Эффекты второго порядка в задачах растяжения, кручения и изгиба нелинейно-упругих тел

На правах рукописи

Калашников Виталий Владимирович

ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ РАСТЯЖЕНИЯ,

КРУЧЕНИЯ И ИЗГИБА НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону

2007

Работа выполнена в Ростовском государственном университете.

Научный руководитель:	кандидат физико-математических наук, доцент Карякин Михаил Игоревич
Официальные оппоненты:	доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Юдин Анатолий Семенович
	кандидат физико-математических наук, доцент Зеленина Анастасия Александровна
Ведущая организация:	Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург

Защита диссертации состоится «20» февраля 2007 г. в 15 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « 18 » января 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Интерес исследователей к учету нелинейности в задачах деформирования упругих тел вызван несколькими причинами. Во-первых, с помощью линейной теории невозможно описать ряд явлений, которые наблюдаются экспериментально при деформировании этих тел и могут играть важную роль при их практическом использовании. Во-вторых, следует выделить появление новых материалов, которые обладают ярко выраженными нелинейными свойствами: высокоэластичные резиноподобные материалы, вязкоупругие полимеры. Нелинейная теория упругости получает все большее распространение при описании тканей живых организмов.

Создание адекватных математических моделей таких материалов при полном учете нелинейности и их апробация должны основываться, прежде всего, на моделировании классических экспериментов, а, следовательно, на решении основополагающих задач теории упругости, описывающих простую деформацию тел (растяжение, кручение, изгиб и т.д.). В то же время решение краевых задач нелинейной теории упругости в большинстве случае затруднено, поскольку используемые в них упругие потенциалы представляют собой достаточно сложные выражения, приводящие к существенно нелинейным уравнениям, решение которых не удается отыскать в аналитическом виде. Использование же численных методов решения краевых задач может оказаться слишком трудоемким. В таких случаях достаточно близкое приближение к решению можно получить, учитывая «эффекты второго порядка», т.е. квадратичные слагаемые относительно градиента перемещения в уравнении состояния упругого тела. В связи с этим актуальным становится тщательный и корректный анализ эффектов второго порядка в задачах нелинейной теории упругости.

Цель работы состоит в качественной и количественной оценке эффектов второго порядка, получаемых при построении решения основных («классических») задач теории упругости о растяжении, кручении и изгибе методом разложений в ряд, а также в изучении вопросов определения констант второго порядка упругих материалов на основе анализа этих задач.

Научная новизна. Выяснена причина несовпадения двух широко известных формул, описывающих эффект Пойнтинга (удлинение скручиваемого стержня при отсутствии осевой силы) при кручении цилиндра из нелинейно-упругого сжимаемого материала. Показано, что статическая эквивалентность в интегральном смысле двух систем нагрузок на торцах цилиндра, имеющего свободную боковую поверхность, не гарантирует совпадения в этих двух случаях интегральных деформационных характеристик (например, полного удлинения цилиндра).

В плоской задаче чистого изгиба прямого нелинейно-упругого бруса, решаемой ранее методом разложений в ряд только для предварительно изогнутых тел, построено решение, полностью учитывающее эффекты второго порядка. Проблема перехода в недеформированное состояние решена с помощью выделения особенности в полуобратном представлении деформации тела. С использованием нового полуобратного представления с точностью до эффектов второго порядка для ряда общеупотребимых моделей сжимаемых нелинейно-упругих тел построены аналитические выражения для изменения толщины стержня при изгибе и положения нейтральной линии.

Построены аналитические выражения для определения констант второго порядка материала Мурнагана на основе классических статических экспериментов на одноосное растяжение, кручение и чистый изгиб бруса.

Достоверность полученных результатов обусловлена несколькими причинами. В ряде частных случаев, проводилось сравнение найденных решений с результатами других авторов; линейные слагаемые получаемых разложений соответствуют хорошо известным формулам линейной теории упругости; полученные асимптотические выражения сопоставлялись с результатами численных расчетов; в некоторых случаях для решения одной и той же задачи использовались различные методы и подходы, и проводилось сравнение результатов.

Методика исследования. В работе использовались тензорный аппарат механики сплошной среды, полуобратный метод теории упругости, метод разложений в ряд (метод возмущений), методы компьютерной алгебры, метод конечных элементов, метод однородных решений, численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и нелинейных алгебраических уравнений и их систем.

Научно-практическая ценность работы. Результаты диссертационной работы углубляют понимание ряда проблем нелинейной теории упругости и могут быть использованы при их решении. Результаты задачи о кручении и учет эффекта Пойнтинга важны при проектировании и калибровке некоторых высокопрецизионных устройств, например стержневых динамометров. Решения, описывающие эффекты второго порядка, могут служить тестовым эталоном при разработке новых конечно-элементных пакетов в определенном диапазоне деформаций. Новые результаты применения метода разложений в ряд в плоской задаче изгиба могут быть использованы для развития нелинейной теории пространственного изгиба. Аналитические выражения параметров материала Мурнагана могут быть использованы при экспериментальном определении или проверке значений констант второго порядка материалов различной природы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международных конференциях «Advanced problems in mechanics» (С. Петербург (Репино), 2004) и «Математические модели физических процессов» (г. Таганрог, 2004), на III Школе-семинаре «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, 2004), на Международной школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дюрсо, 2005), на XIV Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 2005), на IX и X Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2005, 2006), на научных семинарах по проблемам механики сплошной среды в Ростовском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация содержит 119 страниц и состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 96 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, и кратко описано ее содержание.

Полуобратный метод, в рамках линейной теории впервые введенный Сен-Венаном, был распространен на задачи нелинейной теории упругости в работах Дж. Адкинса, А. Грина, Л.М. Зубова, А.И. Лурье, К. Трусделла, и широко применялся в работах В.А. Еремеева, А.А. Зелениной, М.И. Карякина, Р.С. Ривлина, Дж. Эриксена, А.С. Вайнемана и многих других ученых. Метод разложений в ряд (или, как его еще называют, метод возмущений) был предложен А. Синьорини и применялся в различных задачах нелинейной теории упругости в работах Р.С. Ривлина, Ю.И. Кадашевича, С.П. Помыткина, Р.С. Батра, М. Чен, З. Чен, Ф. Дель Изола, П.М. Хаутона, К.А. Линдсея, Дж.С. Рута и других ученых. Метод однородных решений подробно описан и развит в работах А.И. Лурье, И.И. Воровича, Ю.А. Устинова и других. Задачи о растяжении, кручении и изгибе призм, решенные в рамках линейной теории упругости Сен-Венаном, обобщались в различных постановках на нелинейный случай в работах Дж. Адкинса, Л.Ю. Богачковой, А. Грина, Т.В. Гавриляченко, Ю.В. Захарова, А.А. Зелениной, Л.М. Зубова, М.И. Карякина, А.И. Лурье, К.Г. Охоткина, Р.С. Ривлина, М. Чен, З. Чен, А.С. Вайнемана, В.К. Валдрона и других авторов.

В первой главе «КРУЧЕНИЕ КРУГОВОГО НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ» на основе сравнения метода возмущений при учете эффектов второго порядка с полуобратным методом на примере задачи кручения кругового нелинейно-упругого стержня торцевыми моментами изучается влияние способов реализации интегральных граничных условий на торцах на величину эффекта Пойнтинга.

Проблема учета эффектов второго порядка в задаче кручения может считаться классической, однако до сих пор в литературе известны две различающиеся между собой формулы для осевого удлинения стержня с произвольным поперечным сечением. Первая из них, с использованием метода разложений в ряд Синьорини, получена Р. Ривлиным (1953 г.); вторая – на основе другого варианта метода возмущений – приведена в монографии А.И. Лурье (1980 г.). Кроме того, в диссертации Т.В. Гавриляченко (2000 г.) было указано на несовпадение осевого удлинения цилиндра, приведенного в работах А.И. Лурье, и решения, полученного на основе полуобратного метода нелинейной теории упругости.

Удельная потенциальная энергия деформации материала Мурнагана имеет вид

,

(1)

где – константы Ламе линейной теории упругости, – константы второго порядка, – главные инварианты тензора деформации Коши-Грина ( – мера деформации Коши, – единичный тензор).

Формула А.И. Лурье осевого удлинения стержня при кручении при учете эффектов второго порядка в случае материала Мурнагана (для стержня круглого поперечного сечения), имеет вид

,

(2)

где – погонный угол закручивания стержня, – радиус цилиндра до деформации. Формула Ривлина отличается от (2) первым слагаемым в круглых скобках: в ней , а не .

Анализ различных моделей материалов показал, что разница в количественном выражении эффекта Пойнтинга при использовании этих двух формул может быть существенна (до 25%). В связи с этим, определение причин расхождения результатов имеет большое значение.

Подход А. И. Лурье основан на замене решения задачи о равновесии нелинейно-упругого тела вида

;	(3)
,	(4)

где – оператор градиента в отсчетной конфигурации; – плотность тела в отсчетной конфигурации; – вектор массовых сил; – внешняя нормаль к поверхности; – элементарные площадки поверхности в отсчетной и текущей конфигурациях соответственно; – тензор напряжений Пиолы;  – отнесенная к деформированной поверхности внешняя нагрузка, которая предполагается «мертвой»:

,

(5)

последовательностью двух задач:

— линейной задачи

;

(6)

— задачи об эффектах второго порядка

,

(7)

основанной на уже известном решении предыдущей задачи.

В (6), (7) зависимость тензора от вектора перемещений соответствует классическому закону линейной теории упругости

,

а роль массовых и поверхностных сил в (7) играют векторы

, .

Задачи (6), (7) получаются из (2), (3) в результате разложения вектора перемещений , в котором – предполагаемое известным решение линейной задачи, а компенсирует слагаемые второго порядка (конкретное выражение тензора зависит от вида нелинейно-упругого потенциала ).

В ряде случаев постановка (7) позволяет найти некоторые характеристики деформации без определения вектора , т.е. без решения краевой задачи. В случае кручения такой характеристикой является осевое удлинение цилиндра, которое в задаче о кручении упругого призматического стержня торцевыми моментами находится по формуле (2).

Для сопоставления данного подхода с полуобратным методом в работе рассмотрена задача деформирования сплошного цилиндрического вала равными по величине и противоположными по знаку торцевыми моментами. Боковая поверхность цилиндра свободна от нагружения, а длина до деформации достаточно велика. Для материала цилиндра использовалась модель Мурнагана (1).

Процесс кручения цилиндра описывается следующим преобразованием отсчетной конфигурации в актуальную:

(8)

где , – неизвестная функция изменения радиуса стержня, – удлинение стержня при кручении, – длина стержня до деформации. Цилиндрические координаты отсчетной конфигурации обозначены , соответствующие им векторы ортонормированного базиса – . Координаты стержня после деформации обозначены , соответствующий им ортонормированный базис – .

Уравнения равновесия сводятся в рассматриваемой задаче к одному соотношению вида

,

(9)

а граничное условие незагруженности боковой поверхности цилиндра имеет вид

(10)

Граничные условия на торцах выполняются в интегральном смысле, обеспечивая отсутствие осевой растягивающей силы и совпадение суммарного момента действующих на торце напряжений с заданным крутящим моментом.

В случае материала Мурнагана краевая задача (9), (10) приводит к очень громоздкому уравнению для определения , однако если учесть в нем слагаемые не выше второго порядка, т.е. представить соотношение (8) в виде

,

то линейное уравнение для определения решается в явном виде

Вычисленное с его использованием относительное удлинение с точностью до квадратичных слагаемых имеет вид

,

(11)

т.е. совпадает с формулой Ривлина.

В то же время, в работе показана корректность подхода А.И. Лурье к описанию эффектов второго порядка на примере задачи об одноосном растяжении стержня из материала Мурнагана. Полуобратное представление деформации имеет вид (8), где . Выражение функции в этом случае получено в аналитическом виде

,

где обозначено

Из условия , где – величина внешней нагрузки, найдено разложение параметра по степеням в виде

,

где

а квадратичное относительное удлинение стержня, налагаемое на «линейное удлинение» , имеет вид

.

(12)

Формула (12) совпадает с аналогичной формулой, приведенной в монографии А.И. Лурье (после устранения в последней опечатки).

Приведенное в работе точное решение нелинейной задачи кручения стержня из упрощенного материала Блейтца и Ко позволяет установить причину различия при использовании двух подходов к определению величины эффекта Пойнтинга. Для этого постановка задачи кручения в эффектах второго порядка записана в явном виде двумя способами:

1. Рассмотрена постановка задачи (7). Используя явные выражения решения задачи кручения для материала Блейтца и Ко, уравнения и краевые условия в (7) переписаны в виде

(13)