Математическое моделирование гемодинамики

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Мухин Сергей Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕМОДИНАМИКИ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Москва - 2008

Диссертация выполнена на кафедре вычислительных методов Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор А.П.Фаворский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н.В.Змитренко;

доктор физико-математических наук,

профессор А.М.Попов;

доктор физико-математических наук, профессор Д.Л.Ревизников

Ведущая организация - Московский физико-технический институт

Защита состоится “19“ ноября 2008г. в 15 час. 30 мин. на заседании Диссертационного совета Д.501.001.43 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Факультет ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан “ “ 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

профессор Е.В.Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Задача математического моделирования движения жидкости по системе эластичных каналов имеет широкую область научного и практического применения. Одной из таких актуальных областей является моделирование течения крови по сердечно-сосудистой системе. В настоящее время использование методов математического моделирования применительно к исследованию течения крови в сердечно-сосудистой системе – гемодинамике, - является исключительно важной и актуальной задачей, над которой работают большое количество авторов, научных коллективов и организаций. Тем не менее, несмотря на значительные усилия и очевидные успехи, задача построения общей математической модели сердечно-сосудистой системы далека от окончательного решения. Прежде всего, это связано с чрезвычайной сложностью рассматриваемой биологической системы, функционирование которой нелинейно зависит от большого количества факторов, практически от каждого элемента живого организма и эти зависимости во многом остаются не формализованными даже на физиологически описательном уровне. В таких условиях аналитические методы решения имеют очень узкую область применения и основным средством исследования реальных задач гемодинамики являются численные методы решения на ЭВМ. В данной работе предложен и практически реализован подход, который позволил провести расчет основных гемодинамических параметров в сердечно-сосудистой системе человека с учетом различных физиологических факторов.

Предмет, цель и задачи работы. В работе вся замкнутая система кровообращения или любая выделенная ее часть представляется в виде графа, состоящего из ребер и вершин. Ребра графа соответствуют отдельным крупным сосудам кровеносной системы или жгутам функционально однородных более мелких сосудов. Вершинам графа приписаны функциональные свойства либо участков ветвления кровеносных сосудов, либо мышечных тканей, либо отдельных органов живого организма. Сосуды считаются достаточно протяженными по сравнению со своими поперечными размерами (диаметром). Это допущение (в предположении постоянства температуры крови) позволяет использовать для математического описания процесса протекания крови в сосудах кровеносной системы квазиодномерное приближение, основанное на законах сохранения массы и импульса (количества движения). В дифференциальной форме эти законы принимают вид двух нестационарных по времени, пространственно одномерных дифференциальных уравнений в частных производных. Пространственная переменная представляет собой координату вдоль оси сосуда. В качестве третьего замыкающего уравнения обычно используют соотношение, связывающее площадь поперечного сечения сосуда с давлением и, быть может, с другими величинами. Именно с помощью этого уравнения, являющимся по существу уравнением состояния, учитываются присущие конкретному типу сосуда свойства, в том числе и его эластические свойства. Полная математическая модель сердечно-сосудистой системы, помимо модели, описывающей течение крови по сосудам, должна содержать и модель участков сопряжения (бифуркации) сосудов. На гемодинамические течения непосредственное влияние оказывают различные, связанные с кровеносной системой, органы, такие как сердце, ткани, почки и т.п., поэтому модели этих органов также должны присутствовать в общей постановке задачи.

Целью работы являлось построение системы иерархических моделей гемодинамики, создание вычислительных и программных средств, позволяющих осуществлять вычислительный эксперимент для изучения задач течения крови в сердечно-сосудистой системе с возможностью учета различных дополнительных процессов.

Научная новизна, основные результаты. В диссертации впервые получены следующие основные результаты:

1. Предложена последовательность усложняющихся нелокальных иерархических математических моделей сердечно-сосудистой системы, включающей в себя главные сосуды (аорта, артерии, артерилы, вены и т.д.), основные органы (сердце, почки, желудочно-кишечный тракт и т.п.) и основные группы мышц.
2. Разработана методика численного решения квазиодномерных уравнений гемодинамики на графе сосудов произвольной конфигурации с учетом нелокальных распределенных взаимодействий с сопряженными органами.
3. Создан программный комплекс CVSS, позволяющий проводить вычислительные эксперименты в диалоговом режиме на графе сосудов произвольной конфигурации с использованием моделей для описания сосудов и органов из расширяемого списка. Создан вариант банка данных параметров сосудов, необходимых для математического моделирования гемодинамики.
4. На основе разработанных нелокальных моделей работы сердца, почки и ряда других функциональных элементов сердечно-сосудистой системы методами математического моделирования воспроизведено влияние этих органов на кровообращение в целом.
5. Построена математическая модель кровообращения головного мозга, с помощью которой на основе конкретных клинических данных проведено численное исследование кровоснабжения тканей головного мозга в норме и патологии в практически важных случаях.
6. Построены распределенные математические модели барорецепторной нейрорегуляции и численно воспроизведено влияние нейрорегуляции как тонуса сосудов, так и сердечной регуляции (по отдельности и в совокупности) на артериальное давление.

Достоверность результатов диссертации. Достоверность базируется

на использовании вычислительных алгоритмов, оттестированных на аналитических решениях, применении для моделирования двух различных численных методов и сравнении результатов численных расчетов с известными физиологическими фактами.

Практическое значение полученных результатов. Работа носит фундаментально-прикладной характер. Ее результаты могут быть использованы как в дальнейших исследованиях по математическому моделированию сердечно-сосудистой системы человека, так и в области решения задач практической медицины.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её части докладывались: на научных семинарах кафедры вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова; в Институте прикладной математики имени М.В.Келдыша РАН на научном семинаре под руководством члена-корреспондента РАН Ю.П.Поповым,; на V национальной конференции по медицинской физике и инженерии «Медицинская физика - 2001», Москва, 2001г; на Международной Российско-Японской рабочей встрече по актуальным проблемам вычислительной механики, Санкт-Петербург, 2002г; на Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2002г; на III съезде нейрохирургов России, Санкт-Петербург, 2002г; на Тихоновских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2003г; на Международной Российско-Индийской рабочей встрече по высоко производительным вычислениям в науке и индустрии, Москва, 2003г; на Третьей всероссийской с международным участием школе-конференции по физиологии кровообращения, Москва, 2004г; на X научной конференции Современные проблемы вычислительной математики и математической физики, Москва, 2004г; на Четвертой всероссийской с международным участием школе-конференции по физиологии кровообращения, Москва, 2008г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 31 работе, из них 11 работ - в ведущих математических журналах (Дифференциальные уравнения, Математическое моделирование) и рецензируемых сборниках. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, содержит 79 рисунков, 11 таблиц. Библиография насчитывает 145 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, формулируются цели работы.

Первая глава состоит из двух параграфов и посвящена описанию течения крови в одном сосуде, получению и исследованию уравнений гемодинамики в квазиодномерном приближении. В первом параграфе получены уравнения неразрывности и движения для осесимметрического одномерного течения вязкой несжимаемой жидкости в сосуде кругового сечения, переменного как вдоль оси сосуда, так и по времени (ось сосуда совпадает с пространственной координатной осью):

, ,

,

.

где L- длинна сосуда. Здесь - координата вдоль оси сосуда, -время, S(x,t)-площадь сечения сосуда, u(x,t) - скорость движения крови вдоль оси сосуда, p(x,t)- давление, - плотность крови, - объемная плотность внешних сил.

Рассматривается уравнение состояния , которое, в случае квазиодномерного описания течения, связывает значения площади сечения сосуда и давления и отражает индивидуальные особенности рассматриваемого сосуда. Характерный вид уравнения показан на рис.1.

Рис.1

Существенной особенностью рассматриваемой зависимости является выполнение условий

при и при .

Приведено описание внешних сил – трения и тяжести. Силы трения с учетом квазиодномерности течения получена на основе стационарного решения Пуазейля и равна

,

где -сила сопротивления, действующая на жидкость в трубе единичной длины, - коэффициент кинематической вязкости, - коэффициент динамической вязкости.

Во втором параграфе обсуждаются свойства уравнений гемодинамики. Показана гиперболичность уравнений при определенных требованиях, накладываемых на уравнение состояния. Вводится величина скорости распространения малых возмущений, рассматриваются характеристики, параметры Римана. Получены аналоги соотношений Гюгонио для разрывных решений. Построены как стационарные так и нестационарные решения для простейших уравнений состояния. Исследованы особенности стационарных вязких течений в сосуде с нелинейным уравнением состоянии. Показано, что в зависимости от краевых условий и параметров уравнения состояния возможен эффект «запирания» течения в сосуде. Найдено нелинейное уравнение состояния, для которого получено в явном виде и исследовано аналитическое стационарное решение уравнений гемодинамики с учетом трения.

Вторая глава состоит из трех параграфов и посвящена формализации математического описания сети сосудов и записи уравнений гемодинамики на произвольном графе эластичных сосудов. В первом параграфе рассматривается формально-математическое описание топологии сосудов, образующих граф сердечно-сосудистой системы, вводятся понятия внутренних и граничных вершин, записана система квазиодномерных уравнений гемодинамики на каждом сосуде. Во втором параграфе рассматривается задание краевых условий в граничных точках. Краевые условия для системы гемодинамических уравнений на ребре, одна из границ которой представляет собой внутреннюю вершину, являются условиями сопряжения для соседних ребер графа. Выделяются внутренние вершины, соответствующие узлам бифуркации (ветвления) сосудов. Пусть в вершине ветвления k соединяются ребра , и - граничные значения скорости, давления и сечения в этой вершине, соответствующие ребру , - мощность источника или стока вещества в вершине. В такой вершине предлагается в качестве граничных условий задавать условия сохранения массы (или, в силу несжимаемости, объема)

и условия сохранения давления или интеграла Бернулли

.

Здесь принимает значение 1 или -1 в зависимости от направления локальной оси координат на рассматриваемом ребре.

Условия в вершине, сопоставляемой мышечным тканям, предложено, в первом приближении, описывать с помощью закона фильтрации Дарси, эффективно описывающим падение давления за счет сопротивления капиллярной сети (также с учетом возможного стока или поступления крови). Рассмотрен вопрос о замене жгутов однородных мелких прекапиллярных сосудов одним эквивалентным (эффективным) сосудом, сохраняющим перепад давления и объем крови и приведена оценка параметров для построения такого сосуда. В третьем параграфе рассматриваются уравнения, описывающие перенос растворенных к крови веществ. Уравнения записываются для массовых концентраций веществ в бездиффузионном и диффузионном приближениях с учетом сорбции и химических реакций. Предлагается способ задания граничных условий на концах каждого сосуда, т.е. задание условий сопряжения потоков веществ на графе сосудов. Построена модель прохождения веществ через сердце, что обеспечивает возможность расчетов на замкнутом графе.

В третьей главе, состоящей из четырех параграфов, рассматривается алгоритм численного решения системы уравнений гемодинамики на графе, описывается программный комплекс и его возможности. Первый параграф посвящен построению разностных схем для системы уравнений гемодинамики в одном сосуде. Уравнения гемодинамики аппроксимируются на неравномерной по времени и пространству разностной сетке семейством неявных разностных схем с центральными разностями и искусственной вязкостью в обоих уравнениях. В граничных узлах сетки, помимо краевых условий, используются соотношения на характеристиках.

Во втором параграфе получен алгоритм решения предложенных разностных схем уже на всем графе сосудов. Рассматривается система нелинейных уравнений, состоящая из разностных схем на каждом сосуде, уравнений сопряжения в вершинах графа, уравнений, описывающих отдельные органы. Данная система решается итерационным методом Ньютона (система линеаризованных уравнений решается прямым методом – модифицированным методом Холецкого). Приведены линеаризованные разностные уравнения и уравнения сопряжений.

В третьем параграфе проводится исследование свойств вычислительного алгоритма, возможности повышения его точности, а также обсуждаются способы контроля достоверности численных решений. Первый пункт посвящен исследованию свойств рассматриваемых разностных схем для уравнений гемодинамики на одном сосуде на основе метода дифференциального приближения. На основе П-формы второго дифференциального приближения разностной схемы получен вид членов с искусственной дисперсией для расчета быстроменяющихся решений. Проведено численное исследование влияния параметров разностной схемы на решение. Показана эффективность выбранной разностной схемы для воспроизведения характерных решений уравнений гемодинамики.

Во втором пункте данного параграфа предложена осредненная нелинейная модель гемодинамики в квазиодномерном приближении. Она получается путем сведения исходной системы уравнений гемодинамики в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, основываясь на априорно заданных типах пространственных профилей функций (в простейшем случае - линейном). Такая упрощенная модель гемодинамики строится на отдельных участках сосуда, на всем сосуде и на графе сосудов в целом, и на этой основе представлен вычислительный алгоритм решения задач гемодинамики. И данный алгоритм, и представленная выше разностная схема использовались в работе при проведении основных расчетов для повышения надежности численных результатов.

В четвертом параграфе приводится описание программного комплекса, реализующего численное решение уравнений гемодинамики на графе. Целью способа организации вычислительного алгоритма и вычислительного комплекса являлся программный продукт, позволяющий простым образом в интерактивном режиме:

- задавать граф сосудов произвольной сложности;

- задавать параметры сосудов графа, как по отдельности, так и групповым образом;

- выбирать модели для описания сосудов и органов из расширяемого списка и задавать их параметры;

- выбирать метод расчета и его параметры;

- осуществлять контроль за корректностью и непротиворечивостью задания начальных данных, как физиологических, так и вычислительных;

- отображать в ходе расчета необходимую информацию численным или графическим путем, как локальную (в любом точке рассматриваемого графа) так и интегральную, записывать численные данные для дальнейшей обработки;

- в режиме текущего расчета изменять топологию графа, параметры моделей и алгоритма;

- обрабатывать результаты численного расчета после окончания или прерывания данной сессии моделирования;

- реализовать расширяемость комплекса за счет включения новых моделей и процессов.

Перечисленные задачи были реализованы в разработанном программном комплексе CVSS.