Математическое моделирование, численные методы и комплекс программ для задачи взаимодействия двух экономических агентов

На правах рукописи

ФЁДОРОВА ЕЛИЗАВЕТА АЛЕКСАНДРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ АГЕНТОВ

Специальность 05.13.18 – «Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Тверь 2012

Работа выполнена в Тверском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Н. А.Семыкина

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент М. Ф. Маливинский,

доктор технических наук,

профессор И. П. Болодурина

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Тверская государственная сельскохозяйственная академия»

Защита диссертации состоится 2 марта 2012 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый пер., д. 35, ауд. 200.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170000, г.Тверь, ул.Володарского, 44а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу:

http://university.tversu.ru/aspirants/abstracts/

Автореферат разослан « 2 » февраля 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, Г. М. Соломаха

доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Математическая теория управления наибольшее развитие получила во второй половине XX века. Совершенствование техники и растущая потребность в надежности и безопасности функционирования управляемых систем определило круг задач, которые составляют предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, связанная с проблемой перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на уменьшение потерь при протекании процессов.

Необходимость решения таких задач возникает при моделировании физических, химических, биологических, социальных, экономических и других процессов.

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта.

Из наиболее распространенных методов решения задач оптимального управления являются метод штрафных функций и принцип максимума, который в настоящее время остается основным инструментом для определения оптимального управления и оптимальных траекторий.

Истоки теории оптимального управления восходят к работам Р. Беллмана, Л. С. Понтрягина, Л. Калмана, Н. Н. Красовского, У. Флеминга, A. Фридмана.

Большой вклад в развитие теории оптимального управления внесли В. Г. Болтянский, Л. Д. Беркович, Е. А. Брайсон, Р. Ф. Габасов, Р. В. Гамкрелидзе, А. Я. Дубровицкий, Ю. Г. Евтушенко, В. И. Зубов, А. Д. Иоффе, Ф. М. Кириллова, В. Ф. Кротов, Г. Лейтман, А. А. Милютин, Е. Ф. Мищенко, Н. Н. Моисеев, Н. Н. Петров, В. М. Тихомиров, Ф. Л. Черноусько, С. В. Чистяков, В. А. Якубович, Д. Эллиот.

В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении.

Большой вклад в разработку теоретических и методологических аспектов исследования проблем экономического развития, построение и исследование их математических моделей внесли отечественные ученые С. А. Ашманов, В. З. Беленький, В. А. Бессонов, О. О. Замков, В. А. Колемаев, Г. Б. Клейнер, В. Л. Макаров, Д. Нестерова, Р. Л. Нуреев, А. А. Петров, И. Г. Поспелов, Ю. Н. Черемных, А. А. Шананин, а также зарубежные ученые Е. Домар, Д. Касс, В. Леонтьев, Р. Лукас, Н. Калдор, Р. Рамсей, Д. Ромер, Дж. фон Нейман, Р. Солоу, Р. Харрод, К. Эрроу и другие.

В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении. Несмотря на многочисленные разработки оптимальных стратегий в экономике, наблюдаемая на практике картина, в частности, возникновение и развитие кризисных ситуаций, свидетельствует о необходимости дальнейшего изучения экономических явлений. В связи с этим, проблема определения механизмов и сценариев развития динамики в экономических системах оказывается весьма важной и актуальной.

Целью работы является нахождение и исследование аналитического и численного решения многокритериальной нелинейной задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями, которая формализует модель взаимодействия двух экономических агентов.

Для достижения поставленной цели в работе решаются актуальные научные задачи, состоящие в анализе исследуемой модели методами математической теории дифференциальных уравнений и теории оптимального управления и разработке численных методов построения оптимального решения.

Положения, выносимые на защиту.

1. Математическая модель взаимодействия двух экономических агентов с учетом динамики численности трудовых ресурсов.
2. Динамическая модель взаимодействия экономических агентов с различными критериями качества.
3. Результаты исследований динамических моделей на наличие особых оптимальных режимов.
4. Результаты исследований по оценке влияния параметров динамических моделей взаимодействия двух экономических агентов на оптимальное решение.

Научная новизна:

1) новизна математической модели взаимодействия двух экономических агентов заключается в учете ограниченности роста численности трудовых ресурсов;

2) динамическая модель взаимодействия двух экономических агентов в отличие от известных моделей рассмотрена как управляемая нелинейная динамическая модель, позволяющая построить оптимальное решение при различных параметрах;

3) при исследовании динамической модели выявлены условия возникновения особых режимов оптимального управления и получено аналитическое выражение особого оптимального управления;

4) построены решения для различных функционалов, зависящих от параметров модели, и исследовано влияние этих параметров на оптимальное решение.

Практическая значимость. Полученные результаты работы могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с деятельностью фирм различных сфер деятельности: прогнозирование динамики капитала, выпуска и прибыли фирмы, рассмотрении вопроса о привлечении наемных работников, прогнозирование материальных затрат и капиталовложений. Разработанные алгоритмы позволяют проводить оценки параметров экономической системы и исследовать их влияние на оптимальное управление.

Методы исследования. В работе при решении поставленных задач применялись необходимые и достаточные условия оптимальности, теория устойчивости, численные и аналитические методы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, отражающей взаимодействия экономических субъектов.

Разработан программный комплекс в среде Borland Delphi 7, реализующий алгоритмы численных методов построения оптимального решения для различных функционалов, производственных функций и параметров модели.

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании апробированных численных и аналитических методов математической теории оптимального управления и методов оптимизации, на применении физически обоснованных исходных данных, на согласованности полученных результатов моделирования с соответствующими статистическими данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные приложения обсуждались и докладывались на второй Российской школе-конференции с международными участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (г. Тверь, 2010 г.); на первой Международной научно-практической конференции, посвященной устойчивому развитию социально-экономических систем (г. Казань, 2011 г.); на второй Всероссийской научно-практической конференции, посвященной проблемам анализа и моделирования региональных социально-экономических процессов (г. Казань, 2011 г.), на семинарах Вычислительного центра им. А.А. Дородницына Российской академии наук (г. Москва, 2011 г.).

Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России для публикации основных результатов кандидатских диссертаций.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и изложена на 139 страницах. Имеется 3 приложения. В диссертации 60 рисунков, отражающих результаты моделирования. Список литературы включает 89 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновывается выбор темы, ее актуальность и значимость, сформирована цель и задачи исследования, теоретическая и методологическая база исследования. Приводятся основные научные и практические результаты, положения, выносимые на защиту. Дана структура и краткое содержание глав диссертации, сведения о публикациях и апробации работы.

В первой главе проводится сравнительный анализ методов исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений: численных методов (методы Рунге-Кутта, методы Адамса, метод Ньютона, метод коллокации, метод стрельбы, методы из математических пакетов MatLab, MathCad, Maple), методов теории устойчивости решений и теории оптимальных процессов (принцип максимума Л.С. Понтрягина, необходимые условия оптимальности, достаточные условия оптимальности, численные методы решения задач оптимального управления).

Во второй главе описана общая структура модели, в которой выделяются два экономических агента: банк и фирма.

Построение модели опирается на общие положения, модели и методы системного анализа экономики. Главные предположения, на которых основано математическое описание модели:

1. Производство однородного продукта осуществляет фирма, которая функционирует ради извлечения максимальной прибыли.
2. Все произведенные продукты обращаются в товар.
3. Учитывается численность рабочих, которые получают доход в виде заработной платы.
4. Часть дохода фирма расходует на затраты производства и погашение кредитов, другую часть - размещается на счете в банке.
5. Банк осуществляет финансовую деятельность в виде кредитов и обслуживания текущих счетов фирмы.
6. Деятельность внешней экономической среды, с которой взаимодействует рассматриваемая фирма, и торгово-посреднические структуры, обслуживающие обращение товаров не рассматриваются.

Комплексная модель деятельности и отношений двух указанных субъектов экономики формализована в виде:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

где - капитал фирмы, - численность наемных работников, (А>0, >0, >0) - производственная функция, задающая технологию производства, - текущий банковский счет фирмы, - величина задолженности фирмы перед банком, - коэффициент амортизации капитала, () – функция, характеризующая инвестиционных поступлений, - ставка банковского счета, - ставка процента на кредит, - величина кредита, () - коэффициент материальных затрат, () – коэффициент погашения задолженности, – коэффициент прироста численности наемных работников, - ставка заработной платы, - ставка налога на прибыль, - функция, характеризующая привлечение кадров за счет увеличения заработной платы. ,, , - заданные начальные значения функций.

Построенная модель (1) – (4) отличается от известных моделей следующим:

1. Динамика трудящихся описывается логистическим уравнением Ферхюльста с учетом привлечения кадров за счет увеличения заработной платы .
2. Задолженность списывается непосредственно с банковского счета фирмы.

Данная модель дает возможность рассчитать уровень производства фирмы, а также прибыль в зависимости от капитала, числа наемных работников, ссудного процента банка и процента начисления на сбережения, а также определить тенденции развития фирмы.

Проведено исследование математической модели на устойчивость. Показано, что неуправляемая модель не является устойчивой. Данные факт подтвержден численным экспериментом.

Проверена адекватность построенной модели с использованием методов математической статистики.

В третьей главе рассмотрено взаимодействие описанных во второй главе экономических субъектов, которое происходит в процессе их экономической деятельности. Каждый экономический агент преследует свою цель, которая может быть достигнута на имеющихся ресурсах системы.

Таким образом, в зависимости от интересов каждого из экономических агентов получены различные критерия качества.

Решены следующие задачи оптимального управления:

1. Задача оптимального управления деятельности фирмы.

Предполагается, что фирма так регулирует уровень производства, чтобы извлечь из него максимальную прибыль и сократить к концу отчетного периода задолженность перед банком до минимума:

, (5)

где – дисконтирующий множитель. Фирма достигает поставленной цели, управляя инвестиционными отчислениями () и величиной погашения кредиторской задолженности (). Функции , , , выступают как фазовые функции с естественными для экономических величин ограничениями: , , , .

Для поставленной задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями (1) – (4), (5) получены необходимые условия оптимальности.

Пусть - оптимальный управляемый процесс в задаче. Тогда существуют не равные одновременно нулю векторы-функции и неотрицательные регулярные меры , , сосредоточенные на соответствующих множествах , ,

, , ,

, такие, что

1. векторы-функции являются решениями интегральных уравнений

с условиями на левых концах , , , .

2. почти при всех выполняется равенство

Однако применение принципа максимума в таком виде затруднительно. Поэтому для решения задачи применен метод штрафных функций. В результате функционал задачи представляется в виде:

(6)

где - штрафные коэффициенты.

Принцип максимума Понтрягина для задачи (1) – (4), (6) формулируется в следующем виде. Пусть , - локально-оптимальный процесс в этой задаче, тогда

1. оптимальное управление удовлетворяет принципу максимума Понтрягина

2. сопряженные функции являются решением системы уравнений

;

;

и выполняются условия трансверсальности на правом конце: , , , .

Проведено сравнение необходимых условий оптимальности для поставленных задач. После дифференцирования по в предположении, что меры в интегральных уравнениях имеют плотность и сравнения дифференциальных уравнений для сопряженных переменных, получено, что соответствующие штрафные функции равны соответствующим мерам.

Для поставленной задачи из необходимых условий оптимальности определены особые оптимальные управления и условия их существования:

1. для особое оптимальное управление существует при и имеет вид

2. для особое оптимальное управление существует при и равно

Для задачи (1) – (4), (6) сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности.

Теорема 1. Пусть допустимый процесс из множества допустимых процессов и некоторая функция , имеющая непрерывные частные производные по всем аргументам, удовлетворяют условиям:

при всех .

2)

Тогда процесс является оптимальным.