Математические модели и методы отыскания квазиэффективных портфелей в условиях неопределенности комбинированного типа

На правах рукописи

ШЕФОВА Наталья Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ КВАЗИЭФФЕКТИВНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ КОМБИНИРОВАННОГО ТИПА

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Тверь – 2012

Работа выполнена на кафедре информационных технологий факультета прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета.

Научный руководитель -	доктор физико-математических наук, профессор Язенин А.В.
Официальные оппоненты -	доктор технических наук, кандидат физико-математических наук, профессор Рыжов А.П. доктор физико-математических наук, доцент Соломаха Г.М.
Ведущая организация -	Вычислительный центр РАН им. А.А.Дородницына, г. Москва.

Защита состоится «16» ноября 2012 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170100, г. Тверь, Садовый переулок, 35, ауд.200.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского, 44а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы __ _______2012 года на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http://university.tversu.ru/aspirants/abstracts/ .

Автореферат разослан __ ___________2012 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. На фоне стремительного развития экономики и постоянно повышающегося интереса к фондовому рынку особую актуальность приобрела проблема оптимизации фондовых портфелей и прогнозирования фондовых индексов. В условиях участившихся кризисов, принесших за последние два десятилетия миллиарды убытков инвесторам по всему миру, появилась необходимость в ревизии существующих методов фондового менеджмента и последующей модернизации моделей и методов портфельной оптимизации.

Задача выбора оптимальной структуры портфеля ценных бумаг была впервые комплексно изучена Г. Марковицем в 1952 году. Предложенная им методика и модель портфельной оптимизации, основанные на понятии ожидаемой доходности и риска ценных бумаг, стала ядром исследований и основой развития современной теории принятия инвестиционных решений.

Однако на фондовый рынок оказывает влияние не только внешняя среда, но и экспертные прогнозы, что совместно с ограниченной способностью инвестора распознавать и прогнозировать состояния фондового рынка, порождает фактор субъективной неопределенности. В результате рыночная неопределенность не обладает только классически понимаемой стохастической природой и носит комбинированный (гибридный) характер, а это ставит под сомнение возможность применения чисто классических методов теории вероятностей при построении инвестиционного портфеля.

В итоге, инвестор, отказываясь от классического вероятностного подхода, вынужден применять для анализа и прогнозирования состояния рыночной среды экспертные, минимаксные и другие детерминистские подходы, которые не в состоянии учитывать неопределенность фондовых рынков надлежащим образом.

Использование достижений теории нечетких множеств и теории возможностей в экономических исследованиях открыло новые горизонты для развития моделей и методов оптимизации инвестиционных портфелей ценных бумаг и прогнозирования фондовых индексов. Это позволяет более адекватно учитывать при моделировании неопределенности присущие знаниям эксперта проблемы и строить множества квазиэффективных (эффективных с заданной возможностью/необходимостью и вероятностью) оценок инвестиционных возможностей.

Для широкого применения данного подхода необходимо дальнейшее развитие моделей, позволяющих комбинированный (гибридный) типы неопределенности, обоснование соответствующих принципов принятия решений и методов оптимизации. Более того, на сегодняшний день существует необходимость создания соответствующего программного обеспечения.

Ввиду этого диссертационная работа, направленная на решение описанной проблемы является актуальной.

Цель работы. Исследование и развитие математического аппарата обработки нечеткой случайной информации в контексте портфельной теории, разработка моделей и методов возможностно-вероятностной оптимизации, ориентированных на поддержку принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности комбинированного (гибридного) типа.

Основные задачи. Для достижения целей диссертационной работы решаются следующие задачи:

1. разработка исчисления характеристик нечетких случайных величин с учетом сдвиг-масштабной экспликации неопределенности комбинированного типа;
2. теоретическое обоснование и построение обобщённых возможностно-вероятностных моделей портфеля минимального риска при ограничении по возможности и вероятности на уровень ожидаемой доходности;
3. разработка непрямых методов решения сформулированных задач возможностно-вероятностной оптимизации;
4. исследование влияния взаимосвязи между нечеткими случайными переменными на степень диверсификации портфеля;
5. обоснование влияния уровня возможности и вероятности на множество инвестиционных возможностей участников рынка;
6. разработка архитектуры и реализация программного комплекса поддержки принятия решений для задач портфельной оптимизации в рамках возможностно-вероятностного подхода.

Методы исследований. Для формализованного описания проблемы принятия решений в нечеткой случайной среде используется математический аппарат современной теории возможностей, нечеткой случайной переменной и теории вероятностей. Построение эквивалентных детерминированных аналогов поставленных задач базируется на методах возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют современная портфельная теория и базовые принципы принятия инвестиционных решений. Разработка программного комплекса выполнена на языке высокого уровня Borland Delphi.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми:

1. получены формулы для исчисления характеристик нечетких случайных величин с учетом разделения нечеткого и случайного факторов, что позволяет расширить круг исследуемых задач и учитывать влияние гибридной неопределенности на множество инвестиционных возможностей;
2. построена модель портфеля минимального риска в нечёткой случайной среде при ограничении по возможности и вероятности на уровень доходности;
3. разработан непрямой метод решения задач портфельной оптимизации, позволяющий получить эквивалентные детерминированные аналоги задач в возможностно-вероятностном контексте;
4. исследовано влияния взаимосвязи между нечеткими случайными переменными на степень диверсификации портфеля;
5. обосновано влияние уровней возможности и вероятности на множество инвестиционных возможностей участников рынка.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации модели принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности комбинированного типа дополняют современную теорию портфельного анализа. Представленное в работе исследование влияния параметров модели на множество инвестиционных возможностей позволяет проводить сравнительное изучение разработанных моделей и методов принятия решений при различных уровнях возможности и вероятности. Полученные в работе методы могут быть использованы для «интеллектуального» анализа фондовых индексов. Разработанная на базе диссертационного исследования система поддержки принятия решений может быть применена для практического решения задач портфельного анализа в режиме реального времени.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты:

1. исчисление нечетких случайных величин, ориентированное на решение задач портфельного анализа;
2. математическая модель портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности;
3. непрямой метод решения портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности;
4. исследование возможностей диверсификации портфеля в условиях нечетких случайных данных на примере двумерного портфеля;
5. исследование инвестиционных возможностей и поведения критериев оценки портфеля в зависимости от уровня возможности и вероятности;
6. программный комплекс поддержки моделей и методов портфельного анализа.

Внедрение результатов работы. Проведенные научные исследования поддержаны грантом РФФИ: проект №10-01-00052a «Модели и методы оптимизации и принятия решений при гибридной неопределенности» и проектом №01201168129 «Разработка математических моделей и методов возможностно-вероятностного программирования и их реализация в прикладных программных системах». Результаты диссертации внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета. Кроме того, с целью овладения практическими навыками анализа и оценки информации в условиях неопределенности комбинированного типа на базе теоретических знаний, получаемых в рамках курсов «Теория неопределенностей» и «Неклассические логики» разработаны «Методические рекомендации по использованию программного комплекса поддержки моделей и методов принятия инвестиционных решений в условиях гибридной неопределенности».

Апробация работы. Основные результаты исследования были представлены на 17-м Международном коллоквиуме (Zittau East-West Fuzzy Colloquium 2010, Циттау, Германия), конференции с международным участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, 2010), международной научно-практической конференции «Факторы развития экономики России» (Тверь, 2011), а также на семинарах в Тверском государственном университете.

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, приведенных в конце автореферата, две из которых опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и изложена на 159 страницах. Список литературы содержит 114 наименований, включая работы автора.

Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи исследования, проводится обзор литературы и осуществляется краткое изложение основных положений и результатов диссертационной работы.

В первой главе подготавливается и систематизируется необходимый математический аппарат теории возможностей, формулируются базовые определения и теоремы, составляющие теоретическую основу дальнейших исследований.

В разделе 1.1 вводятся понятия нечетких величин, проводится обзор методов агрегирования и обработки нечеткой информации, описываются наиболее значимые для практических исследований классы параметризованных распределений.

Рассмотрим основные понятия, которые потребуются нам в дальнейшем.

Пусть есть возможностное пространство. Здесь - множество всех подмножеств , - возможностная мера, - двойственная ей мера необходимости, - числовая прямая.

Определение 1.5. Возможностной (нечеткой) величиной (переменной) называется отображение . Распределение возможных значений величины описывается функцией , определяемой по правилу

,

где есть возможность того, что нечеткая величина может принять значение .

Возможностная величина называется выпуклой, если ее распределение является квазивогнутым, то есть для любых , мы имеем .

Приведем понятие минисвязанных возможностных величин.

Функция распределения совокупности возможностных величин определяется следующим образом:

,

где - -мерное евклидово пространство.

Определение 1.9. Возможностные величины называются взаимно минисвязанными, если для любого подмножества множества

.

Здесь есть одномерные функции распределения возможностей.

Следующая теорема определяет бинарные операции над минисвязанными возможностными величинами.

Теорема 1.3. Пусть есть множество арифметических операций , , - минисвязанные возможностные величины, определенные на возможностном пространстве , тогда возможностная величина , где , определяется функцией распределения , где , есть соответственно взятие минимума и максимума на отрезке .

Для работы с нечеткой информацией важным является понятие -уровневого множества возможностной величины.

Определение 1.10. Множеством -уровня возможностной величины называется множество .

На практике для моделирования нечетких величин, как правило, используются распределения - типа

Определение 1.15. Нечеткая величина называется величиной - типа, если ее распределение имеет вид:

Здесь , имеют смысл границ интервала толерантности нечеткой величины , а , есть левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно. Тогда нечеткая величина может быть обозначена следующим образом .

В разделе 1.2 приводится понятие нечеткой случайной величины, описываются основные свойства и характеристики нечетких случайных величин.

Пусть есть вероятностное пространство.

Определение 1.16. Нечеткая случайная величина (переменная) есть вещественная функция , такая, что при любом фиксированном , величина является случайной величиной, определенной на .

Распределение нечеткой случайной величины можно рассматривать также, как и в случае нечеткой величины, а именно:

.

Определение 1.17. – уровневым множеством нечеткой случайной величины при фиксированном называется множество

.

При этом границы определенного –уровневого множества являются случайными величинами: , .

Определение 1.18. Математическое ожидание нечеткой случайной величины есть нечеткая величина, такая что

.

Определение 1.19. Ковариация нечетких случайных величин и определяется следующим образом:

.

Определение 1.20. Дисперсия нечеткой случайной величины определяется следующим образом: .

При практической работе с нечеткими случайными величинами ключевой задачей является экспликация комбинированного вида неопределенности, а именно, выделение нечеткой и случайной составляющей рассматриваемой величины. В разделе 1.3 проводится исследование модели нечеткой случайной величины, имеющей сдвиг-масштабное представление, разрабатываются формулы для оценки основных характеристик нечетких случайных величин с учетом разделения нечеткой и случайностной составляющей, осуществляется конкретизация формул для триангулярного класса возможностных распределений. Получены следующие результаты.

Лемма 1.4. Пусть , где , - случайные величины с математическими ожиданиями , и дисперсиями , соответственно, и являются некоррелированными случайными величинами, – нечеткая величина. Тогда является нечеткой случайной величиной и имеет матема-тическое ожидание и дисперсию с возможностью .

Лемма 1.5. Пусть , где , - случайные величины с математическими ожиданиями , и дисперсиями , соответственно, , , – минисвязанные нечеткие величины. Тогда ковариация случайных величин и с возможностью исчисляется по формуле: