями уравнения шестой степени

, где ,

матричные обозначения Мехрабади-Ковина.

В базисе из собственных упругих состояний закон Гука представим в виде шести законов прямой пропорциональности

.

Данное описание закона Гука обобщает встречающееся в литературе представление закона посредством двух тензорных уравнений: закона пропорциональности шаровых и закона пропорциональности девиаторных частей тензоров напряжений и деформаций.

Далее уточняется понятие структурно неоднородного объемно-изотропного тела, как среды, для которой шаровой тензор является собственным упругим состоянием тела. Показано, что большинство металлов и сплавов, применяемых в технике с объемноцентрированной (ОЦК) и гранецентрированной (ГЦК) кубическими решетками относятся к объемно-изотропным и в текстурированном состоянии обладают существенной анизотропией упруго-пластических свойств при пропорциональности шаровых частей тензора деформаций и тензора напряжений. Свертки тензора модулей упругости четвертого ранга по двум крайним индексам являются инвариантами и выполняются дополнительные соотношения между компонентами тензора упругости

, , ,

где – объемный модуль.

Получен ортонормированный базис в пространстве симметричных тензоров второго ранга для объемно-изотропного ортотропного тела

где , .

Показано, что для описания упругих свойств ортотропного тела, обладающего объемной изотропией необходимы шесть истинных модулей упругости Кельвина-Рыхлевского:

, , , , ,

один безразмерный дистрибутор жесткости, а также три неинвариантных параметра, которые позволяют произвольным образом ориентировать описываемую систему координат в пространстве.

Для объемно-изотропных тел удельная энергия деформации всегда разложима на энергии изменения объема и формы

.

Структура анизотропных материалов накладывает дополнительные ограничения на число независимых эффективных констант, о чем свидетельствуют соотношения, которые могут быть получены не в рамках континуальных моделей. В результате анализа известных точных решений по определению эффективных упругих свойств структурно неоднородных материалов с изотропным и анизотропным пространственным распределением фазовых составляющих показано, что между эффективными константами помимо ограничений, накладываемых из симметрийных соображений, существуют дополнительные соотношения.

Количество независимых величин, определяющих упругие свойства макроскопически ортотропного текстурированного материала с кубической симметрией структуры, равно семи, так как имеют место соотношения

,

в случае трансверсально-изотропного тела (ось является осью упругой симметрии материала) равно четырем, так как

.