Математическое моделирование сложных колебаний цилиндрических оболочек и панелей с учетом температурного поля и внешних знакопеременных нагрузок

На правах рукописи

Кузнецова Элла Сергеевна

Математическое моделирование

сложных колебаний цилиндрических оболочек

и ПАнелей с учетом температурного поля

и внешних знакопеременных нагрузок

Специальности: 05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

А в т о р е ф е р а т

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Саратов 2008

Работа выполнена в Государственном общеобразовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Крысько Антон Вадимович

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Талонов Алексей Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Коноплев Юрий Геннадьевич

кандидат физико-математических наук,

доцент Панкратова Елена Владимировна

Ведущая организация: Институт проблем точной механики

и управления РАН, г. Саратов

Защита состоится « 30 » июня 2008 г. в 13:00 на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул.   Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп.1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан « 29 » мая 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета А.А. Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Цилиндрические оболочки, цилиндрические панели на прямоугольном плане являются основными элементами современных конструкций в ракетной, космической, авиационной технике и других отраслях промышленности. При современном развитии гиперзвуковых технологий возникает необходимость изучения сложных колебаний оболочечных систем при действии температурного поля и знакопеременных внешних нагрузок.

Теоретическими исследованиями Б.А.Боли и А.Д. Барбера, Х. Крауса и др. установлена возможность возбуждения колебаний тонкостенных элементов конструкций (пластин, оболочек) посредством импульсивных тепловых воздействий. Исследования динамических задач термоупругости проводились В.А. Баженовым, Б.Я. Кантором, В. Новацким, П. Чедвиком и другими. Решению задач нелинейной динамики пластин и оболочек посвящены работы Я. Аврейцевича, В.В. Болотина, А.С. Вольмира, Э.И. Григолюка, Б.Я. Кантора, В.Ф. Кириченко, Ю.Г. Коноплева, А.Н. Куцемако, В.А. Крысько, А.В. Крысько, И.Ф. Образцова, Якупова Н.М. и др.

Вместе с тем вопросы нелинейной динамики оболочек при совместном воздействии температурного поля и знакопеременных силовых нагрузок, изучение сценариев перехода таких систем в состояние хаоса имеют важное практическое значение и остаются открытыми, а в известной нам литературе им не уделялось должного внимания.

Таким образом, важной и актуальной является задача построения математической модели, позволяющей исследовать сложные нелинейные колебания оболочечных систем с учетом температурного поля и силовых нагрузок, решать проблемы устойчивости таких систем и обеспечивать достоверность численных решений.

Целью работы является построение математических моделей сложных колебаний механических систем в виде гибких цилиндрических оболочек, цилиндрических панелей на прямоугольном плане, находящихся под действием знакопеременных нагрузок и температурного поля, а также создание эффективных математических методов и алгоритмов решения таких задач.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать математические модели для сложных нелинейных колебаний гибких цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей на прямоугольном плане, находящихся в температурном поле, при действии распределенной или локальной знакопеременной поперечной нагрузки и продольных периодических нагрузок.
2. Разработать эффективный алгоритм численной реализации колебательных режимов для качественного исследования сложных колебаний указанных оболочечных систем.
3. Провести проверку достоверности получаемых результатов и апробацию предложенного алгоритма для конкретных задач.
4. Изучить влияние температурного поля и знакопеременных силовых нагрузок на сложные колебания оболочечных систем в зависимости от управляющих параметров (амплитуды возбуждения нагрузки, интенсивности температуры, коэффициента линейного трения и др.).

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Получены математические модели сложных нелинейных колебаний гибких цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей на прямоугольном плане, отличающиеся учетом совместного влияния силовых знакопеременных нагрузок и температурного поля. Это позволяет определять зоны хаотических колебаний и выбирать управляющие параметры (интенсивность температуры, амплитуду возбуждения нагрузки, коэффициент линейного трения и др.) для предотвращения неблагоприятного воздействия этих колебаний.
2. На основе полученных математических моделей разработаны рабочие алгоритмы и комплекс программ по исследованию сложных нелинейных колебаний оболочечных систем, которые позволяют исследовать задачи статики и динамики с произвольными граничными и начальными условиями.
3. Разработан эффективный метод исследования сложных колебаний на основе метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях. В результате численного эксперимента было установлено, что сходимость метода существенно зависит от параметров кривизны оболочки и интенсивности параметра температуры. С увеличением этих параметров сходимость ухудшается.
4. Выявлено, что учет влияния температурного поля существенно меняет картину колебаний, имеются участки на картах управляющих параметров, которым соответствует бурный рост прогиба, что приводит систему к жесткой потере устойчивости.
5. Впервые определены критические нагрузки и исследовано напряженно-деформированное состояние оболочки при совместном действии температурного поля и локальной знакопеременной нагрузки, а также исследована зависимость статической критической нагрузки от интенсивности температурного поля для ряда значений геометрических параметров , прямоугольных в плане панелей.
6. Исследована сходимость метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях и метода конечных разностей с аппроксимацией при исследовании сложных колебаний цилиндрических панелей и пластинок при совместном действии температурного поля и силовых нагрузок.
7. Впервые исследован вопрос влияния величины коэффициента линейного трения на сложные колебания гибких цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей на прямоугольном плане при совместном действии температурного поля и локальной знакопеременной нагрузки. Показано, что увеличение значения коэффициента линейного трения приводит к уменьшению зон хаотических колебаний.
8. Определен характерный сценарий перехода колебаний в хаос при совместном влиянии силовых знакопеременных нагрузок и температурного поля, выяснено, что он совпадает с модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза, который был предложен В.А. Крысько, И.В. Папковой.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением известных численных методов, методов математического и компьютерного моделирования, методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, сравнением результатов, полученных принципиально разными методами (методом конечных разностей и методом Бубнова-Галеркина). Результаты, полученные автором диссертации для статических задач, без учета температурного поля, совпадают с уже известными численными результатами А.В. Кармишина, численными и экспериментальными результатами Н.И. Ободан.

Практическая ценность и реализация результатов. Полученные математические модели позволяют решать широкий класс задач динамики и статики геометрически нелинейных цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей на прямоугольном плане, находящихся под действием знакопеременных нагрузок и температурного поля. Разработанные алгоритм и комплекс программ позволяют исследовать нелинейные колебания оболочечных систем в зависимости от управляющих параметров (амплитуды и частоты возбуждения нагрузки, интенсивности температуры, коэффициента линейного трения и др.). Работа выполнена при финансовой поддержке гранта 2006-2008 гг. РФФИ № 06-08-01357 и гранта СГТУ 1.3.08.2008 г.

Результаты использовались в совместных работах с Институтом проблем точной механики и управления РАН (г. Саратов), что подтверждено актом о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 7-й Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2006 г.), на Третьей и Четвертой Всероссийских научных конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006, 2007 г.), International Conference on Engineering Dynamics (Carvoeiro, Algarve, Portugal, 2007), на Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ-2007», посвященном 150–летию со дня рождения академика А.М. Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007 г.), III Международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов «Информатика и компьютерные технологии-2007» (Донецк, 2007), 9th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications (Ldz, Poland, 2007).

В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научном семинаре «Численные методы расчета пластин и оболочек» кафедры «Высшая математика» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (2008), на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б.Байбурина (2008).

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Предложенные математические модели колебательных режимов гибких цилиндрических оболочек, цилиндрических панелей на прямоугольном плане позволяют установить зависимость характера колебаний от воздействия распределенной или локальной знакопеременной силовой нагрузки и температурного поля.
2. Предложенные методы и алгоритмы позволяют проводить анализ сложных колебаний оболочечных систем в виде гибких цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей, находящихся в температурном поле под действием знакопеременных нагрузок.
3. Сценарий перехода гармонических колебаний оболочечных систем, находящихся в температурном поле под действием знакопеременных нагрузок, в хаотические колебания дают возможность качественно исследовать переходные процессы при смене режимов колебаний.
4. Карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров (амплитуды и частоты возбуждения нагрузки, интенсивности температуры, коэффициента линейного трения и др.) позволяют регулировать характер колебаний и дают возможность выводить систему из зон хаоса с помощью управляющих параметров.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 10 научных работах, в том числе 2 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 125 страниц, 30 рисунков, 7 таблиц. Список использованной литературы включает 118 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность темы и научная новизна работы, дается исторический обзор результатов по математическому моделированию нелинейной динамики оболочек и приводится краткое описание работы по главам.

В первой главе приводятся основные соотношения и допущения, примененные при построении математических моделей сложных колебаний замкнутой цилиндрической оболочки и цилиндрической панели на прямоугольном плане, находящихся под действием температурного поля и силовых знакопеременных нагрузок. Получены уравнения в смешанной форме и алгоритм решения, проведена проверка достоверности результатов.

Объекты исследования представляют собой трехмерную область пространства R3 в декартовой системе координат и определяются следующим образом (рис.1):

замкнутая цилиндрическая оболочка

цилиндрическая панель на прямоугольном плане

Рис.1. Расчетные схемы объектов исследования

Для сферической оболочки на прямоугольном плане и пластины область задается так же, как и для цилиндрической панели на прямоугольном плане.

Основываясь на гипотезах Кирхгофа–Лява теории пологих оболочек и применяя для упругих деформаций известные соотношения, вытекающие из закона Гука для двумерного напряженного состояния, уравнения в смешанной форме в декартовой системе координат, записанные в безразмерном виде, для замкнутой цилиндрической оболочки внутри области будут иметь вид:

	(1)

Для цилиндрической панели и сферической оболочки на прямоугольном плане уравнения запишутся следующим образом:

(2)

К системам (1) и (2) следует присоединить уравнения на границе и начальные условия. Безразмерные параметры (с черточкой): , , , , . Здесь - время, - коэффициент линейного трения, - функция усилий, - функция прогиба, - толщина оболочки, - коэффициент Пуассона, - модуль упругости, -ускорение силы тяжести, - плотность, - коэффициент линейного расширения материала. Для замкнутой цилиндрической оболочки: , , , , , , , где и – длина и радиус оболочки. Для цилиндрической панели и сферической оболочки на прямоугольном плане: , ; , , , , , , , где – размеры оболочки в плане по и ; – продольная нагрузка, и - кривизна оболочки по и соответственно; – поперечная нагрузка, - температурное поле, - интенсивность температурного поля; - амплитуды соответствующих нагрузок, - собственная частота колебаний. Температурные компоненты усилий и моментов имеют вид: , , где, , , . Для краткости черточка над безразмерными величинами в системах уравнений (1) и (2) опущена.

Оболочка является тонкостенной и подвергается равномерному воздействию температурного потока. Стационарному температурному полю отвечает уравнение Лапласа.

В общем виде рассмотрим алгоритм сведения распределенной системы к системе с сосредоточенными параметрами по пространственным переменным и на примере системы уравнений (1), здесь использован метод Бубнова – Галеркина в высших приближениях в представлении Фурье. Функции w и F, являющиеся решениями (1), приближенно аппроксимируем выражением:

(3)

Функции и () в выражении (3) должны удовлетворять следующим требованиям: они линейно независимы, непрерывны вместе со своими частными производными до четвертого порядка включительно в области ; удовлетворяют главным краевым условиям в точности.

После применения процедуры Бубнова-Галеркина систему уравнений (1) запишем в матричной форме: обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка по времени относительно неизвестных А (4), и алгебраическое уравнение относительно неизвестных В (5).

(4) (5)