Энергетическая теория хрупкого разрушения твердых тел

На правах рукописи

Дунаев Владислав Игоревич

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ХРУПКОГО

РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Краснодар 2010

Работа выполнена на кафедре математического моделирования ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Научный консультант

академик РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор В.А. Бабешко

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Калинчук

доктор физико-математических наук,

профессор А.В. Смирнова

доктор физико-математических наук,

профессор Н.Н. Фролов

Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита диссертации состоится « 17 » февраля 2011 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 при Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г.Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кубанского государственного университета по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан ____________

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук М.С. Капустин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Построение физико-математических моделей в теории прочности и разрушения твердых тел представляет наиболее актуальную проблему механики деформируемого твердого тела (МДТТ) и ее приложений в технике. Исследования хрупкого и квазихрупкого разрушения занимают центральное место в решении этой проблемы, поскольку именно этот тип разрушения реализуется в многочисленных практических случаях. Одним из наиболее актуальных направлений математической теории хрупкого разрушения является обоснование концепций для вывода предельных условий (критериев), которые определяются интегральными характеристиками процесса разрушения. Эти обоснования приводят к необходимости термодинамического анализа условий хрупкого разрушения и развития эффективных математических методов решения краевых задач МДТТ для вычисления интегральных значений термодинамических функций, входящих в условия разрушения. Несмотря на значительные успехи исследователей в этой области, начиная с основополагающих работ А. Гриффитса, в последние десятилетия существенно расширился круг проблем и некоторых не решенных задач. Исследованию этих проблем и задач посвящена эта работа. Главный вклад в создании математической теории хрупкого разрушения на основе МДТТ принадлежит А. Гриффитсу, который в двух основополагающих статьях, опубликованных в 20-е годы прошлого столетия, впервые предложил энергетическую модель хрупкого разрушения. Идеи, изложенные в работах А. Гриффитса, породили многочисленные теоретические и экспериментальные исследования в области хрупкого и квазихрупкого разрушения. Наиболее полный обзор этих исследований, выполненный в период до 70-х годов прошлого столетия, содержится в семи томном издании «Разрушение», опубликованном в США под редакцией Г. Либовица. Для исследований выполненных в настоящей работе наибольший интерес представляет том «Математические основы теории разрушения», библиография приведенная в этом томе и, особенно, три основополагающие работы Дж. Гудьера, Г.Си и Г. Либовица, Дж. Райса. В 1998 году Г.П. Черепанов (Fracture, A Topical Encyclopedia of Current Knowledge, KRIEGER PUBLISHING COMPANY, MALABAR, FLORIDA) изложил свой взгляд на состояние проблемы хрупкого разрушения и опубликовал избранные статьи известных зарубежных исследователей (G.A. Maugin, T.Yokobori, T. Nishioka, G.C. Sih, H. Liebowitz). Многие отечественные и зарубежные ученные внесли свой вклад в развитие механики хрупкого разрушения. Аналитические и численные методы решения краевых задач МДТТ, которые используются для исследования концентрации напряжений в деформированных телах с дефектами, были всесторонне изучены в работах В.И. Арнольда, В.А. Александрова, А.Е. Андрейкива, Н.Н. Афанасьева, В.А. Бабешко, Г.Г. Варенблатта, Н.М. Бородочева, В.Г. Баженова, А.В. Белоконя, В.С. Владимирова, И.И. Воровича, П.О. Ватульяна, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, Н.Г. Горячевой, А.М. Гузя, Л.М. Зубова, В.В. Коленчука, Д.М. Климова, А.А. Каминского, М.Я. Леонова, Н.Ф. Морозова, Е.М. Морозова, В.И. Моссоковского, В.П. Матвиенко, Н.И. Мусхелешвили, Ф.А. Макклинтока, В.В. Новожилова, Л.В. Никитина, И.А. Одинга, В.З. Партона, В.В. Панасюка, О.Д. Пряхиной, Б.Е. Победри, Г.Я. Попова, Л.И. Седова, М.Г. Селезнева, А.В. Смирновой, С.В. Савина, А.Ф. Улитко, И.Б. Уолша, Г.В. Ужика, К.В. Фролова, Е.И. Шимякина и др.

Cледуя энергетическому условию хрупкого разрушения А. Гриффитса для оценки прочности и разрушения хрупких материалов, на основе полученных решений краевых задач МДТТ для твердых тел с дефектами (трещинами) предложены эффективные методы вычисления энергии, высвобождающейся при образовании дефекта, особенно, с использованием так называемых коэффициентов интенсивности для модели дефекта в виде математического разреза. Однако, обще известно, что условие А. Гриффитса не применимо для оценки прочности и разрушения хрупких материалов при сжатии, т.е. как раз в той области напряженно-деформированного состояния материала, где целесообразно и использовать его высокие прочностные свойства. Отношение между прочностями при простом сжатии и растяжении по абсолютной величине, в частности, для горных пород колеблется от сорока до ста, для чугуна оно равно, приблизительно, трем-четырем, для органических стекол (полистирол, порошковые пластмассы) оно равно от трех до пяти. Однако, в соответствии с энергетическим условием А. Гриффитса, для задач о разрушении хрупких материалов при одноосном и двухосном равномерном растяжении (сжатии) пластинки при образовании изолированного дефекта (развитии дефекта) пределы прочности при растяжении и сжатии одинаковы по абсолютной величине. Этот результат противоречит экспериментальным данным практически для всех материалов в хрупком состоянии.

Для создания макроскопического критерия хрупкого разрушения материалов при сжатии А. Гриффитс отказался от энергетического подхода к разрушению. Он рассмотрел задачу о двухосном сжатии главными напряжениями упругой пластины, ослабленной случайно ориентированной трещиной в виде «узкого» эллипса, большая полуось которой составляет некоторый угол с направлением одного из напряжений. При этом он предположил, что разрушение при сжатии происходит в точке на контуре трещины там, где нормальное растягивающее напряжении направлено вдоль контура эллипса достигает критического значения при растяжении (гипотеза «нормального отрыва»). После вычислений, А. Гриффитс получил соотношение между прочностями на сжатии и растяжении по абсолютной величине равное восьми для всех материалов, что также противоречит, в общем случае, экспериментам. Эти недостатки энергетической теории хрупкого разрушения А. Гриффитса не были устранены в работах Ф. Макклинтока и И. Уолша, которые предположили, что трещина при сжатии закрывается и между ее поверхностями возникает трение скольжения. Однако, эти же авторы показали, что для объяснения с помощью этого предположения превышения прочности на сжатие по сравнению с прочностью на растяжение, коэффициент трения на поверхностях скольжения должен быть неправдоподобно большим.

Энергетический подход к хрупкому разрушению был обобщен в исследованиях основанных на термодинамике. Однако, в этих исследованиях авторы не привели фундаментальных физических и математических предположений из которых следует условие А. Гриффитса. В этих исследованиях необоснованны физические гипотезы и математические допущения на основании которых приращение энтропийной компоненты внутренней энергии, входящей в первый закон термодинамики, было «априори» положено равным нулю.

Цель диссертационной работы

1. Постановка термодинамически «полных» (с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии) условий разрушения при образовании и движении дефекта (трещины). Учет энтропийной составляющей в задачах хрупкого разрушения является основной целью данной работы.
2. Вывод энергетического условия хрупкого разрушения для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии для двух известных моделей изолированного дефекта. Анализ и обобщение предложенного энергетического условия, применительно к указанным моделям образования изолированного дефекта, а также в случае образования изолированного дефекта при произвольном нагружении внешней границы тела.
3. Разработка эффективного метода вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии при образовании (развитии) дефекта (трещины) на основе комплексного представления этих интегралов.
4. Анализ предложенного термодинамического условия хрупкого разрушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера. Исследования асимптотического подхода при вычислении интегралов высвобождающейся внутренней энергии (энтропийной составляющей) в случае образования трещины в виде математического разреза.
5. Построение макроскопического критерия прочности и разрушения твердых изотропных тел в хрупком состоянии при однократном статическом разрушении и постоянной температуре. Определение ориентации трещины относительно направления действия главных напряжений. Сопоставление экспериментальных и теоретических данных.
6. Построение макроскопического критерия прочности и разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.
7. Разработка макроскопического критерия хрупкого разрушения для случая статической усталости.
8. Вывод энергетического условия хрупкого разрушения с учетом моментных напряжений.

Научная новизна работы

В соответствии с целями диссертации научная новизна состоит в следующем:

1. На основе анализа соотношений термодинамики необратимых процессов получены энергетические условия образования новой поверхности (дефекта или трещины) с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии. Первое условие представляет собой первый закон термодинамики, второе условие указывает на необратимость процесса разрушения и представляет второй закон термодинамики.

2. Полученно энергетическое условие хрупкого разрушения для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

3. Разработан метод вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии при образовании изолированного дефекта криволинейной формы на основе комплексного представления интегралов внутренней энергии и решения плоских задач теории упругости через две функции комплексного переменного.

4. Получено термодинамически «полное» условие хрупкого разрушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера для геометрической формы трещины в виде математического разреза. Показано, что для вычисления энтропийной составляющей внутренней энергии необходимо учитывать, кроме первого, также и последующие члены асимптотики решения соответствующей задачи теории упругости, в окрестности конца трещины.

5. Получен макроскопический критерий прочности и разрушения для твердых изотропных тел в хрупком состоянии при однократном статическом нагружении и постоянной температуре. Предложено условие для определения ориентации трещины относительно направления действия главных напряжений для изотропных тел.

6. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при статической усталости.

8. Выведено энергетическое условие хрупкого разрушения с учетом моментных напряжений.

Практическое значение результатов работы

Полученные энергетические условия хрупкого разрушения и макроскопический критерий разрушения твердых тел в хрупком состоянии могут быть непосредственно применены для решения инженерных задач о разрушении материалов и конструкций.

Достоверность результатов

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается применением соотношений термодинамики необратимых процессов, краевых задач МДТТ, а также проверкой полученных результатов на частных задачах, допускающих точные решения.

На защиту выносятся:

1. Термодинамическое условие образования новой поверхности (дефекта, трещины) с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии.

2. Энергетическое условие хрупкого разрушения при образовании изолированного дефекта для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

3. Метод вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии, входящих в условие хрупкого разрушения при развитии изолированного дефекта криволинейной формы.

4. Энергетическое условие хрупкого разрушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

5. Макроскопический критерий прочности и разрушения твердых изотропных тел в хрупком состоянии при однократном статическом нагружении и постоянной температуре.

6. Макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Макроскопический критерий хрупкого разрушения в случае статической усталости.

8. Энергетическое условие хрупкого разрушения с учетом моментных напряжений.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на конференции «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 1998г), на V Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001г), на Международной конференции «Fracture at Multiple Dimension» (Москва, 2003г), на ХХII Международном Конгрессе «Theoretical and Applied Mechanics» (Adelaide, 2008), на «7-th EUROMECH. Solid Mechanics Conference» (Lisbon, 2009г), на конференции получателей грантов регионального конкурса «Юг» РФФИ и администрации Краснодарского края «Вклад фундаментальных исследований в развитии современной инновационной экономики Краснодарского края» (Проект №08-01-99014, Краснодар 2008-2009г), а также на семинарах института проблем механики и геоэкологии КубГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работах, 16 из которых, опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для докторских диссертаций.

Личный вклад автора

Все новые научные результаты получены автором работы. Постановка теоретических задач, анализ полученных результатов, выводы и положения, выносимые на защиту, принадлежат автору. Соавторам принадлежит развитие, интерпретация и обсуждение полученных результатов.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитированной литературы.

В первой главе приведены основные соотношения линейной теории термоупругих твердых сред, необходимые для построения энергетической теории разрушения тел, находящихся в хрупком состоянии. В п.п. 1.1-1.3 приведены замкнутые системы уравнений термоупругости, краевые и начальные условия для постановки некоторых задач, решения которых используется при вычислении термодинамических величин, входящих в условие хрупкого разрушения. В п.п. 1.4, 1.5 сформулирована плоская задача теории упругости и представление решений плоских задач термоупругости через две функции комплексного переменного.

Во второй главе предложено энергетическое условие разрушения твердых тел, содержащее энтропийную составляющую внутренней энергии. Проведено сопоставление предложенного условия с энергетическим условием А. Гриффитса. Это сопоставление содержит исходные предпосылки для построения критерия хрупкого разрушения, в котором разрушающие нагрузки при растяжении и сжатии непосредственно находятся из энергетического условия без дополнительных гипотез (например, гипотезы «нормального отрыва»). В п. 2.1 приведены основные понятия термодинамики необратимых процессов. В п. 2.2 сформулированы первый и второй законы термодинамики в виде:

(1)

(2)

Здесь

Представляет кинетическую энергию тела с объемом V0, означает производную от перемещений по времени t,

представляет внутреннюю энергию тела, u(xi, t) – удельная внутренняя энергия,

(3)

где и - константы Ламе,- компоненты тензора деформаций, - первый инвариант тензора деформации, ij – символ Кронекера, - линейный коэффициент теплового расширения, - модуль объемного расширения, - удельная теплоемкость при постоянной деформации, Т – абсолютная температура

представляет работу внешних сил на соответствующих перемещениях за время , ij – компоненты тензора напряжений, ni – направляющие косинусы вектора внешней нормали, – плотность материала, Хi – проекции объемных сил.

представляет приток тепла в области V0 за время , – коэффициент теплопроводности, - оператор Лапласса.

(4)

представляет энтропию тела, (xi, t) – удельная энтропия

(при )

В п.п. 2.3 предложены термодинамические соотношения для твердых тел с учетом образования новых поверхностей. В п. 2.3.1 содержатся основные гипотезы и предположения касающиеся физической стороны процесса образования новой поверхности, а также термодинамических величин, характеризующих этот процесс:

1. Внутренняя энергия и энтропия тела при образовании дефекта или трещины могут быть представлены в виде суммы внутренней энергии и энтропии тела после образования дефекта и внутренней энергии и энтропии, затраченных на образование дефекта с поверхностью .

2. Процесс образования трещины в макрочастице является термодинамическим и необратимым процессом. Из этого допущения следует существование термодинамических параметров необратимого процесса разрушения, определяющих термодинамическое состояние макрочастицы, при образовании в её объеме трещины.

3. Возникновение трещины при хрупком разрушении не порождает на ее поверхности дополнительных макроскопических напряжений, деформаций, перемещений, тепловых потоков и температур, которые необходимо включать в граничные и начальные условия краевых задач термоупругости для тела с трещиной.