Исследование свободных и вынужденных колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории с.п. тимошенко

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТУЛКИНА Анна Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ НАНООБЪЕКТ,

НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ С.П. ТИМОШЕНКО

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург

2011

Работа выполнена на кафедре теории упругости математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доцент ПАВИЛАЙНЕН Вольдемар Яковлевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ФИЛИППОВ Сергей Борисович

(Санкт-Петербургский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, доцент ПОМЫТКИН Сергей Павлович

(Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров)

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится “___”_________2011 г. в __ часов на заседании совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан “____” ___________ 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время является актуальной задача определения механических характеристик нанообъектов, представляющих собой микроразмерные стержни. При экспериментальных исследованиях наблюдается несоответствие между значениями модулей упругости, полученных в результате экспериментов на микро – и макроуровнях (работы Кривцова А.М., Морозова Н.Ф., Быкова Д.Л., Коновалова Д.Н. и др.) В макромеханике один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей основан на измерении собственных частот исследуемого объекта.

Исследование свойств нанообъектов в настоящее время осуществляется с помощью зондовой микроскопии. Для этих целей широко используется атомный силовой микроскоп (АСМ). Важнейшим элементом АСМ является сканирующий зонд – кантилевер.

Имеет место принципиальное отличие условий экспериментов с нанообъектами от условий экспериментов с макрообъектами. При исследовании макрообъектов размеры измерительных приборов (например, тензодатчиков) существенно меньше размеров исследуемого объекта. При изучении объектов наноразмерного масштабного уровня используется микроразмерное оборудование.

Поэтому большое значение приобретает задача анализа взаимодействия нанообъектов с измерительными устройствами (в частности, с кантилевером АСМ). Ее решению посвящен ряд работ, основанных на применении классической теории колебаний стержней Бернулли – Эйлера.

Цель работы состоит в разработке теоретических методов определения упругих характеристик нанообъектов на основе теории С.П. Тимошенко, сравнение результатов с результатами, полученными по теории Бернулли – Эйлера.

Научная новизна. Задача о колебаниях системы кантилевер – исследуемый нанообъект, решение которой построено на основе классической теории Бернулли – Эйлера, опубликована в статье профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф., «К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов», СПб: Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.10. стр. 74-80.

В предлагаемой диссертации эта задача решается на основе теории С.П. Тимошенко. Научная новизна содержащихся в диссертации результатов состоит в учете угла поворота поперечного сечения и деформаций сдвига, как в уравнениях равновесия, так и в соотношениях упругости.

В работе построены частотные уравнения в задачах о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний. Далее рассматривается задача о вынужденных колебаниях, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта.

Результаты, выносимые на защиту.

1) Выбор разрешающей системы уравнений свободных и вынужденных колебаний двух сопряженных консольных стержней с одинаковыми операторами в левых частях позволил получить рациональные аналитические решения.

2) Построены частотные уравнения в задаче о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний на основе теорий Бернулли – Эйлера и Тимошенко. Дан анализ спектров собственных частот системы.

3) Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях для обеих теорий, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта. Дан анализ спектров частот системы при вынужденных колебаниях, полученных при варьировании исходных геометрических параметров элементов системы.

Теоретическая ценность работы заключается в построении уравнений свободных и вынужденных колебаний системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получении точных решений для уравнений частот, форм свободных и вынужденных колебаний, а также для величины прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил.

Получены числовые результаты и дан их анализ. При этом варьируются геометрические параметры исследуемого нанообъекта, что по результатам расчета показывает влияние изменения указанных выше параметров исследуемого нанообъекта на количественную и качественную характеристику картины колебаний. В этом состоит практическая ценность работы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедрах теории упругости и теоретической механики математико-механического факультета СПбГУ, на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды" (Computer Methods in Continuum Mechanics) в Санкт-Петербургском государственном университете путей сообщения (СПбГУПС), на международной конференции по механики «V Поляховские чтения» (СПбГУ, 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы. Список приведен в конце автореферата. Работа [1] опубликована в журнале из перечня ВАК. Работы [2] – [4] опубликованы в соавторстве. В работах [2] – [4] научному руководителю принадлежат общая постановка задачи и указания на идеи исследования, а их детальная реализация принадлежит диссертанту.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет – 110 страниц, включая 35 рисунков, 18 таблиц и список цитированной литературы из 26 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулирована цель работы.

Отмечено, что основной моделью балки, используемой в расчетах, является предложенная в XVIII веке модель балки Бернулли – Эйлера. Она довольно проста и обеспечивает достаточную точность решения простых инженерных задач, и поэтому она используется наиболее часто. Однако опыты показывают, что частоты, полученные в рамках теории Бернулли – Эйлера, несколько завышены.

Другая теория, уточняющая теорию Бернулли – Эйлера, за счет учета влияния в уравнениях равновесия и соотношениях упругости инерционных нагрузок при повороте элемента поперечного сечения и деформации сдвига получила название теории Тимошенко.

Задача, рассматриваемая в диссертации, представляет практический интерес. Рассмотренная в работе система стержней является механической моделью сканирующий зонд (кантилевер) – исследуемый нанообъект, простейшая схема которой представлена на Рис.1.

Рис. 1. Механическая модель системы кантилевер – исследуемый объект.

В предлагаемой диссертации эта задача решается на основе теории С.П. Тимошенко, в которой учитываются деформации сдвига, как в уравнениях равновесия, так и в соотношениях упругости.

В настоящее время актуальной является задача экспериментального определения механических характеристик нанообъектов. Несоответствие между значениями модулей упругости, полученных в результате экспериментов на микро – и макроуровнях отмечали многие исследователи (Кривцов А.М., Морозов Н.Ф., Иванова Е.А., Дунаевский М.С.). В макромеханике один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей основан на измерении собственных частот исследуемого объекта.

Исследование свойств нанообъектов в настоящее время осуществляется с помощью зондовой микроскопии. Для этих целей широко используется атомный силовой микроскоп (АСМ). Важнейшим элементом АСМ является сканирующий зонд – кантилевер. Стандартные промышленные кантилеверы имеют габаритные размеры порядка 200 х 35 х 1,5 мкм и резонансные частоты порядка 10 – 400 кГц; радиус кривизны конца иглы меняется в интервале 10 – 50 нм. Игла (пирамидка) устанавливается на свободном конце измерительной консоли. Пирамидки изготавливают из кремния или из более прочного материала – нитрида кремния (Si3N4).

При измерении частот исследуемого объекта с помощью АСМ возникает перераспределение собственных частот колебаний системы кантилевер – исследуемый нанообъект между собственными частотами каждого из них в отдельности. Как было отмечено в работе профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф., характер смещения спектра существенно зависит от расстояния между острием иглы сканирующего зонда и поверхностью нанообъекта, так как это равносильно изменению «жесткости» связи полевого взаимодействия.

Это указывает на принципиальное отличие условий для экспериментов с нанообъектами от условий экспериментов с макрообъектами. При исследовании макрообъектов размеры измерительных приборов (например, тензодатчиков) существенно меньше размеров исследуемого объекта. При изучении объектов наноразмерного масштабного уровня используется микроразмерное оборудование. Поэтому большое значение приобретает задача анализа взаимодействия нанообъектов с измерительными приборами. В работе Ивановой Е.А., Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф. эта проблема обсуждается применительно к задаче экспериментального определения упругих характеристик нанообъектов с помощью АСМ и дана реализация известной в классической теории методики определения резонансных и «антирезонансных» частот. Была предложена механическая модель системы кантилевер – исследуемый объект (Рис. 1.), в которой полевое взаимодействие между кантилевором и исследуемым нанообъектом моделируется линейной пружиной с жесткостью С, это соответствует линеаризации потенциала Леннарда – Джонса в области статического равновесного состояния. Кантилевер вдали от исследуемого объекта занимает горизонтальное положение, при приближении к объекту кантилевер начинает деформироваться, но на определенном расстоянии от него снова занимает горизонтальное положение – это и есть статическое равновесие. В отсчетной конфигурации стержни считаются недеформированными, а пружина – ненапряженной.

В работе профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф. было отмечено, что в окрестности положения статического равновесия жесткость связи между кантилевером и исследуемым объектом достаточно большая, то есть C >> C1, где C – жесткость кантилевера, C1 – жесткость связи. По этой причине определить жесткость связи С из статических экспериментов крайне трудно – разность между перемещением конца кантилевера и исследуемого объекта оказывается в пределах погрешности измерений. При жесткости связи C ~ C1 или C

На основании приведенного обзора в настоящее время актуальными и требующими дальнейшего исследования является разработка теоретической базы для решения задач о свободных и вынужденных колебаниях системы стержней. Решение первой задачи будет ответом на вопрос определения упругих модулей исследуемого нанобъекта по частотам системы, а решение второй задачи позволит разработать условия эксперимента, при которых из спектра системы можно выделить собственные частоты нанообъекта. Эти задачи были решены на основе теории Бернулли – Эйлера в работе профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф., «К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов», СПб: Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.10. стр. 74-80.

В предлагаемой диссертации на основе теории С.П. Тимошенко построены частотные уравнения в задачах о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний. Далее рассматривается задача о вынужденных колебаниях, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта. Полученные решения сравниваются с результатами, полученными на основе теории Бернулли – Эйлера.

В первой главе дан расчет частот и форм свободных и вынужденных колебаний консольного стержня на основе теорий Бернулли – Эйлера и Тимошенко. Полученное решение иллюстрируется числовыми примерами, графиками и таблицами. Дан анализ полученных результатов.

В первом параграфе рассматривается задача о свободных колебаниях балки. Рассмотрим балку длины l с защемленным левым и свободным правым концом, ось которой лежит в вертикальной плоскости симметрии xOy (Рис. 2) и направлена по оси Ox. Положительные направления изгибающего момента M и поперечной силы Q в сечениях x и x+dx, а также распределенной на оси инерционной поперечной нагрузки q(x,t) и распределенного инерционного момента m(x,t) при повороте элемента показаны на Рис. 2.

Рис. 2. Система координат, действующие нагрузки.

Уравнения равновесия малого элемента балки имеют вид

, ,

отличающийся от уравнений С.П. Тимошенко только знаками некоторых слагаемых вследствие принятого противоположного направления оси Oy (Рис. 2). Если y = y(x,t) – уравнение изогнутой оси балки, то q (x,t) и m (x,t) определяется формулами

в которых , F, J – соответственно плотность материала стержня, площадь и момент инерции его поперечного сечения.

Приводится решение в теории Бернулли – Эйлера в кратком изложении, что необходимо для его обобщения на дальнейшие задачи и сравнения получаемых результатов.

Уравнение равновесия в перемещениях

,

решение которого должно удовлетворять граничным условиям

Решая эту задачу, находим частотное уравнение, известное в литературе (С.П.Тимошенко; Пономарев С.Д., Бидерман В.Л. и др.)

.

(1)

Значения k из частотного уравнения можно найти численным методом, после чего определяется спектр собственных круговых частот по формуле:

где i – номера корней частотного уравнения (1) и соответствующей собственной частоты.

Частотное уравнение на основе теории Тимошенко. При учете инерционных нагрузок и деформаций сдвига уравнения равновесия элемента балки, сохраняют свой вид, а угол поворота поперечного сечения в теории С.П. Тимошенко записывается в виде суммы:

,

где – угол сдвига, а – угол поворота, определяющий величину изгибающего момента (касательные напряжения, соответствующие углу , момента не вызывают).

Получена система уравнений равновесия в перемещениях с искомыми функциями y(x,t) и (x,t)

, ,

(2)

решение которой должно удовлетворять граничным условиям:

Кинематические граничные условия формулируются для перемещений X и углов повора , это обеспечивает выполнение закона сохранения энергии и теоремы взаимности работ, обоснование этого приводится в работе В.И. Сливкера. Решая систему (2), получаем частотное уравнение

.

(3)

Здесь для краткости введены обозначения

(4) (5) (6)