Одномерная математическая модель динамики кровотока в русле артериальной системы человека и вариант ее практического применения.

На правах рукописи

Елшин Михаил Анатольевич

Одномерная математическая модель динамики кровотока в русле артериальной системы человека и вариант ее практического применения.

Специальность 01.02.08 – «Биомеханика»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов – 2009

Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Гуляев Юрий Петрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Скрипаль Анатолий Владимирович

кандидат физико-математических наук, Шабрыкина Наталья Сергеевна

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Московский государственный университет приборостроения и информатики»

Защита состоится « 16 » апреля 2009 г. в 15:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу:

410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, к. 9, ауд. 218.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Автореферат разослан « 11 » марта 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Ю.В. Шевцова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Статистика утверждает, что сердечно-сосудистые заболевания (ССЗ) – это одна из основных причин инвалидности и преждевременной смерти жителей экономически развитых стран. На сегодняшний день доля ССЗ в структуре смертности является основной и составляет от сорока до шестидесяти процентов от общей смертности. При этом продолжается рост заболеваемости и поражение людей всё более молодого возраста, что делает сердечно-сосудистые заболевания важнейшей медико-социальной проблемой здравоохранения.

Сосудистые заболевания конечностей – лидирующая причина ампутаций у людей в возрасте 50 лет и старше, и занимает 90% всех ампутаций. Обычно лечение осложненных сосудистых заболеваний состоит в назначении антибиотиков, удалении инфицированных тканей, назначение сосудистых препаратов (например, антикоагулянтов), а оперативное лечение заключается в таких операциях, как ангиопластика, шунтирование, стентирование. Однако когда перечисленные мероприятия не могут помочь достичь требуемого результата, хирургу приходится прибегать к ампутации в качестве спасительной меры.

Заболевания артерий нижних конечностей, помимо болей при ходьбе нередко приводят к развитию критической ишемии и ампутации. Для лечения этих поражений применяется весь спектр сосудистых препаратов, но нередко приходится выполнять реконструктивные сосудистые операции, чтобы восстановить кровообращение в пораженной нижней конечности.

Реконструктивные операции выполняются достаточно часто в наше время, однако на данный момент не существует объективных показаний к применению того или иного типа материала шунта и выбора его геометрических параметров. Часто невозможно также объективно предсказать результат операции, а именно, на сколько близок будет кровоток после реконструируемого участка к нормальному или какой тип реконструкции будет оптимальным для каждого конкретного случая.

Таким образом, математическое компьютерное моделирование течения крови является актуальной научно-практической задачей. Моделирование течения крови позволяет вычислить параметры кровотока в любой точке сосудистого русла в любой момент времени и спрогнозировать его изменение в результате реконструктивной операции.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является разработка математической модели и программного комплекса, удовлетворяющего выше обозначенным критериям. Для достижения цели исследования рассмотрены следующие задачи:

• выполнить сравнительный анализ существующих на данный момент математических моделей и расчетных схем течения крови в артериальной системе человека.
• построить быстродействующую, многопараметрическую математическую модель течения крови в артериальном русле, применимую к сосудистому дереву произвольной конфигурации.
• разработать на базе построенной математической модели пакет прикладных программ, позволяющий моделировать различные сосудистые деревья и рассчитывать параметры течения крови в любой их части и в любой момент времени периода пульсации.
• сравнить in vivo данные с результатами моделирования исследованного участка артериальной системы.

Научная новизна.

Теоретическая и практическая ценность работы. Пакет прикладных программ и математическая модель, описанные в данной диссертации, могут служить инструментом для выбора наиболее удачного варианта реконструктивной операции, наиболее подходящего по геометрическим размерам шунта и его материала. Одномерная математическая модель показывает результаты, мало отличающиеся от результатов трехмерного моделирования кровотока всюду, за исключением локальных участков сосудистой системы, где имеется достаточно выраженная физическая и геометрическая неоднородность.

Положения, выносимые на защиту:

1. Одномерная, линейная математическая модель периодического течения крови, учитывающая углы разветвления.
2. ПО, построенное на основе одномерной математической модели, является быстродействующим, требующим мало системных ресурсов, простое в обращении, способное моделировать широкий спектр конфигураций сосудистых систем и легко настраивается под конкретный случай. Разработанная система может служить прототипом для промышленного производства такого рода программ, их внедрения в медицинские учреждения РФ или даже интеграции их в УЗ аппараты.
3. Моделирование течения крови с помощью разработанного пакета прикладных программ показывает результаты, близкие как к результатам полученным на базе трехмерной модели, так и к экспериментальным данным. Однако, в силу того, что уравнения трехмерной модели требуют численного решения, а уравнения одномерной модели решаются аналитически, время вычисления для последней на несколько порядков меньше.
4. Моделирование тока крови в сосудистых системах может быть осуществлено на основе in vivo данных ультразвуковой допплерографии и анализа крови пациента (анализ крови на вязкость и плотность).

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международной научно-технической конференции “Вычислительная механика деформируемого твердого тела” (Москва, 2006); Всероссийской научной школе-семинаре “Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине – 2007” (Саратов, 2007); Всероссийской школе семинаре “Математическое моделирование и биомеханика в современном университете” (Дивноморск, 2007, 2008); Международной конференции “XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды” (Саратов, 2007); XIII Всероссийском съезде сердечно-сосудистых хирургов в НЦССХ им. А. Н. Бакулева РАМН (Москва, 2007); IX всероссийской конференции по биомеханике “Биомеханика – 2008” (Нижний Новгород, 2008). В целом работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

Публикации по теме диссертации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 7-и печатных работах, в том числе одна статья [2] в журнале, входящем в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Работа содержит 145 страницы машинописного текста, 69 иллюстраций, 2 таблицы и библиографический список из 133 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи, показаны новизна и практическая значимость работы, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлена информация о строении кровеносной системы человека и в частности конфигурация русла бедренной артерии нижней конечности человека, кратко описано наиболее распространенное заболевание сосудов – атеросклероз. Кроме того, здесь представлено описание современных математических моделей и расчетных схем, применяемых разными авторами для вычисления или анализа параметров кровотока и напряженно деформированного состояния стенки сосуда.

Вторая глава посвящена построению математической модели движения крови в упругом изотропном сосуде. Кровь рассматривается как нютоновская жидкость. Модель строится на базе системы уравнений состоящей из следующих соотношений:

• упрощенное одномерное дифференциальное уравнение течения вязкой несжимаемой жидкости:

, (1)

где – скорость объемного расхода крови, – давление крови, – вязкость крови, – плотность крови, – радиус рассматриваемого сосуда, – продольная координата, – время;

• уравнение неразрывности, которое связывает объёмный расход Q с радиальным перемещением стенок сосуда w:

; (2)

• динамические уравнения осесимметричного деформирования круговой цилиндрической оболочки по безмоментной теории:

, (3)

, (4)

где – толщина стенки сосуда, – продольное перемещение стенки сосуда, и – коэффициенты податливости тканей в радиальном и осевом направлениях, и – пульсационные составляющие осевой и поперечной силы натяжения сосуда, и – их начальные величины;

• соотношения идеальной упругости стенок сосуда для обобщенного плоского напряженного состояния

, (5)

, (6)

где – модуль упругости, – коэффициент Пуассона; или известные соотношения, учитывающие анизотропию стенок сосуда.

Таким образом, получается замкнутая система уравнений (1) – (6) в частных производных относительно шести неизвестных , которая преобразуется в систему трех уравнений в частных производных для трех неизвестных функций , и .

. (7)

Затем функции представляются в виде комплексного ряда Фурье:

,, , (8)

где – период кровообращения. После подстановки выражений (8) в систему уравнений (7) получается система уравнений (для простоты записи нижний индекс у искомых функций опускается):

(9)

Это система трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Отмечается, что искомые функции и множители являются величинами комплексными. Для того, чтобы полностью решить эту систему уравнений шестого порядка, необходимо задать шесть произвольных постоянных для каждого участка артериальной системы. Эти постоянные определяются из краевых и контактных условий артериальной системы. Необходимо задать шесть условий для каждого участка. В качестве таких условий принимаются следующие сооьношения:

• на входе в артериальное русло:

,

, (10)

;

• на выходе из артериального русла:

,

, (11)

;

где – длина сосуда.

• в точке соединения/разветвления нескольких участков артериального русла:

,

(сумма объемных расходов входящих и исходящих равна нулю)

,

, (12)

,

, ,

где n – количество артерий соединенных в данной точке, – длина окружности поперечного сечения -го сосуда в узле ветвления.

Таким образом, получается по три условия в начале и в конце артериальной системы. Чтобы система уравнений для определения произвольных констант была замкнутая, необходимо, чтобы в точке контакта на каждую из артерий приходилось по три контактных условия. Действительно, имеем одно уравнение баланса кровотоков, два осредненных уравнения равенства продольных и поперечных усилий и по уравнению для давления и перемещений: , т.е. для n артерий в узле задается уравнений, по 3 на каждую артерию. Таким образом, получается замкнутая система уравнений для нахождения произвольных констант для каждой из артерий составляющих артериальную систему.

Для вычисления установившегося течения крови сначала определяется сопротивление течению в узлах разветвления с учетом углов между входящей артерией и исходящими. За основу берутся динамические контактные условия, полученные из уравнения сохранения количества движения сплошной среды:

Члены, отвечающие не установившемуся течению, отбрасываются:

Далее анализируется случай, когда в узле соединены только две артерии. Слагаемые, относящиеся к третьей артерии, отбрасываются. С учетом того, что в узле осталось только две артерии и, значит, кровотоки в них одинаковы – , записывается соотношение:

В результате домножения первого из этих уравнений на , второго на и их сложения получается выражение:

После выражения , получается формула:

(13)

Затем рассматривается следующая аналогия для артерии выходящей из узла:

Рис. 1. Электродинамическая аналогия.

Здесь – давление в конце первого участка (входящего в узел), – давление в начале второго участка (исходящего из узла), – давление в конце второго участка (исходящего из узла), – сопротивление узла разветвления, – Пуазейлево сопротивление второго участка, – ток на участке. В силу того, что данная схема представляет собой последовательное соединение, ток в каждой точке будет одинаковый. Тогда из закона Ома следует выражение:

(14)

Формула (13) будет выполняться на участке с сопротивлением и примет для этого участка вид:

(15)

После подстановки выражения (14) в (15) и преобразования получается соотношение:

(16)

Так как все давления здесь мало отличаются от нормального атмосферного давления, то принимается и вводится коэффициент

(17)

Подстановка соотношения (17) в (16) дает уравнение, после выражения из которого получается формула:

(18)

где в силу малого перепада давления в сосудах относительно нормального атмосферного давления.

Для вычисления установившегося кровотока составляется система уравнений для всей рассматриваемой артериальной системы. В нее включаются следующие уравнения:

• Для каждого участка уравнение связи тока и давления согласно формуле (14)

, (19)

где k – номер сосуда входящего в узел ветвления; i – номер исходящего сосуда; – давление в конце k-го сосуда, то есть, давление непосредственно перед узлом ветвления; – давление в конце i-го сосуда. Для входного участка системы, в силу того, что он не исходит из узла ветвления, записывается соотношение .

• Для каждого узла

, (20)

где - номера артерий соединенных в узле.

• На входе в артериальную систему задается , где – свободный член разложения (8).
• На выходах из артериальной системы задается , где – номера артерий, которыми оканчивается рассматриваемая артериальная система (здесь и – соответственно значения в начале и в конце –го участка).

Таким образом, получается замкнутая система уравнений для вычисления установившегося течения крови в артериальном русле с учетом углов между сосудами в узлах разветвления.