Устойчивость и колебания подкрепленных и артифицированных оболочек вращения

На правах рукописи

ЮДИН Сергей Анатольевич

Устойчивость и колебания

подкрепленных и артифицированных оболочек вращения

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону – 2007

Работа выполнена в НИИ механики и прикладной математики им. Воровича И.И. ФГОУ ВПО «Южный федеральный университет»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник

Сафроненко Владимир Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Зубов Леонид Михайлович

кандидат физико-математических наук,

доцент Дроздов Александр Юрьевич

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

Защита состоится 28 июня 2007г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 25 мая 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Тонкостенные оболочечные конструкции имеют широкое применение в современной технике. Целесообразность применения оболочек во многом связана с возможностью эффективного решения проблемы минимизации массы. Наиболее полно этим требованиям отвечают конструктивно-анизотропные (КА) оболочки – подкрепленные ребрами жесткости, слоистые, композиционные.

Для анализа КА-оболочек развиваются как уточненные по сравнению с классической теорией Кирхгофа-Лява модели, так и упрощенные, направленные на получение аналитических решений в частных случаях геометрии оболочек. Такие возможности имеются для цилиндрических конструктивно-ортотропных (КО) оболочек. Погрешность, вносимая дополнительными гипотезами упрощенных моделей, обычно неизвестна. Поэтому актуальны оценки применимости упрощенных решений, а также построение эффективных решений задач о вынужденных колебаниях КО-оболочек, позволяющих оперативно анализировать амплитудно-частотные характеристики в задачах вибродемпфирования.

Одной из важных сфер применения оболочек являются устройства для обеспечения безопасности емкостей и оборудования, нагруженных давлением жидкостей или газообразных сред. Присоединяемые к основной конструкции оболочки специального типа используются в качестве разрушаемых элементов, сбрасывающих давление при заданном уровне в случае аварийного его возрастания. К элементам таких устройств относятся хлопающие предохранительные мембраны (ХПМ), разрушаемые на основе эффекта потери устойчивости.

Целями работы ставились: анализ упрощенной математической модели, использующей дополнительные кинематические гипотезы, в задачах устойчивости и собственных колебаний цилиндрических конструктивно-ортотропных оболочек; реализация эффективного аналитического решения вынужденных колебаний оболочек с локальными виброгасителями на основе общей теории оболочек; решение нелинейных задач пластического формоизменения оболочек вращения применительно к задачам изготовления артифицированных ХПМ; исследование устойчивости артифицированных ХПМ; сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах, полученных автором:

1. Оценены погрешности упрощенной теории конструктивно-анизотропных цилиндрических оболочек в задачах устойчивости и собственных колебаний.

2. Реализованы эффективные аналитические решения задач вынужденных колебаний цилиндрической конструктивно-ортотропной оболочки и алгоритмы построения амплитудно-частотных характеристик, учитывающие рассеяние энергии и демпфирование колебаний виброизолированными массами.

3. Разработана математическая модель больших деформаций физически-нелинейных оболочек вращения, учитывающая большие перемещения и углы поворота и обжатие нормали. На её основе получены аналитические решения и условия пластической формовки сферического купола из пластины.

4. Построено аналитическое решение задачи пластической формовки куполообразной оболочки в классе эллипсоидов вращения. Определена степень влияния артификации на геометрию оболочки. Получено согласование теории и эксперимента.

5. Выполнено исследование устойчивости артифицированных хлопающих предохранительных мембран, дан анализ результатов теории и эксперимента.

Практическая значимость работы состоит в возможности использования разработанных моделей, методов и реализованных комплексов программ в анализе виброактивности и эффективности демпфирования широко применяемых подкрепленных цилиндрических оболочек; в возможности приложения моделей и найденных решений пластической формовки артифицированных оболочек для создания предохранительных мембранных устройств высокой точности срабатывания.

Достоверность результатов обеспечивается: сравнением вариантов общей и упрощенной теорий конструктивно-ортотропных оболочек, согласующихся в областях их применимости; совпадением резонансных частот вынужденных колебаний с результатами решений задач на собственные колебания; применением методов нелинейной теории деформаций и пластичности к решению задач имитационного моделирования технологии изготовления артифицированных хлопающих мембран; согласованием теоретических и экспериментальных результатов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VIIX Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2001–2006г.г.), III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (г. Ростов–на–Дону – Азов, 2004г.), 11-й Международной конференции «Математические модели физических процессов» (г. Таганрог, 2005г.), на Международной научно-технической конференции «Математические модели для имитации физических процессов» (ММА-2006, г. Таганрог), на семинарах отдела тонкостенных конструкций НИИ механики и прикладной математики и кафедры теории упругости Южного федерального университета.

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 14 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы 136 страниц, включая список литературы из 158 наименований, 48 рисунков, 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации. Характеризуется широта применения оболочек в технике, вклад ведущих ученых-механиков в развитие теории оболочек, многообразие моделей оболочек со сложными конструктивными свойствами. Дается обзор ключевых публикаций, связанных с тематикой диссертации, характеризуется структура работы. Отмечается, что линейная теория оболочек, сформированная в своей основе А. Лявом и Г. Киргофом, получила развитие в трудах В.З. Власова, А.Л. Гольденвейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова, С.П. Тимошенко, К.Ф. Черныха и ряда других ученых. Основы геометрически-нелинейной теории и методов решения нелинейных задач заложены в трудах И.Г Бубнова и П.

Ф. Папковича. Значительный вклад в этой области внесли Валишвили Н.В., В.З. Власов, А.С. Вольмир, И.И. Ворович, К.З. Галимов, Э.И. Григолюк, Л.М. Зубов, Х.М. Муштари, В.В Новожилов, Л. Донелл, В.Т. Койтер, Э. Рейсснер и другие. Существенный вклад в развитие теории и методов расчета прочности, устойчивости и динамики слоистых и подкрепленных оболочек и пластин внесли С.А. Амбарцумян, И.Я. Амиро, В.В. Болотин, В.В. Васильев, В.А. Заруцкий, С.Н. Кан, В.В. Кабанов, В.И. Королев, Маневич А.И., Ю.Н. Новичков, И.Ф. Образцов, О.И. Теребушко, Ю.А. Устинов, А.С. Юдин, М. Барух, И. Зингер, М. Стейн и другие. Активное применение и эффективное развитие численно-аналитических методов, алгоритмов и программного обеспечения выполнялись в работах А.В. Кармишина, В.И. Мяченкова, И.В. Григорьева, в работах украинской школы Я.М. Григоренко, в Институте механики и прикладной математики им. Воровича И.И. Южного федерального университета.

В главе (разделе) 1 представлены уравнения для исследования колебаний и устойчивости конструктивно-анизотропных оболочек. Уравнения записаны в ортогональных криволинейных координатах. Рассматриваются тонкие оболочки на основе гипотез Кирхгофа-Лява. В качестве исходных взяты уравнения квадратичного приближения. Уравнения для гармонических колебаний и устойчивости конструктивно-анизотропных оболочек вращения в окрестности осесимметричного статического напряженно-деформированного состояния следуют из квадратичной теории на основе разбиения состояния на две составляющие и соответствующей линеаризации. Выполнено отделение окружной координаты посредством рядов, осуществлен переход к безразмерным величинам. Сформирована разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений и краевые условия. Представлены геометрически-нелинейные уравнения осесимметричной деформации.

Глава 2 посвящена исследованиям устойчивости, собственных и вынужденных колебаний интегрально подкрепленных цилиндрических оболочек. В этом случае при построении уравнений колебаний и устойчивости оболочек применяется схема конструктивной ортотропии.

Подкрепленным оболочкам присущи эффекты, связанные с влиянием величины и знака эксцентриситетов подкрепляющих ребер. Этот эффект был обнаружен Ван-дер-Нейтом и подтвержден в ряде теоретических и экспериментальных работ.

Задачи устойчивости для подкрепленных цилиндрических оболочек рассмотрены в подразделе 2.1 диссертации в аспектах анализа применимости одного из вариантов упрощенной теории. Он широко применялся в работах С.Н. Кана и др. [*Устойчивость оболочек / Кан С.Н., Бырсан К.Е., Алифанова О.А. и др. – Харьков: Изд–во Харьковского ун–та, 1970. 156с.]. В этом подходе для цилиндрических оболочек, теряющих устойчивость по неосесимметричным формам, наряду с предположениями общей теории оболочек (гипотез Кирхгофа) приняты две дополнительные гипотезы: а) нерастяжимость нейтральных слоев при изгибе конструкции в окружном направлении; б) отсутствие сдвигов в срединной поверхности обшивки. Применяемые дополнительные гипотезы позволяют понижать вдвое порядок разрешающих уравнений и получать компактные формулы для критических нагрузок.

Сравнение выполнено для регулярно подкрепленных тонкостенных круговых цилиндрических оболочек c входными параметрами из работы [*] при безмоментном докритическом состоянии. Рассмотрено шарнирное опирание торцов (условия Навье), нагрузки осевого сжатия и внешнего бокового равномерного давления.

Условиям свободного опирания соответствуют следующие формы выпучивания: un=unkcos(mx), vn=vnksin(mx), wn=wnksin(mx), где m=kR/L, k=1, 2, 3,...; R – радиус срединной поверхности обшивки оболочки, L – длина оболочки. При использовании общей теории задача приводится к системе однородных линейных алгебраических уравнений относительно x1=unk, x2=vnk, x3=wnk:

a11.x1 + a12.x2 + a13.x3=0, a21.x1 + (a22 + .p).x2 + (a23+ .n.p).x3=0,

a31.x1+ (a32 + .n.p).x2 + [a33 + .(n2.p+m2.T)].x1= 0, (1)

где:

a11 = (B11m2+B33n2), a12 = mn[B12+B33+(A12+A33)],

a13 = {B12+[A11m2+n2(A12+2A33)]}, aij=aji,

a22 = m2[B33+(2A33+D33)]n2[B22+(2A22+D22)],

a23 = n[B22+(m2A12+n2A22)]n{2m2(A33+D33)+[A22+(m2D12+n2D22)]},

a33 = B222(A12m2+A22n2)2(mn)2(2D33+D12)

2(D11m4+D22n4); i, j = 1, 2, 3. (2)

Система симметрична и имеет нетривиальное решение при обращении в нуль ее определителя. Это дает характеристические уравнения относительно параметров нагрузки. При T=0 из него следует решение для критических значений внешнего бокового давления. При раскрытии определителя квадратичные члены относительно p приводятся к нулю в силу симметрии матрицы системы. В результате для критического давления получается формула: po = C/Kp, где C = a11a22a33+a122a33+a11a232++a132a222a12a13a23, Kp = [a11a33a132+2n(a12a13a11a23)+n2(a11a22a122)]. Для критических нагрузок осевого сжатия формула имеет вид: To=C/KT, где: KT = m2(a122a11a22). Величины po и To минимизируются по m и n.

Выяснено, что погрешность приближенных формул зависит от типа нагрузки. Для внешнего бокового давления она составляет около 3%. Для нагрузки осевого сжатия формулы приближенной теории имеют сравнительно большую погрешность (10..20%).

В подразделе 2.2. выполнены сравнения результатов расчетов собственных (свободных) колебаний по общей и упрощенной моделям. Поиск частот свободных колебаний сводится к задачам на собственные значения. В общей теории задача сводится к поиску корней бикубического уравнения при учете нормальных и тангенциальных сил инерции (kt=1):

, (3)

где aij определены формулами (2); =R/c, c={E/[(12)]}1/2. При kt=0, что имеет место в упрощенном подходе [*], уравнение линейно относительно квадрата частотного параметра.

Сравнение приближенной теории с общей по наименьшим собственным частотам дает расхождение около 12% без учета тангенциальной инерции и около 20% с их учетом в общей теории.

Разложением амплитуд перемещений по собственным формам колебаний строились решения задач о вынужденных колебаниях. Этот подход, реализованный подразделе 2.3, позволяет аналитически строить амплитудно-частотные характеристики.

В качестве вынуждающей колебания нагрузки рассмотрен вариант нагрузки, равномерно распределенной по локальной площадке, которая ограничена парами координатных линий. Решения для компонент перемещений представляются двойными рядами по продольной и окружной координатам, коэффициенты которых зависят от параметра частоты =R/c:

u(x, , )=u10()cos(mx)+ukn()cos(mx) cos(n),

v(x, , )=vkn()sin(mx) sin(n),

w(x, , )=w10()sin(mx)+wkn()sin(mx) cos(n). (4)

Коэффициенты разложений являются решениями линейной алгебраической системы B()u()=q, где:

u()=, q=, =+12, (5)

– единичная матрица, =||aij|| – квадратная матрица, элементы которой вычисляются через коэффициенты жесткостей оболочки и волновые параметры по формулам (2). Соответствующее решение системы записывается в аналитической форме:

ukn(),

vkn(),

wkn(); (6)

uk0(), wk0(), (7)

k = 1,…,M, n = 1,…,N;

где:

, , ,

, , ,

, , ; (8)

Det(k,n,) = b11(k,n,) b22(k,n,) b33(k,n,)b11(k,n,) b23(k,n) b32(k,n)

–b21(k,n)bb12(k,n) b33(k,n,)+b21(k,n)b13(k,n)b32(k,n)+

+ b31(k,n)b12(k,n)b23(k,n)–b31(k,n)b13(k,n)b22(k,n,). (9)

Det(k,n,) – определитель матрицы ; Det0(k, )= Det (k,0,).

Здесь компоненты матрицы рассматриваются как функции волновых чисел в соответствии с (1).

Реализация данного решения в программе позволяет эффективно строить амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) как функции частоты, а также легко идентифицировать соответствующие резонансные формы колебаний. Для оболочек длиной L= на рис.1 показано влияние коэффициента потерь на АЧХ входных податливостей – амплитуд нормального перемещения под силой. Сравнивая АЧХ для =0.015, 0.03 и 0.05, можно видеть оседание пиков амплитуды с ростом внутренних потерь.

В подразделе 2.4 работы представлены также решения задач вынужденных колебаний в аспектах их демпфирования. Это направление актуально в ряде отраслей современной техники, в частности, в строительстве, транспортном и энергетическом машиностроении, приборостроении.

Рис.1

Выведены пять вариантов переходных функций для вибрационной силы, действующей через систему масс с упруговязкими связями. Сравнение рассмотренных вариантов виброзащиты наглядно демонстрируется с помощью характеристики эффективности Э=10·lg(wп/wн). Эффективность измеряется в относительных единицах – децибелах. Ординаты Э выше нуля определяют положительный эффект виброгашения, ниже – отрицательный. Сводный график эффективности представлен на рис.2.

Рис.2

Номера кривых соответствуют номерам вариантов: 1 – эффективность вибродемпфирования (ЭВД) жестко прикрепленной массы; 2 – ЭВД виброизолированной массы; 3 – ЭВД динамического гасителя колебаний; 4 – ЭВД двухкаскадной виброизоляции; 5 – ЭВД виброизолированной массы с ДГК.

Видно, что вариант 3 эффективен для подавления конкретных резонансных частот. В относительно широких диапазонах частот наиболее эффективны варианты 2, 4, 5. При этом вариант 5 предпочтителен для переходных режимов, поскольку не проявляет виброактивности на собственных (парциальных) резонансных частотах присоединенной системы.

Глава 3 работы посвящена вопросам нелинейного деформирования и пластической формовки оболочек. Строятся математические модели обеспечения эффективной формы оболочек вращения под воздействием осесимметричных нагрузок. По-существу решается задача имитационного моделирования технологии изготовления методом пластической формовки куполообразной оболочки, имеющей заданную критическую нагрузку потери устойчивости от внешнего гидростатического давления. В теоретическом и прикладном аспектах эти задачи актуальны, интересны и практически значимы для класса хлопающих предохранительных мембран (ХПМ).

В настоящее время для прогнозирования критических нагрузок применяются преимущественно экспериментальные методы неразрушающего контроля. Наиболее удобен здесь метод анализа кривых нагружения «давление-перемещение» для аппаратной экстраполяции критических нагрузок.