Резонансные явления при пространственных колебаниях нелинейных систем

На правах рукописи

МУНИЦЫН Александр Иванович

РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.06 – динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора технических наук

Москва 2009

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ивановский государственный энергетический университет» на кафедре «Теоретическая и прикладная механика»

Официальные оппоненты: доктор технических наук, с.н.с.

Банах Людмила Яковлевна

доктор технических наук, с.н.с.

Тяпин Александр Георгиевич

доктор технических наук, профессор

Подалков Валерий Владимирович

Ведущая организация: Ивановская государственная текстильная

академия

Защита состоится 16 октября 2009 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д-212.157.11 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу:

111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д.17, ауд. Б-407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет МЭИ(ТУ).

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор О.В.Трифонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации рассмотрены вопросы, связанные с решением крупной научной проблемы исследования резонансных явлений при пространственных колебаниях нелинейных механических систем с «сопряженными» формами колебаний.

Актуальность темы диссертации. В современных условиях возрастает сложность проектируемых технических объектов, совершенствуются методы их расчета при сложных динамических режимах нагружения. Использование высокопроизводительных машин приводит к увеличению амплитуд колебаний и расширению спектра вибрационных нагрузок. Интенсификация колебаний может привести к полной расстройке и отказу динамической системы, с другой стороны колебания с большими амплитудами являются рабочим режимом большого числа современных машин. Для изучения этих явлений необходимо применять методы нелинейной теории колебаний.

Для решения большого ряда технических проблем представляет интерес исследование нелинейных резонансных явлений в механических системах при воздействии внешних периодических нагрузок. Для реализации подобных явлений необходимо выполнение определенных соотношений между частотами собственных колебаний нелинейно-связанных между собой парциальных систем, либо между собственными частотами и частотой внешнего возбуждения. В этих условиях создаются предпосылки для перераспределения энергии между различными обобщенными координатами системы, вследствие чего могут возбуждаться колебания по тем формам и в тех направлениях, по которым непосредственно не действуют внешние возмущающие нагрузки.

Внутренним свойством таких колебательных систем является скачкообразное изменение их поведения при непрерывном изменении внешних условий. Так струна или стержень под действием вибрационной нагрузки действующей в одной плоскости могут совершать как плоские, так и пространственные колебания в зависимости от значений параметров задачи. Для различных режимов движения характерны качественно различные поля напряжений и соответственно различные прочностные характеристики. Поэтому актуальной проблемой является создание математических моделей нелинейных систем и нахождение всех существующих решений.

Целью работы является выявление и практическое использование новых резонансных явлений в системах с «сопряженными» формами колебаний. Рассматриваются задачи о нелинейных пространственных колебаниях нити с натяжным устройством и пространственные колебания стержня с неподвижными шарнирными опорами и близкими значениями собственных частот изгибных колебаний в разных плоскостях. Под сопряженными формами в этих задачах подразумеваются формы колебаний в двух ортогональных плоскостях.

Для достижения этой цели были поставлены следующие основные задачи:

- составление математической модели рассматриваемых задач в виде системы дифференциальных уравнений и граничных условий,

- решение полученных уравнений для одномодового приближения по обеим сопряженным формам асимптотическим методом Крылова-Боголюбова. Для ряда случаев, в частности при отсутствии диссипации, это решение может быть получено в аналитическом виде,

- разработка и программная реализация численного метода решения приведенной системы нелинейных уравнений на основе метода продолжения решения по параметру,

- исследование устойчивости полученных решений на основе второго метода Ляпунова,

- разработка и программная реализация численного метода решения систем дифференциальных уравнений с произвольными, в том числе нелинейными, граничными условиями на основе методов Бубнова-Галеркина и продолжения решения по параметру.

Методы исследования и достоверность полученных результатов. В качестве основных методов исследования в диссертационной работе применялись методы, принятые в теории нелинейных колебаний. В одномодовом приближении решения получены на основе методов возмущений и усреднения, решение с учетом нескольких форм колебаний получено методом Бубнова-Галеркина. В отдельных случаях получено аналитическое решение задачи. Для численного построения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик использовался метод продолжения решения по параметру. Исследование устойчивости решений проведено на основе второго метода Ляпунова с использованием QR алгоритма.

Достоверность научных результатов подтверждается корректным использованием математического аппарата, адекватного решаемым задачам, удовлетворительным совпадением теоретических и экспериментальных результатов, опытом практического использования разработок в производственной и научной областях.

Основные результаты и их научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

- сформулирована краевая задача, описывающая динамическое поведение нити с натяжным устройством. При учете упругих свойств нити одно из граничных условий является нелинейным.

- получено решение задачи о свободных колебаниях нерастяжимой нити. Установлено, что система имеет мягкую нелинейность и наряду с двумя плоскими формами колебаний в двух ортогональных плоскостях существует третья форма колебаний соответствующая вращению точек нити по окружности.

- решена задача о вынужденных колебаниях нити под действием кинематического возбуждения в окрестности главного резонанса. Для одномодового приближения и отсутствия диссипации решение получено в аналитическом виде. Установлено, что плоская форма колебаний нити устойчива при малых амплитудах, в области резонанса движение нити происходит по пространственной форме колебаний.

- эта же задача решена с учетом нескольких форм колебаний в двух ортогональных плоскостях. Результаты качественно совпадают с результатами, полученными с учетом одной формы. Для упругой нити определена сила натяжения, максимальное значение которой соответствует плоской форме движения. Пространственное движение нити в области резонанса приводит к значительному уменьшению силы натяжения, что снижает вероятность обрыва нити.

- получено решение задачи о колебаниях стержня с шарнирно неподвижными опорами и близкими значениями осевых моментов инерции сечения. В плоской постановке такая задача является классической. Для свободных колебаний обнаружены две формы плоских колебаний во взаимно ортогональных плоскостях и две пространственные формы, соответствующие движению точек средней линии стержня по эллипсу в противоположных направлениях. Пространственные формы колебаний реализуются только при превышении некоторого порогового значения амплитуд.

- при исследовании вынужденных колебаний стержня, наряду с существованием пространственной формы движения, выявлены ранее неизвестные резонансные явления. При возбуждении колебаний в плоскости большей изгибной жесткости обнаружено устойчивое решение, соответствующее плоской форме движения. Максимальные амплитуды реализуются именно на плоской форме колебаний, причем этот участок амплитудно-частотной характеристики изолирован и реализуется только при наличии внешних возмущений.

- похожие резонансные явления выявлены и для других случаев возбуждения колебаний. В некоторых диапазонах частот возможно одновременное существование до пяти устойчивых режимов колебаний стержня.

- получено решение задачи о колебаниях стержня на первом супергармоническом резонансе, соответствующей заменой переменных эта задача сводится к случаю колебаний в окрестности главного резонанса.

- рассмотрен вопрос практического применения полученных результатов на примере задачи вибрационного контроля вальцовочных соединений и динамического расчета гидроцилиндра выдвижения башни автомобильного подъемного крана КСТ-7.

- исследована задача о колебаниях стержня вращающегося вокруг своей оси. Взаимодействие сопряженных форм в этом случае происходит за счет нелинейных сил и сил Кориолиса. В этой задаче также обнаружено существование нескольких устойчивых режимов колебаний.

Научные результаты, выносимые на защиту.

- уравнения пространственных нелинейных колебаний нити и формулировка краевой задачи динамики нити с натяжным устройством.

- аналитическое и численное решение, полученное для нерастяжимой нити в одномодовом приближении и анализ резонансных явлений проявляющихся в неустойчивости плоской формы колебаний и существовании устойчивых пространственных форм колебаний нити.

- численное решение задачи о колебаниях упругой нити, позволяющее определять силу натяжения нити и явление значительного уменьшения силы натяжения при пространственном движении нити в области резонанса.

- численное и аналитическое решение задачи об изгибных колебаниях стержня с близкими значениями собственных частот колебаний в ортогональных плоскостях и ранее неизвестные резонансные явления, заключающиеся в возможности существования нескольких плоских и пространственных форм движения в области резонансов.

- постановка и решение задачи о колебаниях стержня с нелинейными опорами и ее практическое применение для нелинейной диагностики вальцовочных соединений теплообменных аппаратов.

- исследование задачи о колебаниях стержня, вращающегося вокруг своей оси и влияние угловой скорости на взаимодействие сопряженных форм колебаний.

Научная и практическая значимость работы.

Полученные результаты вносят вклад в развитие нелинейной теории колебаний систем с сопряженными формами колебаний. Выявлены новые резонансные явления в таких системах, в ряде случаев удалось строго установить их характеристики и области существования.

Практическое приложение полученные результаты находят в исследованиях различных технологических процессов текстильной промышленности, связанных с перемоткой нити. Предложенные алгоритмы расчетов позволяют учесть возможные резонансные явления и избежать чрезмерной вытяжки нити и ее обрывов на этапе производства.

Результаты исследования колебания стержня с близкими значениями частот изгибных колебаний использовались при проектировании автомобильного подъемного крана КСТ-7, в частности при расчете гидроцилиндра выдвижения башни. Установлено, что небольшие изменения конструкции крепления гидроцилиндра могут приводить к качественному изменению режима вынужденных колебаний и, следовательно, значительному увеличению амплитуд напряжений и перемещений.

Решение задачи о колебаниях стержня с нелинейными опорами использовано для диагностики технического состояния вальцовочных соединений теплообменных установок.

Результаты проведенных научных исследований внедрены на предприятиях г. Иваново: ОАО ИвНИИ Электропривод, ОАО «Ивэнергомаш», МП «Ивгортеплоэнерго» (акты внедрения прилагаются ).

Научно-методические результаты, полученные в диссертационной работе, используются в учебном процессе Ивановского государственного энергетического университета при чтении лекций студентам и аспирантам по дисциплинам «Устойчивость и управление движением», а также при выполнении курсовых и дипломных проектов.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международной научно-технической конференции «Вибрационные машины и технологии» - Курск, 1997г.; Международной научно-технической конференции «Современные наукоемкие технологии текстильной промышленности», Прогресс-2000, Иваново, 2000; Международной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития энерготехнологий» (III-ХII Бенардосовские Чтения), Иваново, 1989-2007; межвузовской научно-техническая конференции «Информационная среда ВУЗа», Иваново, 2000; 1-ой региональной научно-практической конференции «Наука. Экономика. Общество», Воскресенск, филиал МГОУ, 2006; 9th conference on dynamical systems. Theory and applications. Lodz, 2007, Poland; научно-технической конференции «Вибрация-2008. Вибрационные машины и технологии», Курск, 2008 г; 9th international conference «Dynamics of rigid and deformable bodies», Usti nad Labem, Czesh republic, 2008; «Проблемы машиноведения», конференции посвященной 70-летию Института машиноведения, Москва, 2008 г.; Международной научной конференции по механике. Пятые Поляховские чтения. Санкт-Петербург, 2009 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано: статей в центральных научных рецензируемых изданиях, входящих в «Перечень периодических научных и научно-технических изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертации на соискание ученой степени доктора наук» - 10; статей в журналах, сборниках трудов Международных, Всероссийских и региональных научно-технических конференций – 25.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из 6 глав, основных результатов и выводов, списка используемых источников из 173 наименований, содержит 206 страниц текста, 89 рисунков.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, указана научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, приведены структура и содержание диссертации, перечислены результаты, выносимые на защиту.

В первой главе дается краткий обзор и анализ резонансных явлений в нелинейных системах. Из всех задач нелинейной динамики в отдельную группу можно выделить задачи исследования нелинейных резонансных явлений, обусловленных наличием в системе нелинейных взаимодействий между формами колебаний. Исходной предпосылкой для их реализации является выполнение определенных резонансных соотношений между частотами собственных колебаний парциальных систем. Для таких систем характерными особенностями являются неоднозначность решений, срывы амплитуд в резонансной зоне, затягивание колебаний по частоте и другие нелинейные эффекты.

Примером таких систем является твердое тело либо система твердых тел под действием системы периодических сил. При выполнении определенных условий возможно перераспределение энергии колебаний между обобщенными координатами и колебания тел могут иметь совершенно разные закономерности, в зависимости от того реализуется этот механизм перераспределения или нет. Аналогичные явления наблюдаются при рассмотрении колебаний и устойчивости движения твердых и упругих тел, полностью или частично заполненных жидкостью.

Еще одним классом задач, в которых наблюдается взаимовлияние различных форм колебаний, являются нелинейные колебания оболочек. При учете геометрической нелинейности происходит взаимосвязь колебаний по сопряженным (сдвинутым по фазе в окружном направлении) формам. В результате энергообмена между сопряженными формами могут появиться качественно новые виды колебательных движений оболочки, в частности эффект бегущей волны. Аналогичные эффекты наблюдаются в задаче о нелинейных колебаниях кольца. Вращение кольца либо оболочки приводит к возникновению прецессии возбужденных стоячих волн.

Существенный вклад в исследование резонансных явлений внесли работы И.И. Блехмана, В.В. Болотина, Р.Ф. Ганиева, В.О. Кононенко, П.С. Ковальчука, М.Я. Кушуля, Л.И. Маневича, В.Ф. Журавлева, Д.М.Климова, В.Д. Кубенко, Т.С. Краснопольской, В.А. Светлицкого и др.

В работах Л.Д. Акуленко, С.В. Нестерова и Г.В. Костина исследована задача о пространственных колебаниях струны с учетом геометрической нелинейности, обусловленной изменением длины при отсутствии осевых смещений на опорах. Взаимодействие различных форм колебаний наблюдается в задачах о колебаниях стержня, вращающегося относительно одной из опор, колебаниях быстровращающихся валов, трубопроводов под действием бегущих волн жидкости и т.д.

В этой же главе приводится краткий обзор основных работ по динамике текстильной нити и нелинейной вибродиагностике конструкций.

Во второй главе рассматриваются пространственные нелинейные колебания нити с натяжным устройством. В практических приложениях, в частности для большого числа текстильных машин, представляет интерес задача о вынужденных колебаниях нити в процессе ее перемотки по следующей схеме. В точке x=0 нить проходит через натяжное устройство, допускающее продольные перемещения нити и фиксирующее постоянное значение силы натяжения. В простейшем случае натяжное устройство представляет собой фрикционную пару, в которой натяжение нити обеспечивается силой сухого трения. В точке x=L нить совершает движение в плоскости Оyz по некоторому закону . Кроме этого, точки нити движутся со скоростью V, которую будем считать постоянной вдоль деформированной оси S.

В рассматриваемой схеме происходит кинематическое возбуждение колебаний нити в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Поскольку собственные частоты колебаний нити в плоскостях Oxy и Oxz одинаковы, в решении следует ожидать взаимодействия сопряженных форм колебаний.

Рассмотрим колебания нерастяжимой нити, то есть силу натяжения нити T считаем постоянной и равной ее значению в натяжном устройстве. Увеличение амплитуды колебаний происходит за счет продольного перемещения нити в натяжном устройстве и изменения длины нити, участвующей в движении. Обозначим через y(x,t) и z(x,t) перемещения нити в точке с эйлеровой координатой x в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Диссипацию учитываем по модели внешнего трения. Полученные уравнения движения нити при сохранении величин третьего порядка малости относительно перемещений в безразмерной форме имеют вид

(1)