Исследование состояний тропосферы, соответствующих внутренним решениям уравнений навье-стокса

На правах рукописи

БОНДАРЧУК Алексей Алексеевич

Исследование состояний тропосферы, соответствующих
внутренним решениям уравнений Навье-Стокса

01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону – 2007

Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет».

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Снопов Александр Иванович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ефремов Ион Иванович.

доктор физико-математических наук,

доцент Задорожный Анатолий Иванович.

Ведущая организация:

Институт Механики
Московского государственного университета

Защита состоится “__” ________ 2007 г. в 16.50 на заседании диссертационного совета К 212.208.02 в Южном федеральном университете, ф-т. Математики, механики и компьютерных наук, по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, Мильчакова, 8а, в ауд. 213.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного федерального университета, по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан “__” ________ 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета М.Ю. Жуков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Ход атмосферных процессов оказывает огромное влияние на многие стороны человеческой деятельности. Важность исследований в этой области становится особенно очевидной в настоящее время, когда эффект глобального потепления вызывает изменения климатических условий и характера воздушных течений на огромной территории, сопровождающиеся также увеличением числа стихийных бедствий в различных регионах планеты.

Течения в реальной атмосфере описываются системой уравнений движения вязкого теплопроводного газа с учетом силы тяжести и силы Кориолиса. При этом можно выделить несколько основных направлений, по которым ведется теоретическое исследование атмосферы.

Первое направление связано с применением упрощенных уравнений движения. В рамках этого направления исследуются геофизические течения, применяются упрощения теории тонкого слоя для атмосферы, используются модели мелкой воды и так далее. Однако, такими способами не удается адекватно описывать ряд атмосферных явлений, в особенности мелкомасштабных.

Второе направление связано с применением численных методов для исследования течений в атмосфере на базе полной системы уравнений движения. Так, в работах академика О.М. Белоцерковского и его учеников решаются задачи о взрывах в атмосфере, ударных волнах, эволюции и взаимодействия термиков и вихревых колец, природных атмосферных вихрях большой интенсивности, а также задачи на исследование устойчивости и турбулентности для атмосферных течений. Развитию этого направления способствует продолжающееся развитие электронно-вычислительной техники.

Численные методы используются также для получения кратковременных прогнозов погоды, при этом используется некоторая математическая модель атмосферы и данные о ее текущем состоянии. Эти данные предоставляет система наблюдательных пунктов, состоящая из метеорологических станций, находящихся друг от друга на расстоянии 60-70 км. Для получения значений метеорологических величин в промежутках между станциями применяется интерполяция. Ясно, что при этом невозможно рассчитывать локальные атмосферные процессы, имеющие меньшие размеры, но, зачастую, отличающиеся большой интенсивностью.

Наконец, третье направление связано с аналитическим исследований исходной системы уравнений и поиском ее частных решений. Каждое частное решение системы уравнений движения вязкого газа соответствует некоторому состоянию атмосферы. Формулы, описывающие покоящуюся атмосферу, которые являются простейшим точным решением полной системы уравнений движения вязкого теплопроводного газа для атмосферы, легли в основу модели международной стандартной атмосферы, несмотря на ряд ее недостатков, связанных, в первую очередь, с пренебрежением теплообменом с космосом. Ясно, что любое новое точное решение, способное описывать некоторое состояние атмосферы, может представлять определенную научную и практическую ценность. Нахождение таких точных решений, однако, представляет весьма сложную задачу, связанную с необходимостью решения сложной, существенно нелинейной системы уравнений в частных производных, для которой даже не доказаны теоремы о существовании и единственности решения в общем случае. Серьезный прогресс в решении этой задачи был достигнут лишь в последние десятилетия. Этот прогресс основан на достижениях школы академика Л. В. Овсянникова в разработке новых методов получения инвариантных решений уравнений Навье-Стокса для вязкого газа с помощью математического аппарата теории групп. Несмотря на это, работа по поиску точных решений, соответствующих некоторым состояниям атмосферы еще далека от завершения, поскольку при исследовании системы уравнений вязкого теплопроводного газа методами теории групп, массовые силы и приток тепла в исходной системе уравнений не учитывались.

Все вышесказанное свидетельствует о том, что исследования состояния атмосферы вообще, и поиск частных аналитических точных решений уравнений движения вязкого теплопроводного газа для тропосферы в частности, являются актуальными. Чему и посвящена представленная диссертация.

Объект исследования

Объект исследования данной диссертации – течения реального газа в тропосфере. Специфика исследований тропосферных течений состоит в совершенно иной роли граничных условий, чем, например, в технических задачах гидромеханики. Во-первых, граничные условия для течений в свободной атмосфере могут быть поставлены лишь частично – в основном это базовые требования непроницаемости твердой поверхности и, в некоторых случаях, условия на бесконечности (при условии что течение может быть распространено на бесконечную область без возникновения нефизичных значений гидродинамических величин). Во-вторых, тропосферные течения имеют ограниченное время существования, и этого времени не всегда может хватать на образование пограничного слоя, который обычно рассматривается в других задачах, имеющих дело с вязкой жидкостью или газом. В-третьих, даже внутри области течения условия нельзя считать полностью заданными, вследствие неопределенности притока тепла к области течения, зависящего от многих внешних факторов. Наконец, при рассмотрении тропосферных течений существенную роль играет учет силы тяжести и сжимаемости газа, что не позволяет проводить упрощения уравнений, возможного в ряде технических задач.

Цели работы.

1. Поиск новых точных решений уравнений движения вязкого теплопроводного газа, при учете силы тяжести и радиационного притока.

2. Анализ состояний тропосферы, соответствующих полученным решениям.

3. Сравнение полученных теоретических результатов с данными других авторов и данными экспериментальных и натурных наблюдений.

Научная новизна

Рассматриваемые в диссертации задачи впервые решаются в полной постановке, без ввода существенных упрощений в исходные уравнения движения. Полученные автором точные решения уравнений движения вязкого теплопроводного газа в тропосфере являются новыми и не имеют аналогов в литературе (кроме решений, полученных на основе упрощенных моделей). Впервые представлены формулы, описывающие на основе полной системы уравнений вязкого сжимаемого газа состояния тропосферы, отличные от покоящейся тропосферы, описываемой моделью международной стандартной атмосферы.

Используемый математический аппарат

Для вывода точных решений системы уравнений движения вязкого теплопроводного газа не применялся какой-либо специальный математический аппарат. Метод получения решений можно назвать интуитивно-аналитическим. При этом интуитивность заключается в выборе некоторых начальных предположений о виде поля скоростей, а аналитичность – в построении функций температуры, давления и плотности, позволяющих удовлетворить уравнения системы при выбранном виде скорости. При этом применяются различные методы решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных (таких как разделение переменных, выделение полного дифференциала).

Основные результаты, выносимые на защиту

1. В диссертации представлены точные решения уравнений движения вязкого теплопроводного газа в тропосфере с притоком тепла, описывающие:

– сдвиговое течение с двумя проекциями скорости в тропосфере;

– прямолинейные течения в тропосфере с одной горизонтальной компонентой скорости, зависящей от вертикальной и поперечной горизонтальной координаты, при нескольких законах изменения скорости;

– вращение некоторой части тропосферы вокруг вертикальной оси с распределением скоростей, как для вращающегося твердого тела;

– безвихревое вращение воздуха в тропосфере вокруг вертикальной оси с особенностью на оси вращения.

2. Проанализированы состояния тропосферы, отвечающие построенным течениям.

3. Проведено частичное сравнение полученных в работе теоретических результатов с аналогичными данными других авторов и натурных измерений, подтвердившее достоверность результатов диссертации.

Научная достоверность

Достоверность результатов работы подтверждается

– четким математическим выводом решений в явном виде, позволяющем удостоверится в удовлетворении исходной системе уравнений

– проверкой полученных решений методами символьного программирования

– переходом полученных формул в формулы международной стандартной атмосферы в случае отсутствии движения газа

– соответствием полученных результатов данным натурных измерений и наблюдений

– соответствием результатов данным, полученным другими авторами при использовании упрощенных уравнений движения

Научная и практическая ценность

Полученные решения для тропосферы способствуют как развитию наших представлений о динамике атмосферных процессов, так и развитию численных методов исследования, прогнозу состояний атмосферы.

Полученные в работе результаты можно использовать для развития методов восстановления полей метеорологических величин по неполным данным измерений в целях повышения точности метеорологического прогноза, в качестве начального приближения при построении решений в виде асимптотических рядов для различных задач динамики атмосферы, в качестве более точных начальных данных при численном исследовании развития некоторых неустойчивых течений.

Результаты работы внедрены в учебный процесс кафедры теоретической гидроаэромеханики Южного Федерального университета и используются в ее курсовых проектах.

Апробация

Основные результаты диссертации докладывались автором:

– на VII международной конференции памяти академика РАН И.И. Воровича “Современные проблемы механики сплошной среды” (Ростов-на-Дону, 2001);

– на VIII международной конференции “Современные проблемы механики сплошной среды” (Ростов-на-Дону, 2002);

– на научно-практической конференции “Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания” (Ростов-на-Дону, 2004);

– на XIII международной конференции “Математика. Экономика. Образование” (Ростов-на-Дону, 2005);

– на IX международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН И.И. Воровича “Современные проблемы механики сплошной среды” (Ростов-на-Дону, 2005);

– на XIV международной конференции “Математика. Экономика. Образование” (Ростов-на-Дону, 2006);

– на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Нижний Новгород, 2006);

– на VIII международной конференции “Современные проблемы механики сплошной среды” (Ростов-на-Дону, 2006).

Структура и объем

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Основной текст диссертации содержит 126 страниц, 32 рисунка и 3 таблицы. Список литературы насчитывает 116 наименований.

Содержание работы

Во введении показана актуальность тематики работы, ее научная и практическая ценность. Сформулирована цель диссертационной работы, определен круг решаемых задач, приведено описание структуры работы. Отмечен вклад в развитие теории движения жидкостей и газов Белоцерковского О.М., Бьеркнеса В.Ф.К., Валландера С.В., Гинзбурга И.П., Должанского Ф.В., Кибеля И.А., Кочина Н.Е., Ландау Л.Д., Лившица Е.М., Лойцянского Л.Г., Овсянникова Л.В., Розе Н.В., Седова Л.И и других ученых.

Первая глава диссертации является вводной и не содержит результатов исследований. В ней приводятся исходные системы уравнений движения Навье-Стокса, уравнения неразрывности и уравнения баланса энергии для вязкого, теплопроводного газа в декартовых координатах, криволинейных ортогональных координатах и в цилиндрической системе координат. Из массовых сил в уравнения входит сила тяжести и, при учете вращения Земли, сила Кориолиса. При этом учитывается только вертикальная проекция вектора угловой скорости вращения Земли. Также в уравнения входит заранее неизвестный объемный приток тепла. Далее в первой главе рассматривается модель международной стандартной атмосферы, описывающей осредненное распределение по высоте температуры, плотности и давления при отсутствии движения воздуха. Отмечаются некоторые несоответствия, возникающие при использовании этой модели, связанные с тепловым балансом в тропосфере и стратосфере. Также в этой главе из некоторых физических соображений формулируется ограничение на возможный вид притока тепла к области течения. Этот приток тепла принимается малым и не зависящим от вертикальной координаты.

Во второй главе рассматриваются сдвиговые течения газа в тропосфере с двумя горизонтальными проекциями скорости. Условия прилипания на поверхности земли не ставятся, но могут выполняться при некоторых значениях параметров. Для случая постоянной вязкости найденное решение имеет следующий вид

, , ,

, ,

где и n – произвольные постоянные. Рассмотрены два частных случая: случай нулевого притока тепла, случай постоянной температуры и случай, в котором распределение по высоте температуры, давления и плотности совпадает с аналогичным распределением в стандартной атмосфере.

Также получено решение для случая линейной зависимости вязкости от температуры при отсутствии притока тепла. При этом в ходе вывода решается кубическое уравнение, один из коэффициентов которого зависит от переменной z. Из трех функций-решений этого уравнений только одна удовлетворяет граничным условиям. Эта функция в дальнейшем используется для нахождения температуры, давления и плотности в области течения.

Несмотря на существенные различие в представлении решения для постоянной вязкости и для вязкости, линейно зависящей от температуры, различия по величине между гидродинамическими функциями в этих двух случаях невелики и проявляются только при больших скоростях (точнее при больших темпах роста скорости с высотой) или на больших высотах. На рис. 1 приводятся графики температуры и скорости для случая Cx = 0.02 при Cy = 0 (1 – случай постоянной вязкости, 2 – случай вязкости, линейно зависящей от температуры). Также для сравнения приводятся график температуры в покоящейся тропосфере (3). Видно, что наибольшие расхождения наблюдаются для графиков распределения температуры и скорости. Давления же для всех трех случаев практически совпадают на рассматриваемом промежутке. Следует отметить, что в рассматриваемых случаях скорость ветра на верхней границе весьма велика и составляет 100 м/с, при меньших же скоростях различия между графиками для двух законов изменения вязкости становятся еще менее заметны.

Рис. 1 Графики зависимости от высоты температуры и скорости сдвигового течения при Cx = 0.02, Cy = 0. 1 – постоянная вязкость, 2 – линейная зависимость вязкости от температуры, 3 – стандартная атмосфера.

Далее исследуется влияние вращения Земли на сдвиговые течения в тропосфере для случая постоянной вязкости. Рассматривается два возможных типа течений.

В первом типе течений влияние вращения Земли сказывается только на поле скоростей, приводя к его циклическому повороту за некоторый период времени.

Распределения температуры, давления и плотности, а также приток тепла никак не отличаются от аналогичных распределений в случае сдвигового течения без учета вращения Земли при постоянной вязкости. Поле скоростей совершает вращение с единой угловой скоростью, причем время полного поворота зависит только от географической широты. Поворот происходит по часовой стрелке в северном полушарии и против часовой стрелки – в южном. Линии тока при этом остаются прямыми, а траектории частиц становятся окружностями, лежащими в горизонтальной плоскости. Радиус окружностей завит от высоты и равен отношению величины скорости течения воздуха на этом уровне к 0. При отсутствии градиента скорости и притока тепла формулы для температуры, давления и плотности не отличаются от соответствующих формул в покоящейся тропосфере, несмотря на наличие нестационарного поля скоростей.

Во втором случае влияние вращения Земли отражается в распределении плотности, температуры и давления, без изменения поля скоростей. Такое решение может быть построено для случая одной компоненты скорости, то есть когда вектор скорости воздуха не поворачивается с изменением высоты (при этом остается допустимым изменение направления ветра на противоположное). В этом случае в формулах для температуры, давления и плотности появляется зависимость от горизонтальной координаты.

,

,

Течение в этом случае становится небаротропным (кроме случая Cx = 0, при котором баротропность сохраняется, а приток тепла равен нулю). На рис. 2 представлены линии равного давления и плотности в плоскости OYZ при Cx = 0.01, Vx0 = 10 и Cx = 0.01, Vx0 = 0 на широте 60°. Пересечение этих линии по теореме Бьеркнеса ведет к увеличению завихренности в потоке, но в данном случае этот эффект компенсируется действием силы Кориолиса.

Рис. 2 Линии равного давления (сплошным) и равной плотности (пунктиром) в плоскости OYZ при учете вращения Земли. Cx = 0.01, Vx0 = 10 и Cx = 0.01, Vx0 = 0 на широте 60°.