Математическое моделирование многофазных сжимаемых сред с учетом гравитации на суперэвм

На правах рукописи

Лазарева Галина Геннадьевна

Математическое моделирование многофазных сжимаемых сред с учетом гравитации на суперЭВМ

05.13.18 – математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Новосибирск – 2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН)

Научный консультант: доктор физико-математических наук

профессор Вшивков Виталий Андреевич

Официальные оппоненты:

Воеводин Анатолий Федорович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук.

Жуков Виктор Тимофеевич, доктор физико-математических наук,

заведующий отделом Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института прикладной математики им. М.В. Келдыша

Российской академии наук.

Черных Геннадий Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится 02 октября 2012г. в 15.00 час. на заседании диссертационного совета Д003.061.02 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН) по адресу:

630090, Новосибирск, просп. ак. Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан _____________ 2012г.

Ученый секретарь

диссертационного совета
д. ф.-м.н. С.Б. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Математическое моделирование, как один из важнейших методов исследования, играет важную роль в исследовании динамики сжимаемых сред. Без вычислительных технологий прогресс, достигнутый во многих областях знаний, невозможен, так как аналитические методы решения ограничены рассмотрением упрощенных случаев с высокой степенью симметрии или дают приближенные оценки для нелинейных задач. В настоящее время разработано большое количество методов решения системы газодинамических уравнений, изучены их свойства и правомерность их использования в различных областях механики сжимаемой жидкости. На основе существующих и хорошо апробированных методов решения системы газодинамических уравнений разработано большое количество пакетов программ для моделирования течений с целью предсказания их характеристик и рабочих параметров современных инженерных устройств. Наиболее известны пакеты Ansys, Fluent, FlowVision, CFX, STAR-CD, Numeca, FlowER, MD Nastran используемые для моделирования различных типов течений. Несмотря на развитую теорию, большой опыт успешного применения разностных методов для решения системы уравнений газовой динамики и существование созданных на их основе готовых пакетов программ, решение задач динамики многофазных сжимаемых сред с учетом гравитации требует особого подхода. Приложения методов решения гиперболических систем уравнений к различным задачам всегда предполагают наличие определенных критериев к выбору метода и его модификации. Уравнения газовой динамики есть математическое выражение основных законов сохранения для сплошной среды: массы, импульса, полной энергии. В приложениях задач гидродинамики часто возникает необходимость рассматривать дополнительные физические факторы, такие как многофазность, самогравитация, процессы охлаждения, теплоперенос, плавление, наличие сильно изменяющихся реологических и транспортных свойств и т. д. Это приводит к необходимости введения в уравнения новых членов и включения в систему дополнительных уравнений. В результате изменяется содержательность математических моделей, их решение следует трактовать уже в новых физических терминах. Такая ситуация имеет место и для большого класса математических моделей в задачах генерации излучения пассивными пузырьковыми системами в гидроакустике, мантийных течений в геодинамике и столкновений галактик в современной теоретической астрофизике. При изучении сложных явлений переход к моделированию пространственных течений сжимаемых сред сопровождается появлением новых физических эффектов, которые в задачах меньшей размерности либо отсутствуют, либо проявляются лишь незначительно. Многомерные модели выдвигают особые требования к используемым для их реализации численным методам. Не менее значимым фактором является возможность достаточно простой параллельной реализации метода для расчетов на суперЭВМ, так как программная реализация пространственных моделей, требующих большого числа массивов, невозможна на современных однопроцессорных компьютерах. В настоящее время возможно проведение расчетов газодинамических моделей в трехмерной постановке с хорошим разрешением (достаточно подробной сеткой либо большим количеством частиц) только на многопроцессорных вычислительных системах. Проблема использования супер-ЭВМ для решения задач динамики сжимаемых сред в первую очередь определяется сложностью адаптации алгоритмов решения задач на архитектуру многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью, доминирующим в настоящее время направлением в развитии многопроцессорных компьютеров.

Несмотря на достигнутые успехи в моделировании динамики сжимаемых сред, в частности, многофазных, многие прикладные задачи до сих пор не решены. Сложность проблемы обуславливает необходимость разработки фундаментальных основ и применения математического моделирования, численных методов и комплексов программ; комплексных исследований научных и технических проблем с применением современных технологий математического моделирования и вычислительного эксперимента; разработки новых математических методов и алгоритмов интерпретации эксперимента и наблюдений на основе математической модели. Таким образом, актуальность работы определяется потребностью разработки, обоснования и тестирования экономичных вычислительных методов решения уравнений многофазной газовой динамики с учетом гравитации с применением современных суперкомпьютерных технологий, реализации численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента и комплексного исследования научных проблем гидроакустики, астрофизики и геодинамики с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Объект исследования данной работы – нестационарные процессы в многофазных сжимаемых средах с учетом роли гравитационных сил путем построения и изучения их математических моделей, корректной конечномерной аппроксимации и создания программно-алгоритмических средств, ориентированных на использование вычислительных систем с параллельной архитектурой. Цель исследования - опираясь на современные достижения теории разностных схем для газодинамических систем уравнений, развить численные методы решения прикладных задач гидроакустики, астрофизики и геодинамики, создать на этой основе научно-исследовательские версии программного обеспечения, ориентированные на использование современных вычислительных средств с параллельной архитектурой и провести численные эксперименты.

Научные задачи

1. Разработать метод численного моделирования взаимодействия плоской ударной волны со «свободной» пузырьковой системой заданной геометрии с применением современных суперкомпьютерных технологий. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов. Провести комплексные исследования процессов распространения ударной волны излучаемой пузырьковым кластером и ее структуры с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

2. Разработать, обосновать и протестировать экономичный численный метод расчёта трехмерных задач динамики самогравитирующих многофазных систем с сохранением свойства инвариантности решения относительно поворота. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения для проведения крупномасштабных вычислительных экспериментов. Провести комплексные исследования равновесных конфигураций и коллапса самогравитирующего газа, динамики газопылевых самогравитирующих систем и развитие сценариев столкновений галактик с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

3. Разработать нестационарную математическую модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами. Разработать эффективный параллельный алгоритм нахождения гипозвуковой скорости течения. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения и провести численное моделирование мантийных течений.

Методы исследований, достоверность и обоснованность. Разнообразие явлений, их нелинейность, нестационарность, многомасштабность требуют детального изучения, основанного на совмещении современных знаний из различных дисциплин: методов математического моделирования, вычислительной математики, теории разностных схем, теории параллельных вычислений, в том числе методы пространственной декомпозиции областей для разработки параллельных версий алгоритмов, механики сплошных сред, гидроакустики, астрофизики и геодинамики, ­­ - с широким использованием экспериментальных и наблюдательных данных. В диссертации проводится теоретическое исследование усиления ударной волны пузырьковым кластером, динамики самогравитирующих систем и мантийных течений. Исследования выполнены методом численного моделирования, некоторые вопросы изучались аналитическими способами. Математические модели, которые использовались и развивались в работе, отличаются полнотой описания явлений, что позволило учесть целый комплекс факторов, влияющих на поведение газодинамических параметров течений в задачах гидроакустики, астрофизики и геодинамики. Методологический подход к решению поставленных задач состоит в совмещении сложных газодинамических моделей, современных представлений гидроакустики, астрофизики и геодинамики с экономичными численными методами, разработанными для суперкомпьютерных вычислений. Разработанные комплексы программ и используемые в работе модифицированные разностные схемы прошли полное тестирование на модельных задачах, близких по физической постановке к изучаемым явлениям и допускающим аналитическое решение.

Достоверность подходов к численному моделированию усиления ударной волны пузырьковым кластером подтверждается совпадением результатов, полученных по двум различным численным методам: с помощью противопотоковой схемы и схемы расщепления второго порядка точности, адаптированной к исследованию течений с сильно нелинейным уравнением состояния. Последняя из используемых схем абсолютно устойчива и аппроксимирует систему уравнений, записанную в консервативном виде, что обеспечивает разностное выполнение соответствующих законов сохранения. Сходимость численных методов проверена на последовательности измельчающихся сеток. Полученные результаты непротиворечивы, дополняют друг друга и соответствуют имеющимся экспериментальным данным по изучаемым явлениям. Процесс фокусировки ударной волны, генерируемой сферическим пузырьковым кластером, устойчив к возмущениям, заданным в виде жидкой сферы, размещенной в кластере в различных точках на оси.

Газодинамическая часть программного комплекса для моделирования самогравитирующих систем была протестирована на тестах Годунова. Сходимость численных методов решения отдельных этапов задачи проверена на последовательности измельчающихся сеток. Решение уравнения Пуассона для гравитационного потенциала тестировалось на аналитических решениях с разрывной правой частью. На задачах о равновесных конфигурациях самогравитирующего газа было проведено тестирование правильности решения системы уравнений газовой динамики с учётом влияния самосогласованного гравитационного поля. В ходе численного нахождения равновесных конфигураций решение системы выходило на соответствующие автомодельные решения. Правомерность применимости предложенного подхода к численному моделированию подтверждается согласованностью полученных результатов решения задачи коллапса с результатами других авторов. Полученные диапазоны газодинамических параметров развития сценария столкновения галактик соответствуют теоретическим оценкам, основанным на анализе наблюдательных данных. Контроль правильности решения осуществляется выполнением разностных законов сохранения.

Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается использованием фундаментальных принципов математического моделирования механики сплошной среды, применением современных методов асимптотического и численного анализа, сравнением получаемых решений с данными натурных измерений и результатами, известными в литературе, а так же в ИГиЛ СО РАН, ИНАСАН и ИГМ СО РАН путём сопоставления результатов численного моделирования и лабораторных и натурных наблюдений.

Защищаемые научные результаты. В работе присутствуют оригинальные результаты одновременно из трех областей: математического моделирования, численных методов и комплексов программ. Эти три области соответствуют трем пунктам паспорта специальности 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам.

Пункт третий (Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий):

1. Разработка эффективного конечно-разностного метода численного моделирования взаимодействия плоской ударной волны со «свободной» пузырьковой системой заданной геометрии с применением современных суперкомпьютерных технологий.
2. Разработка, обоснование и тестирование эффективного численного метода расчёта трехмерных задач динамики самогравитирующих многофазных систем с применением современных суперкомпьютерных технологий. В основе метода лежит совокупность оригинальных решений: модификация эйлерового этапа метода крупных частиц на основе операторного подхода с целью сохранения свойства решения инвариантности относительно поворота; линеаризация уравнений на эйлеровом этапе для адекватного воспроизведения ударных волн; коррекция схемных скоростей на лагранжевом этапе метода для ликвидации влияния направления координатных линий на решение.
3. Разработка, обоснование и тестирование нового экономичного вычислительного метода для моделирования динамики мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами с применением современных суперкомпьютерных технологий.

Пункт четвертый (Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента):

1. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента с целью исследования процессов распространения и структуры ударной волны излучаемой пузырьковым кластером заданной геометрии в аксиально-симметричной постановке.
2. Создание научно-исследовательского варианта параллельного программного обеспечения для численного моделирования динамики многофазных самогравитирующих систем в трехмерной декартовой системе координат, зарегистрированного в Фонде алгоритмов и программ СО РАН. В ходе реализации метода разработаны оригинальные подходы для эффективного решения ряда ключевых задач: расчет гравитационного потенциала, газовой и пылевой компонент на разных сетках, организация параллельных вычислений методом декомпозиции расчетной области с использованием библиотеки MPI.
3. Создание научно-исследовательского варианта параллельного программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов для численного моделирования мантийных течений

Пункт пятый (Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента):

1. Эффект фокусировки ударной волны с градиентом давления вдоль фронта в результате взаимодействия плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером; нерегулярный характер отражения сходящихся кольцевых волн, генерируемыхй тороидальным пузырьковым кластером; формирование в пузырьковом шнуре последовательности ударных волн затухающей амплитуды.
2. Получены равновесные конфигурации самогравитирующего газа; динамика энергий коллапса самогравитирующего газа; взаимодействие компонент газопылевых самогравитирующих систем; диапазоны параметров для развития сценариев столкновений галактик с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.
3. Результаты численного моделирования процесса разогрева и вызванного им всплывания легкого вещества в результате андерплейтинга базитовой высокотемпературной магмы под основанием коры.

Научная новизна и личный вклад. В диссертации сформулированы постановки некоторых новых задач численного моделирования течений многофазных сжимаемых сред с учетом сил гравитации: усиления ударной волны «свободной» пузырьковой системой, динамики самогравитирующих систем и мантийных течений. Созданы оригинальные экономичные численные методы и параллельные алгоритмы решения поставленных задач. Научной новизной обладают как постановки задач, так и полученные решения. Научная новизна работы заключается в следующем: