Энергетическая теория хрупкого разрушения твердых тел

В п. 2.3.2 на основании принятых допущений сформулированы первый и второй законы термодинамики (1), (2) для тел с развивающейся новой поверхностью.

(5)

(6)

Здесь введены обозначения

(7)

которые представляют внутреннюю энергию и энтропию соответственно, затраченные на образование дефекта с поверхностью , u*(xi,t)>0 – удельная внутренняя энергия и *(xi,t) – удельная энтропия, рассчитанные на единицу поверхности дефекта. Площадь (t) поверхности и ее характеристики, а следовательно и объем V является функцией времени t. Величины удельных энергий u*(xi,t) и *(xi,t) зависят от напряженного и деформированного состояний в точках образования дефекта, от температуры, от других термодинамических параметров, меняющихся во времени, а также от изменения во времени площади и поверхности трещины. Можно полагать, что рациональная трактовка величин u*(xi,t) и *(xi,t) в выражениях (5), (6), (7) должна быть основана на теории микроконтинуума.

При допустимых ограничениях на свойства поверхности дефекта первый поверхностный интеграл в соотношении (7) сводится к двойному интегралу, для которого применима обобщенная теорема о среднем.

Тогда

(8)

где , – удельная внутренняя энергия "в среднем" затраченная на образование единицы поверхности дефекта (трещины). Как следует из выражения (8) эта энергия зависит от характерных размеров дефекта, поскольку изменяется при изменении поверхности .

Соотношение (5) является термодинамическим условием, определяющим образование и распространение трещины. Соотношение (6) указывает на необратимость этого процесса.

Условие (5) является необходимым термодинамическим условием образования и развития трещины. Для вычисления термодинамических параметров и функций, входящих в это условие, необходимо сформулировать и разрешить математические задачи, соответствующие различным моделям, согласно которым возникают и развиваются трещины.

Одной из составляющих физико-математических моделей процесса разрушения является "априори" принятая геометрическая форма дефекта. Если поверхность дефекта может быть определена только одним характерным параметром a (например, полудлина трещины, или большая полуось эллипса при плоской деформации) и другие параметры поверхности дефекта выражены через a, то все функции, входящие в условие (5) зависят от времени и от параметра a, который также зависит от времени. Например, . Это предположение позволяет, исходя из условия (5), получить в общем случае зависимость параметра a от времени. В данной работе рассматриваются «однопараметрические» модели дефектов. В п. 2.4 сформулировано энергетическое условие хрупкого разрушения (5) при однократном статическом нагружении в изотермическом случае в виде

(9)

Здесь обозначено , ; Индекс (0) относится к соответствующим величинам до образования в теле новой поверхности, а индекс (1) к величинам, после образования новой поверхности, – полная энергия твердого тела при образовании новой поверхности, состоящая из высвобождающейся внутренней энергии и работы внешних сил, и энергии (8), затраченной на ее образование.

Поскольку при статическом деформировании энергия зависит только от изменяющегося во времени характерного параметра дефекта , условие (9) имеет вид:

(10)

Если в условии (10) то трещина не распространяется. Тогда критерием возможного развития трещины являются условия

, (11)

При этом случай не может быть исключен и, следовательно, остается неопределенным, произойдет ли движение трещины в действительности. Так как задача рассматривается в статическим приближении, то из условия (11) нельзя найти время, при котором дефект достигнет своего критического размера, а так же вычислить зависимость параметра от времени.

Термодинамические величины (3), (4), определяющие полную энергию (9) имеют вид соответственно

(12)

Термодинамические функции (12) вычисляются из решения математических задач, соответствующих различным физическим моделям возникновения дефекта (трещины). В частном случае, когда малый по сравнению с размерами тела дефект расположен вдали от внешних поверхностей тела, обычно рассматривают две известные математические модели, в соответствии с которыми происходит образование и развитие такого изолированного дефекта (трещины). В модели (А) на внешней, достаточно удаленной от дефекта поверхности тела S0, при образовании дефекта, напряжения в теле с дефектом остаются такими же, как в теле без дефекта. Напряжения на поверхности дефекта равны нулю. Согласно этой модели, внешние силы совершают работу на поверхности S0 на перемещениях, вызванных образованием дефекта.

В модели (В) на внешней, достаточно удаленной от дефекта поверхности тела S0, при образовании дефекта, перемещения в теле с дефектом остаются такими же как в теле без дефекта. Напряжения на поверхности дефекта также равны нулю. Работа внешних сил на поверхности тела S0 при образовании дефекта равна нулю (A = 0), так как перемещения на поверхности S0 не изменяются и равны перемещениям, соответствующим приложенной нагрузке, но до того как образовался дефект.

Модели (А) и (В) по разному описывают одно и тоже физическое явление и краевые задачи теории упругости, соответствующие этим моделям, различны. Модель (А) обычно объясняют с помощью принципа Сен-Венана. Модель (В) непосредственно подтверждается экспериментальными исследованиями на плоских образцах с искусственно выполненными разрезами (дефектами) с точностью до разрешимости тензодатчиков. С этой точки зрения модель (В) предпочтительнее, так как она может быть проверена экспериментально. В п. 2.5. сопоставляется предложенное энергетическое условие хрупкого разрушения (9) с известным энергетическим условием А. Гриффитса.

(13)

где: – потенциальная энергия, затраченная на образование дефекта; – энергия, необходимая для образования единицы поверхности дефекта , которую полагают равной поверхностной энергии, – работа внешних сил.

Общеизвестно что условие (13) неприменимо для оценки прочности при сжатии. В частности, для задачи о разрушении материалов при одноосном и двухосном равномерном растяжении (сжатии) пластины при возникновении изолированного дефекта условие (13) приводит к независимым от температуры и одинаковым по абсолютной величине критическим напряжениям, что противоречит экспериментальным данным практически для всех известных материалов.

Для того чтобы устранить этот недостаток А. Гриффитс рассмотрел задачу о двухосном сжатии напряжениями упругой пластины, ослабленной эллиптической полостью, большая ось которой составляет некоторый угол с направлением одного из напряжений. При решении этой задачи Гриффитс предположил: реальный дефект представляется в виде «узкого» эллипса с соотношением полуосей, значительно меньшим единицы; разрушение при сжатии происходит в точке на контуре дефекта, там, где нормальное растягивающее напряжение, направленное вдоль контура эллипса, достигает критического значения при растяжении (гипотеза нормального отрыва). После вычислений, Гриффитс получил соотношение между критическими напряжениями при сжатии и растяжении равное по абсолютной величине восьми для всех материалов, что так же противоречит, в общем случае, экспериментам. В работе В.В. рассмотрена эта же задача, в предположении, что реальный дефект представляется в виде математического разреза. Проведенные вычисления привели к соотношению между прочностью на сжатие и растяжение по абсолютной величине равному 2,66 для всех материалов. Это, практически, не соответствует экспериментам. В частности, для горных пород это соотношение колеблется в пределах от сорока до ста, для чугуна оно равно приблизительно трем, а для неорганических стекол оно порядка шести.

Этот недостаток первоначальной теории Гриффитса не был устранен на основании предположения, введенного в работах Б. Поля, Ф. Макклинтока, И. Уолша, А. Аргона: трещины при сжатии закрываются, благодаря чему на их поверхности возникает трение скольжения. Однако, авторы этих же работ установили, что для того, чтобы с помощью трения можно было объяснить десятикратное по абсолютной величине превышение прочности на сжатие над прочностью на растяжение, коэффициент трения на поверхностях трещины должен быть неправдоподобно велик.

В многочисленных исследованиях Г.П. Черепанова, Г. Си, Г.Либовица и др., основанных на термодинамике был обобщен энергетический подход к хрупкому разрушению. Однако, в этих исследованиях авторы не приводят фундаментальных физических и математических предположений, приводящих к условию А. Гриффитса (13). В частности, в приведенных исследованиях не обоснованны физические гипотезы и математические допущения, на основании которых приращение энтропийной компоненты (4) внутренней энергии было положено равным нулю. Отметим, что в этих работах, а так же во всех других известных автору работах, опубликованных в течении последних восьмидесяти лет, энтропийная составляющая (4) внутренней энергии "априори" предполагается равной нулю.

Для рассматриваемого случая при , и однократном статическом нагружении условие хрупкого разрушения (9), с учетом соотношений (8), (12), запишем в виде:

(14)

В условии (14), в отличие от условия (13) содержится энтропийная составляющая внутренней энергии и зависит от размера дефекта и имеет другой физический смысл. Это внутренняя энергия, затраченная на образование единицы поверхности дефекта (7). Таким образом, в рамках энергетического подхода, идентичного подходу А. Гриффитса, первый закон термодинамики предписывает сохранение в условиях разрушения (13), (14) в общем случае энтропийной составляющей. Следовательно, условие (13) является термодинамически не полным и поэтому приводит к физически не обоснованным и экспериментально неподтвержденным результатам. Однако, укажем один общий случай, когда эти условия совпадают. Известно, что при достаточно низких температурах для некоторых материалов, например, медь и нержавеющая сталь, коэффициент линейного расширения равен нулю, и, следовательно, энтропийная составляющая внутренней энергии (12) так же равна нулю. Если предположить, что в этих случаях , то условия (13) и (14) совпадают. Они совпадают так же при абсолютном нуле, т.к. для всех материалов в этом случае .

Условия (13) и (14) становятся эквивалентными так же при адиабатическом приближении процесса деформирования. Свободная энергия и энтропия в адиабатическом состоянии имеют вид

,

Это приближение соответствует введению некоторой фиктивной среды с коэффициентом теплового расширения и заменой постоянных Ляме адиабатическими постоянными и , в следствии чего, термодинамические условия разрушения "априори" становятся неполными

В третьей главе исследовано предложенное термодинамическое условие хрупкого разрушения (9), (14) при однократном статическом нагружении и постоянной температуре. Для вычисления термодинамических функций, входящих в условия разрушения (9), (14) и (13) необходимо сформулировать и решить соответствующие краевые задачи теории упругости. В п. 3.1 рассмотрен достаточно общий случай нагружения тела в котором образуется изолированный дефект, когда на одной части внешней поверхности тела заданы только перемещения, а на другой части внешней поверхности заданы только напряжения. Краевые задачи для тела с дефектом и без дефекта (рис.1) имеют вид соответственно:

(15)

,

(16)

(17)

(18)

Рис.1. Общий случай нагружения твердого тела при образовании
изолированного дефекта (трещин):
а – тело без дефекта;
б – тело с дефектом

В п. 3.2 рассмотрены две классические модели образования изолированного дефекта при плоском напряженном (деформированном) состоянии. В первой модели (модель (А)) на внешней поверхности тела до и после образования дефекта заданы одни и те же напряжения, а на поверхности дефекта напряжения равны нулю. Во второй модели ( модель(В)) на внешней поверхности тела до и после образования дефекта зафиксированы перемещения, которые соответствуют приложенной нагрузке, но до того как образовался дефект. Объемные силы в обеих моделях полагаются равными нулю. Сформулируем краевые задачи, соответствующие моделям (А) и (В), из решения которых определяются термодинамические величины, входящие в условие (9), (14) и (13).

Напряженно-деформированное состояние твердого тела до образования в нем дефекта соответствует следующей краевой задаче для уравнений теории упругости

(19)

при граничных условиях (1.21)

(20)

Здесь для плоского деформированного состояния и для плоского напряженного состояния.

Напряженно-деформированному состоянию твердого тела после образования в нем дефекта для модели (А) соответствует следующая краевая задача теории упругости:

(21)

при граничных условиях

(22)

Отметим, что в задачах (19), (20) и (21), (22) на границе тела заданы только напряжения. Тогда эти задачи могут быть сведены к первым краевым задачам для бигармонического уравнения относительно неизвестной функции напряжения .

Напряженно-деформированному состоянию твердого тела после образования в нем дефекта для модели (В) соответствует следующая краевая задача теории упругости:

(23)

при граничных условиях

(24)

Причем, в соответствии с моделью образования дефекта (В) для решения краевой задачи (23), (24) функции определяются из решения краевой задачи (19), (20).

Для моделей (А) и (В) вычислено приращение полной энергии входящей в предложенное условие разрушения (9). Для модели (А) имеем

(25)

Подставляя выражение (25) в энергетическое условие (9) получаем критерий Гриффитса (13) в следующей форме (при )

(26)

Показано, что для модели (А) энтропийная составляющая высвобождающейся внутренней энергии всегда равна нулю и предложенный критерии разрушения в этом случае совпадает с критерием разрушения А. Гриффитса. Вычисляя приращение полной энергии для модели (В) получаем

(27)

Подставляя выражение (27) в условие (9) получаем

(28)

где – для плоского напряженного состояния, – для плоской деформации.

Для модели образования дефекта (В) приращение энтропийной составляющей заведомо в ноль не обращается, что является главным существенным отличием предложенного условия разрушения (9), (14), (28) от условия А. Гриффитса (13), (26). В п.п. 3.3.1-3.3.3 для качественного и количественного анализа предложенного условия приведено решение тестовых задач об образовании новой поверхности. В п.3.3.1рассматривается задача об образовании дефекта круглой формы в круглой пластине при осесимметричном нагружении. Для модели (А) исходя из условия Гриффитса (13) получаем одинаковые по абсолютной величине критические напряжения при растяжении и сжатии

, (29)

что качественно не соответствует экспериментальным данным.

Для модели (В) исходя из предложенного условия (9), (14)

(30)

Таким образом, для модели дефекта (В) энтропийная составляющая внутренней энергии не равна нулю и, вследствие этого, формула (30), в отличие от формулы (29), дает качественно правильные значения критических напряжений (пределов прочности) при всестороннем растяжении , сжатии в зависимости от физико-механических постоянных материала, линейного коэффициента теплового расширения , температуры .