Исследование робастного поведения интервальных систем управления

1. На правах рукописи

ИССЛЕДОВАНИЕ РОБАСТНОГО ПОВЕДЕНИЯ

ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 – системный анализ,

управление и обработка информации

(промышленность)

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Зеленков Г.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дружинина О.В.,

кандидат физико-математических наук,

доцент Мартынов В.В.

Ведущая организация: Центральный экономико-

математический институт РАН

Защита диссертации состоится 6 мая 2010 г. в 16 часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д002.017.03 при Учреждении Российской академии наук Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40 в конференц-зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН.

Автореферат разослан « » 2010 г.

Ученый секретарь совета по защите докторских

и кандидатских диссертаций

к. ф.-м.н. Мухин А.В.

Актуальность темы. Учет неопределенности при моделировании систем управления всегда являлся одной из основных задач. Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная) была предложена в работах А.П. Лурье (1951), М.А. Айзермана (1961), Ф.Р. Гантмахера (1967). Работы этих лет нашли применение в задачах промышленной пневмоавтоматики, и других задачах управления машинами и механизмами. Модели параметрической неопределенности в линейных системах появились позднее. Их систематическое изучение начал И. Горовиц (1970). Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью неизвестных, но ограниченных возмущений. Большой вклад в это направление внесли А.Б. Куржанский и Ф. Л. Черноусько. Модели частотной неопределенности интенсивно разрабатывались в 1980 гг., вероятностный подход к робастности получил большое развитие с 90-х годов прошлого века.

Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов впервые подробно рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили Л. Заде и Ч. Дезоер. Затем В.Л. Харитонов доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов, что являлось большим продвижением в этой области (1978). Далее в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную теорему – полученную в 1988 г. (A.C. Bartlett, C.V. Hollot, H. Lin) и графический критерий робастной устойчивости полиномов доказанный – в 1990 г. (Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин).

Главными задачами робастной устойчивости, с одной стороны, являлось определение границ устойчивости в пространстве параметров системы первого приближения (И.А. Вышнеградский), а с другой, получение оценок области асимптотической устойчивости расчетных режимов исходных систем.

Исследование устойчивости систем управления при наличии неопределенности в пространстве параметров (робастная теория) является очень нужным и актуальным направлением научных исследований, т.к. позволяет, на этапе проектирования, определить, является ли устойчивым весь класс рассматриваемых систем. Это позволяет обеспечить безопасное функционирование управляемого объекта, несмотря на то, что в процессе изготовления и эксплуатации его параметры хотя и могут отличаться от расчетных, но гарантировано будут отвечать устойчивому поведению этого объекта, т.к. они принадлежат области робастной устойчивости. Заметим, что разработка методов решения задач робастной устойчивости, является достаточно сложной проблемой. Например: устойчивость всех вершинных и реберных матриц семейства не обеспечивает робастной устойчивости всего этого семейства и, поэтому на практике, усилия инженеров и конструкторов направлены на решение конкретных задач.

Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) включают в себя как известные подходы, например, теорию возмущений, так и новые: -анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).

Созданию и разработке методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков, А.С. Немировский, Ю.П. Петров, М.Г. Сафонов, Н.В. Зубов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др. Эти работы в разное время находили применение в различных задачах начиная с промышленного машиностроения, исследования динамики паровых котлов, конструирования систем управления подвижными объектами, заканчивая задачами управления ядерными, химическими и биологическими реакторами, роботами, а также нефтяной и газовой промышленности последних лет.

Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления на сегодняшний день обусловлена современными потребностями науки и техники. В практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и других сферах робастная устойчивость является одним из ключевых факторов гарантирующих применимость моделей и надежность работы спроектированных систем. Фактически результаты, полученные в теории робастной устойчивости, позволяют обеспечивать динамическую безопасность управляемых систем на этапе их конструирования и эксплуатации.

Исследования робастной неустойчивости позволяют дать дополнительную информацию о поведении робастно устойчивых систем, особенно, что важно, в пограничных режимах. Исследование робастно неустойчивых режимов формирует теоретическую базу для формирования быстродействующих и экономичных регуляторов, которые позволяют быстро и с минимальными энергетическими и временными затратами изменять параметры системы. Результаты исследований дают эффективные решения нерешенных инженерных задач. Вопросами робастной неустойчивости с 2002 года занимаются Н. В. Зубов и его ученики.

Диссертационная работа является продолжением этих исследований и посвящена развитию наиболее конструктивных аналитических методов и алгоритмов анализа робастной устойчивости и неустойчивости систем управления по первому приближению в пространстве коэффициентов их характеристических полиномов. Причем исследование проведено и получены новые результаты для интервальных полиномов, где не было существенного продвижения вплоть до 2002 года. Исследование проводится с единых позиций – анализа робастного поведения интервальных полиномов, при этом робастная устойчивость этих семейств рассматривается как частный случай робастной неустойчивости.

Целью диссертационного исследования является развитие аналитических и вычислительных методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости характеристических полиномов систем управления по первому приближению с интервальным описанием неопределенности.

Областью исследования являются теоретические основы и прикладные методы анализа робастной устойчивости и неустойчивости управляемых динамических систем рассматриваемых в первом приближении.

Методы исследований. В работе применяются как классические методы теории устойчивости (при точном описании систем управления), так и методы робастной теории устойчивости (при неопределенности в описании этих систем). Кроме того, используются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, алгебры, математического анализа и математического программирования.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, основаны на классических достижениях в теории устойчивости, робастной теории и новейших результатов по неустойчивости, корректности поставленных задач. Все доказательства утверждений являются строгими и основаны на выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, теория функций и функциональный анализ, дифференциальные уравнения, алгебра, выпуклый анализ, теория матриц.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в комплексном исследовании робастной устойчивости и неустойчивости линейных систем управления с интервальным описанием неопределенности их характеристических полиномов. Результатом этого подхода стало создание новых и развитие наиболее известных критериев робастного поведения непрерывных и дискретных систем в пространстве коэффициентов характеристического полинома. Разработаны критерии и процедуры, расширяющие область неопределенности исходного интервального семейства при сохранении принадлежности определенному классу неустойчивости. Эти подходы являются продвижением в развитии методов исследования робастной устойчивости и робастной неустойчивости нелинейных систем по первому приближению, что позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исходной системы от расчетных, при которых система остается устойчивой или остается неустойчивой. Фактически, разработанные методы исследования робастной неустойчивости позволяют проводить исследование робастной устойчивости, как частного случая робастной неустойчивости.

До сих пор в научных исследованиях и инженерной практике избегали объектов с неустойчивыми режимами эксплуатации. Поэтому в теории эти случаи рассматривались достаточно редко. Развитие техники и новых технологий показали, что явление неустойчивости не является только пограничным явлением устойчивых режимов, а как показали математические исследования, становится преобладающим с ростом размерности систем. В некоторых случаях это явление может становиться полезным.

Практическая значимость. На основе результатов диссертации созданы новые эффективные критерии исследования робастной устойчивости и неустойчивости нелинейных систем по первому приближению, позволяющие проводить анализ робастного поведения динамических систем для интервального типа неопределенности в пространстве коэффициентов их характеристических полиномов. Причем, эти результаты обобщены и на комплексный случай. Комплекс критериев и условий, а также разработанных на их основе алгоритмов позволяет исследовать и решать проблему динамической безопасности объектов системно, т.е. исследовать не только границы изменения параметров сохраняющих устойчивость, но и совокупность параметров оставляющих систему неустойчивой. Полученные автором новые критерии позволят разрабатывать более эффективные системы управления, что даст возможность снизить затраты ресурсов, средств и времени на разработку современных систем. Исследования классов неустойчивости имеет широкое применение при синтезе систем управления, а также является продвижением в решении вопроса близости устойчивых и неустойчивых режимов. Результаты работы использованы для разработки новых спецкурсов по теории устойчивости в условиях неопределенности и чтении общих курсов, таких как дифференциальные уравнения, теория управления и методы численного анализа.

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-исследовательской работе, проводящейся в КубГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова, при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивости динамических систем» на факультете прикладной математики КубГУ. По результатам диссертации планируется издание двух учебных пособий и монографии.

Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию вошли результаты, которые получены лично автором, а также разработанные в соавторстве. Все результаты других авторов, упомянутых в диссертации, носят справочный характер и имеют соответствующие обозначения. Основные работы по теме диссертации [1-12] выполнены на паритетной основе, суммарный личный вклад автора в данных публикациях составляет 1,46 п.л. и 3,5 с. Автор принимал участие в совместной постановке задач, анализе и интерпретации результатов исследований, непосредственно автором были проведены компьютерные моделирования, аналитические вычисления и численные эксперименты.

Апробация работы. По результатам работы автором были сделаны доклады на 12-ти международных, 4-х всероссийских и 2-х региональных конференциях, проходивших в Дубне, Киеве, Минске, Москве, Новороссийске, Обнинске, Пущино, Ростове-на-Дону, Самаре, Суздале, Чебоксарах. Результаты также обсуждались на научных семинарах в Вычислительном центре имени А.А. Дородницына РАН, Институте системного анализа РАН, а так же на семинарах КубГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 научных работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы состоят из параграфов. В каждой главе используется своя автономная нумерация формул, теорем и определений. Объем диссертации 147 страниц. Список литературы содержит 120 наименований. Приложение 39 страниц.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

• Новые, более эффективные модификации методов исследования устойчивости и неустойчивости различных систем управления, позволяющие исследовать более широкий класс этих систем.
• Улучшенный графический критерий исследования робастной устойчивости систем управления Цыпкина-Поляка в плане снятия ранее присутствовавших в нем ограничений. Он распространен на неустойчивые системы управления.
• Новая методика исследования характеристик робастной устойчивости или неустойчивости интервальной системы управления методом допустимых линейных преобразований, преобразующих ее в интервальную или выпуклую систему с сохранением инварианта принадлежности одному классу неустойчивости.
• Алгоритмы для новых модификаций методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости, а также пакет программ, реализующий эти алгоритмы, и включающий эффективные алгоритмы построения минимального полинома.

Краткое содержание диссертационной работы.

Во введении приведена общая характеристика диссертации, обоснованы актуальность темы исследования, достоверность, научная новизна и практическая значимость результатов, полученных в работе.

Промышленные объекты управления имеют соответствующие математические модели, описывающие их статические и динамические характеристики. Теория автоматического управления, изучающая процессы автоматического управления объектами разной природы применяется для выявления свойств систем автоматического управления при помощи математических средств и разрабатываются рекомендации по их проектированию.

Рассмотрим различные формы задания линейных управляемых систем и нелинейных систем по первому приближению. А также переход к исследованию их устойчивости и неустойчивости с помощью характеристических полиномов в этих формах.

Задание в пространстве состояний.

Линейная стационарная непрерывная управляемая система в пространстве состояний описывается векторным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением:

где – вектор называемый состоянием системы, – управление, – выход системы, – входные сигналы (внешние возмущения) или задающие воздействия. Матрицы .

Аналогичные дискретные системы описываются разностными уравнениями:

где k играет роль времени, и может обозначать номер итерации в итерационном процессе или время, в процессах связанных с цифровым управлением. Характеристический полином матрицы А имеет вид , где E – единичная матрица.

В непрерывном одномерном случае (широко применяемом на практике) система может быть записана в виде:

.

В этом случае характеристический полином имеет вид:

.

Далее будем понимать под интервальной системой управления систему первого приближения, характеристический полином которой будет иметь интервальные ограничения на коэффициенты.

Задание с помощью передаточных функций.

Многомерная система может быть описана с помощью передаточных функций:

где матричная функция комплексной переменной s называется передаточной функцией от управления u к выходу y, а аналогичная функция называется передаточной функцией от возмущения w к выходу y. Элементами матриц H(s) являются дробно-рациональные функции, имеющие общий знаменатель – характеристический полином матрицы A.

В рассмотренных случаях исследование устойчивости и неустойчивости системы можно свести к исследованию устойчивости и неустойчивости полинома .

В первой главе сделан анализ основных методов исследования устойчивости характеристических полиномов линейных стационарных систем управления и нелинейных систем по первому приближению с целью их использования для выяснения характера неустойчивости этих систем, различая их по числу собственных чисел матрицы системы лежащих в правой и левой полуплоскости и рассмотрен ряд теорем, дающих необходимые и достаточные условия принадлежности рассматриваемых систем определенному классу неустойчивости, причем аналогичные критерии для устойчивых систем, непосредственно следуют из приведенных теорем (критерии Михайлова, Найквиста и т.д.).

Примером реализации на практике свойства устойчивости является сохранение работоспособности управляемой системы при наличии отклонений в начальных данных.

Определение 1. Полином степени с вещественными или комплексными коэффициентами, не имеющий нулевых и чисто мнимых корней

принадлежит классу -эквивалентности, если его корней, с учетом их кратности, лежат в правой полуплоскости. Такие полиномы при называют устойчивыми (полиномы Гурвица).