Фундаментальные решения для анизотропной среды и их приложения

На правах рукописи

КОЛОСОВА Елена Михайловна

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2007

Работа выполнена на кафедре теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.

Научный руководитель	доктор физико-математических наук, профессор Ватульян Александр Ованесович
Официальные оппоненты	доктор физико-математических наук, профессор Селезнев Михаил Георгиевич доктор физико-математических наук, профессор Ляпин Александр Александрович
Ведущая организация	Институт проблем механики РАН, г. Москва

Защита диссертации состоится «6» ноября 2007 г. в 18 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, ЮФУ, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «4» октября 2007 г.

Учёный секретарь  диссертационного совета

Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи об оценке напряженно-деформированного состояния упругих анизотропных тел при установившихся колебаниях представляют собой важную задачу механики деформируемого твердого тела. Учет анизотропии продиктован физическими свойствами сталей, композитов, кристаллов, биологических тканей, грунтов и горных пород. Среди современных вычислительных технологий, позволяющих анализировать подобные задачи, отметим методы конечных и граничных элементов.

Среди современных методов численного анализа методу граничных элементов МГЭ (или BEM в зарубежной литературе) принадлежит особое место. Благодаря своим достаточно простым математическим формулировкам и очевидному физическому содержанию МГЭ является эффективным и очень распространенным методом решения различных задач математической физики, механики сплошной среды, важной особенностью которого по сравнению с методом конечных элементов является снижение размерности задач на единицу. В исторической основе этого метода лежит классическая теория потенциала, позволяющая сводить решение задачи к решению граничных интегральных уравнений и систем меньшей размерности. Дальнейшая процедура дискретизации этих интегральных уравнений при помощи разбиения границы на элементы, последующая аппроксимация неизвестных функций на элементе и выполнение уравнений в наборе точек приводит к хорошо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений неизвестных.

Ключевым моментом при практической реализации классического метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) является построение фундаментальных решений. Однако, в случае установившихся колебаний для сред, не обладающими свойством сферической симметрии (анизотропия различного типа), возможно их построение в виде многомерных интегралов Фурье, однако в явном виде через элементарные и специальные функции их получить не удается, что в значительной степени снижает эффективность применения метода ГЭ, поскольку процедура дискретизации требует вычисления кратных интегралов.

Таким образом, дальнейшее развитие метода граничных элементов и вычислительных технологий на их основе применительно к анизотропным средам требует построения интегральных представлений фундаментальных решений для анизотропной среды, корректного сведения краевых задач теории упругости о колебаниях анизотропных тел к системам интегральных уравнений, построению эффективных вычислительных схем на основе гранично-элементных аппроксимаций, которые бы позволили анализировать новые задачи, в том числе и о концентрации напряжений около отверстий.

Цель работы состоит в построении и исследовании нового представления фундаментальных решений для анизотропной среды в случае установившихся колебаний (в плоском случае), которое удобно при численном анализе, в корректной формулировке систем ГИУ, развитии МГЭ и их применении при решении конкретных задач об установившихся колебаниях анизотропной среды, в частности, для бесконечной плоскости с полостью.

Методика исследований основывается на сведении поставленных задач к граничным интегральным уравнениям на основании теоремы взаимности и новом представлении фундаментальных решений для ортотропных и неортотропных материалов, на сведении ГИУ к системам линейных алгебраических уравнений, при формировании матриц которых требуется вычислять лишь однократные интегралы.

Достоверность результатов работы основана на строгом аппарате математической теории упругости, на корректном сведении задач об установившихся колебаниях анизотропной среды с полостью к системам граничных интегральных уравнений, на разработке техники разрывных ГЭ, сравнением результатов, полученных в работе, с известными частными случаями.

Научная новизна работы определяется построением и исследованием нового представления фундаментальных решений в случае установившихся колебаний анизотропной среды (в плоском случае), разработке эффективной вычислительной схемы решения задач на основе гранично-элементных аппроксимаций специального вида.

Практическая ценность результатов исследования состоит в разработке методов решения задач о колебаниях анизотропных упругих тел при наличии полостей произвольной формы.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII, VIII, IX и X Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001, 2002, 2005, 2006 гг.), на VI Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2004 г.), на III Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (Донецк, 2005 г.), на семинарах кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 1 статья [6] в журнале «Прикладная механика и техническая физика», рекомендованном ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертации. Список публикаций приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 179 наименований, приложения из 17 рисунков и 1 таблицы общим объемом 136 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор литературы по методу граничных элементов и краткую аннотацию всех глав диссертации.

Отметим, что технология МГЭ в своей основе опирается на метод граничных интегральных уравнений и восходит к классическим работам И. Фредгольма для краевых задач для уравнения Лапласа и В.Д. Купрадзе для уравнений теории упругости. Возможности численной реализации систем ГИУ существенно расширились в современное время благодаря идеям конечномерных аппроксимаций. Современная библиография МГЭ обширна. Опубликованы многочисленные научные и специальные работы, учебники и монографии, в которых изложены теоретические основы метода и различные аспекты его применения. Среди многих монографий, посвященных различным аспектам метода граничных элементов, отметим работы Т. Крузе и Ф. Риццо, П. Бенерджи и Р. Баттерфилда, К. Бреббия, Ж. Теллеса и Л. Вроубела, А.Г. Угодчикова и Н.М. Хуторянского, В.З. Партона и П.И. Перлина, Trevor G. Davies and Xiao-Wei Gao, Federico Paris and Jos Caas, Prem K. Kythe.

Построению фундаментальных решений в динамической теории упругости и их исследованию посвящены работы М.А. Алексидзе, В.А. Бабешко, М.О. Башелейшвили, А.В. Белоконя, Т.В. Бурчуладзе, А.О. Ватульяна, Т.Г. Гегелиа, П.С. Диневой, А.В. Капцова, С.В. Кузнецова, В.Д. Купрадзе, А.А. Ляпина, А.В. Наседкина, Д.Г. Натрошвили, Т.В. Рангелова, В.И. Сторожева, J.D. Achenbach, D. Gross, G.D. Manolis, C.Y. Wang и многих других авторов.

Первая глава диссертации посвящена построению интегральных представлений фундаментальных решений в плоских задачах для ортотропного и общего анизотропного случая в случае установившихся колебаний в виде однократных интегралов по конечному отрезку. В первом параграфе изложена постановка различных типов задач об установившихся колебаниях ортотропной упругой среды в условиях плоской деформации; компоненты вектора перемещения имеют вид (,,) и после отделения временного множителя уравнения колебаний представимы в форме

(1)

где , - массовые силы, , , , - упругие постоянные материала, - плотность, - частота колебаний.

Сформулированы постановки задач об установившиеся колебаниях конечных ортотропных тел (задача 3), ортотропной плоскости с полостью, свободной от нагрузки, находящейся под действием либо падающего поля (задача 1) либо сосредоточенного источника (задача 2).

Замыкают постановку задач (1,2) условия излучения на бесконечности, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения.

Во втором параграфе на основе интегрального преобразования Фурье построено представление фундаментальных решений для ортотропной плоскости в виде двукратного интеграла и исследованы кривые полярных множеств.

Под фундаментальными решениями системы (1) будем понимать функции , удовлетворяющие (1) для и условиям излучения на бесконечности

(2)

где , ,

- дифференциальные операторы в частных производных с постоянными коэффициентами

(3)

При помощи двумерного преобразования Фурье в рамках принципа предельного поглощения получено следующее интегральное представление фундаментальных решений

,

(4)

где - однородные полиномы второго порядка, - однородный полином четвёртого порядка по , - поверхность, совпадающая с вещественной плоскостью , за исключением окрестностей множества нулей полинома , которые она огибает в соответствии с условиями излучения.

Исследовано множество вещественных нулей полинома . Осуществлен переход к безразмерным координатам , и в полярную систему координат . Множество нулей представляет собой две замкнутые непересекающиеся кривые, которые обладают симметрией относительно обеих координатных осей. Внутренняя кривая для любого материала выпуклая, а возможное число точек перегиба на внешней кривой равняется 8, 4 или 0. На рис.1 приведены графики кривых для различных материалов, иллюстрирующие эти случаи.

Рис.1

Третий параграф посвящен преобразованию представления фундаментальных решений вида (4) к более простому виду. Представление (4) малопригодно для практического использования, поэтому оно упрощено на основе анализа свойств подынтегральных функций и контурного интегрирования и преобразовано к интегралу по конечному отрезку

, , , ,

(5)

где , - интегральные синус и косинус.

Интегральные представления (5) обладают свойствами -периодичности, четности при и нечетности при по полярному углу .

В четвертом параграфе исследована структура фундаментальных решений (5) при малых и больших значениях безразмерного параметра с использованием асимптотики специальных функций и асимптотических методов. Главный член асимптотики фундаментальных решений (5) при имеет логарифмическую особенность, такую же, как и в изотропном случае. Для построения асимптотики интегральных представлений (5) при применен метод стационарной фазы. Для этого были изучены стационарные точки фазовых функций в (5) и построены их зависимости от полярного угла . Главная часть асимптотики при фундаментальных решений (5) представлена в виде

,	(6)
,	(7)

где

- амплитуды,

,

,

- фазы колебаний.

Направления при и назовем критическими, и асимптотика в этих случаях состоит из трех слагаемых, главные члены для двух из которых убывают как , третье соответствует кратной стационарной точке и главная часть для него убывает как .

На основе детального анализа асимптотики фундаментальных решений при представлена структура волнового поля в ортотропной среде в дальней зоне от действия сосредоточенной силы. Показано, что в разных зонах изменения угла имеется различное число распространяющихся мод колебаний. Например, для материала типа сегнетовой соли в первой и третьей зонах имеется две упругие волны, во второй зоне - четыре волны, вдоль направлений и - три волны (рис.2).

Рис.2

В пятом параграфе получены представления фундаментальных решений в общем случае анизотропии в виде однократного интеграла по конечному отрезку, которые аналогичны (5). Здесь нули характеристического полинома уже имеют три компоненты и соответственно суммирование идет от 1 до 3.

В шестом параграфе проверено совпадение асимптотик интегрального представления фундаментальных решений вида (5) при больших и малых значениях в предельном случае изотропного материала с соответствующими асимптотиками известных представлений фундаментальных решений, выраженных через функции Ханкеля.

Вторая глава посвящена формулировке на основе теоремы взаимности систем граничных интегральных уравнений, описывающих установившиеся колебания упругой анизотропной плоскости с полостью или конечного анизотропного тела. В первом параграфе получены две системы граничных интегральных уравнений; первая описывает колебания анизотропной плоскости с полостью произвольной формы от действия падающей плоской волны, вторая – от действия сосредоточенной силы.

Первая система ГИУ для нахождения поля перемещений отражённого поля имеет вид

(8)

где

, , ,

причём интегралы в (8) понимаются в смысле главного значения по Коши, - компоненты тензора напряжений (сингулярные решения), которые определяются на основе фундаментальных решений и обобщенного закона Гука.

Вторая система ГИУ для нахождения поля перемещений получена в виде

, , , (9)

где - проекции сосредоточенной силы, приложенной в точке с координатами .

Второй параграф посвящен получению системы ГИУ в смешанной задаче об установившихся колебаниях конечного анизотропного тела, занимающего односвязную область, ограниченную гладким контуром .

Получена система ГИУ относительно компонент вектора перемещения на части контура и компонент вектора напряжения на

, .

(10)