Решения нелинейных параболических уравнений, развивающиеся в режиме с обострением.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

Кафедра вычислительных методов

На правах рукописи

Никольский Илья Михайлович

РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, РАЗВИВАЮЩИЕСЯ В РЕЖИМЕ С ОБОСТРЕНИЕМ.

05.13.18 – "Математические моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук.

Москва-2009

Работа выполнена в лаборатории математического моделирования в физике факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель:	доктор физико-математических наук Куркина Елена Сергеевна
Официальные оппоненты:	доктор физико-математических наук, профессор Малинецкий Георгий Геннадьевич кандидат физико-математических наук, доцент Свирщевский Сергей Ростиславович
Ведущая организация:	Московский физико-технический институт (государственный университет)

Защита состоится «20» мая 2009 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет ВМиК, ауд.685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМиК Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан « » _____________2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.43, доктор физико-математических наук, профессор

Захаров Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

А ктуальность темы.

В системах разной природы встречаются сверхбыстрые процессы, в которых исследуемая величина за некоторый промежуток времени возрастает на несколько порядков. Другими словами, имеет место взрывной рост исследуемой величины.

В качестве примеров можно привести быстрое сжатие вещества (коллапс) в физике, вспышки инфекционных заболеваний в эпидемиологии, некоторые процессы в химической кинетике и т.д.

Математически такие явления могут быть описаны с помощью дифференциальных уравнений, допускающих решения, растущие в режиме с обострением. Это решения, которые в конечный момент времени (момент обострения) обращаются в бесконечность на некотором множестве точек пространства. Их также называют неограниченными или взрывными (blow-up solutions в англоязычной литературе, см. [1]).

Теория режимов с обострением является интенсивно развивающейся областью математики. Об этом свидетельствует увеличивающееся число работ на эту тему.

Многие модели, в которых решения могут расти в режиме с обострением, не учитывают факторы, ограничивающие рост исследуемой функции вблизи момента обострения (конечность ресурсов и т.д.). Однако такие модели позволяют понять и изучить существенные, наиболее значимые черты исследуемой системы, которые проявляются вплоть до момента обострения.

Интерес к решениям, растущим в режиме с обострением, возник в середине XX века. В нашей стране их начали изучать в связи с исследованиями в области термоядерного горения плазмы. Большой вклад в эту работу внесли сотрудники Института прикладной математики РАН и кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ, работавшие под руководством А.А. Самарского и С.П. Курдюмова.

В основе базовой модели, изучавшейся в школе Самарского-Курдюмова, лежит уравнение нелинейной теплопроводности. В общем виде оно выглядит следующим образом:

.

(1)

Здесь – температура, – коэффициент теплопроводности, Q(u) – источник или сток тепла (в зависимости от знака функции).

При определенных условиях это уравнение описывает процессы электронной и ионной теплопроводности в плазме, адиабатическую фильтрацию газов и жидкостей в пористых средах, диффузию нейтронов и альфа-частиц; оно также возникает при математическом моделировании процессов химической кинетики, различного рода биохимических реакций, процессов роста и миграции популяций и т.д. Для моделирования разных процессов используются различные виды зависимостей и Q(u).

Весьма много внимания в литературе уделялось изучению уравнения со степенными нелинейностями:

, где , , .

(2)

Здесь , . Это уравнение имеет широкий спектр приложений. В частности, при , оно описывает термоядерное горение в плазме с электронной теплопроводностью; при , соответствует моделям автокаталитических процессов с диффузией в химических реакторах; при около 6.5 описывает процесс радиационной теплопроводности высокотемпературной плазмы в звездах. Недавно это уравнение нашло новое применение. Было показано, что оно описывает глобальную эволюцию человеческого общества. В этом случае искомая функция интерпретируется как плотность населения [2].

Доказано, что уравнение (2) имеет решения, развивающиеся в режиме с обострением (см.[1]). При определенных условиях наблюдается явление локализации тепла, возникают нестационарные диссипативные структуры – области интенсивного горения, локализованные в пространстве.

В зависимости от соотношения между параметрами и возможны три типа режимов с обострением: так называемые HS, S или LS-режимы. Они отличаются друг от друга тем, на каком множестве решения уравнения (2) обращаются в бесконечность (во всем пространстве, в замкнутой области или в одной точке). Было показано ([1]), что при имеет место локализация тепла. Выделено два типа локализации: cтрогая - когда решение остается равным нулю вне некоторого замкнутого множества; эффективная - когда множество точек пространства, в которых решение обращается в бесконечность, ограниченно.

Особенно интересным является случай LS-режима, который реализуется при . При этом соотношении параметров возможно образование не только простых, но и сложных диссипативных структур, имеющих несколько локальных максимумов. Именно этот случай рассматривается в предлагаемой работе.

В двумерном случае структуры описываются неограниченными автомодельными решениями уравнения со степенными нелинейностями вида.

,

где - автомодельная переменная. Важная роль автомодельных решений была выявлена в одномерном случае в работе [3]. Было показано, что они играют роль аттракторов, к которым по некоторой норме приближаются другие неограниченные решения уравнения (2), отвечающие произвольным начальным данным.

Функция является решением краевой задачи на собственные функции (СФ) и собственные значения для нелинейного уравнения эллиптического типа. Известно, что эта задача (которую также называют автомодельной задачей) имеет множество решений, состоящее более чем из одного элемента (т.е. решение неединственно). Функции, входящие в это множество, описывают простые и сложные диссипативные структуры, которые могут возникать в данной нелинейной среде.

Более того, в работе [4] обнаружена тесная связь рассматриваемой автомодельной задачи с уравнением Шредингера, описывающим состояния атома водорода. Нахождение всех СФ нелинейного оператора является важной проблемой современной математики.

Исследования автомодельной задачи проводились в работах [1], [5]-[11]. Хорошо изучен одномерный случай. В частности, было доказано, что существует конечное число решений автомодельной задачи на прямой. Была получена формула, по которой можно вычислить количество СФ через значения параметров и .

Двумерная задача изучена меньше. При ее исследовании обычно используют численные методы, и здесь возникают определенные трудности. Дифференциальная задача ставится на всей плоскости и необходимо так выбрать область численного интегрирования, чтобы построенное решение было достаточно мало на ее границе. Кроме того, при использовании чисто неявных разностных схем обычно применяется метод Ньютона для итераций по нелинейности. Поэтому необходимо научиться строить хорошие начальные приближения, то есть требуется заранее представлять себе форму искомого решения.

Впервые двумерные автомодельные решения были получены в работах С.П.Курдюмова, Е.С. Куркиной, А.Б. Потапова [5],[6]. Это удалось сделать благодаря предложенному А.Б. Потаповым методу сшивания решений линеаризованного уравнения и асимптотики на бесконечности. На основе этого метода были построены начальные приближения для итерационного метода, достаточно близкие к искомому решению. В этом алгоритме использовалось предположение о симметрии решения, которое оказалось весьма важным для дальнейших исследований.

Было построено два класса структур, названных и , отличающихся принципом расположения локальных максимумов. У структур из класса максимумы лежат на концентрических окружностях, поэтому приближения для них удобнее строить в цилиндрической системе координат. Максимумы СФ из класса располагаются параллельными рядами; линии, соединяющие эти максимумы, образуют прямоугольную сетку. При построении приближений для СФ из этого класса естественно использовать декартову систему координат.

В работе [7] для автомодельной задачи был впервые применен метод продолжения по параметру и проведен бифуркационный анализ автомодельных решений. В результате было построено большое количество новых СФ.

Однако структура множества двумерных СФ остается до сих пор недостаточно изученной. Весьма важным представляется нахождение всевозможных типов структур и проведение их классификации. С этой целью в настоящей работе продолжено исследование и сравнительный анализ двумерных автомодельных решений в широком диапазоне параметров. Кроме того, актуальным является проведение бифуркационного анализа и выявление различных сценариев эволюции по параметру для разных типов структур, что может лечь в основу их классификации.

Важными для приложений являются вопросы устойчивости двумерных автомодельных решений. Подробные исследования в этом направлении были выполнены только в одномерном и цилиндрически-симметричном случае [8],[9]. Изучение эволюции некоторых начальных распределений температуры на плоскости в LS-режиме проводилось в 80-х годах прошлого в работах [10], [11]. Был получен важный результат: показано, что локализация тепла и возникновение нестационарных структур имеет место и в многомерном случае. Однако тогда еще не были построены двумерные автомодельные решения, и исследование их устойчивости не могло быть проведено.

Известно, что все сложные структуры являются метастабильно устойчивыми. Это означает, что если в численном эксперименте задать одну из них в качестве начальной функции (резонансное начальное распределение), то решение может следовать автомодельному закону развития достаточно долго – почти все время существования, но распадется вблизи момента обострения. Небольшая неточность в задании СФ в качестве начального распределения температуры значительно уменьшает время ее существования и приводит к быстрому распаду структуры. В связи с этим остро стоял вопрос о возможности приложения сложных СФ для моделирования реальных процессов. Было важно показать, что сложные СФ сами могут сформироваться на начальной стадии эволюции из достаточно произвольных начальных возмущений. Другими словами, что существуют неограниченные решения уравнения (2), которые в процессе своего развития выходят на автомодельный режим, соответствующий сложной структуре.

Процесс выхода на автомодельный режим, отвечающий простой структуре с одним максимумом, также представляет интерес. Здесь возникает вопрос об изменении формы различных финитных (т.е. отличных от нуля в некоторой ограниченной области) решений при выходе на этот автомодельный режим. До сих пор было неизвестно, становятся ли они радиально-симметричными, если в начальный момент времени не обладали этим свойством.

Эволюция решений, развивающихся в режиме с обострением, включает несколько этапов. В частности, обязательно присутствуют квазистационарная стадия (медленный рост решения) и стадия взрывного роста. На примере финитных решений можно изучить редко рассматриваемые этапы, когда решение сначала уменьшается по амплитуде, его носитель увеличивается ("растекание решения"), потом происходит локализация, (носитель перестает меняться) и лишь затем решение начинает расти. Мы ставили своей целью выяснить зависимость между формой начального возмущения и длительностью этих стадий.

Отметим, что рассматриваемые режимы с обострением в уравнении (2) являются возмущениями нулевого фона. То есть среда, где протекает процесс, является "холодной", ее температура равна нулю. С другой стороны, во многих реальных задачах среда прогрета до некоторой положительной температуры. Поэтому исследование возникновения режимов с обострением и образования локализованных структур в результате сверхкритических возмущений положительного фона является интересной и важной задачей.

В связи с этим в третьей главе предлагаемой работы рассматривается уравнение типа (1) с устойчивым положительным однородным по пространству стационарным решением (играет роль фона). Это уравнение имеет как неограниченные, так и затухающие (то есть релаксирующие к фону) решения. Такие свойства достигаются за счет знакопеременности источника - он имеет вид квадратного трехчлена. Рассматриваемое уравнение может быть использовано при исследовании процесса возникновения вспышек в короне Солнца (см. [12]).

Цель работы.

1. Исследование множества двумерных автомодельных решений уравнения тепло-проводности со степенными нелинейностями . Изучение зависимости этих решений от параметров среды и .
2. Исследование устойчивости двумерных автомодельных решений. Изучение особенностей выхода на автомодельный режим с произвольных начальных возмущений в двумерном случае. Изучение стадии растекания и локализации финитных решений.
3. Исследование возможности формирования сложных структур из простых.
4. Изучение условий развития возмущений ненулевого фона в режиме с обострением в задаче Коши для уравнения . Численное исследование локализации решений.

Научная новизна работы.

• Численно исследовано множество двумерных автомодельных решений уравнения . Предложен новый способ построения начальных приближений для метода Ньютона. Построено большое число новых двумерных структур с различным числом максимумов и порядком симметрии.
• С помощью метода продолжения по параметру исследована эволюция автомодельных решений при изменении параметра . Изучены различные типы бифуркаций. В частности, подробно исследована “бифуркация поворота”, при которой структура, имеющая локальный минимум в центре симметрии, переходит в структуру с максимумом в центре. Результаты этих исследований наглядно отражены на бифуркационных диаграммах. Проведено сравнение множеств автомодельных решений при и .
• Впервые удалось систематизировать все известные автомодельные решения. В основу классификации положена архитектура решений и особенности зависимости от параметра для каждого типа структур.
• Исследована устойчивость двумерных автомодельных решений. Показано, что радиально-симметричная структура в виде цилиндрического слоя, содержащая нулевую область в центре симметрии, структурно устойчива.
• Впервые показана возможность формирования двумерных сложных структур из простых.
• Исследована эволюция финитных решений на плоскости. Показано, что форма и размеры области локализации зависят не только от параметров среды, но и от формы начального возмущения. Установлено, что наблюдается симметризация решения и выход на автомодельный режим в центральной области решения, в то время как область локализации может оставаться несимметричной.
• Впервые найдены условия взрыва и затухания возмущений ненулевого фона (пространственно-однородного стационара) в уравнении .
• С помощью метода Галактионова впервые построено семейство точных решений этого уравнения. Найдены условия, при которых решения из данного семейства развиваются в режиме с обострением. Было установлено, что неограниченные решения семейства приближаются к аналитическому решению уравнения .

Теоретическая и практическая значимость.