Задача управления устойчивостью гироскопических систем стабилизации

На правах рукописи

Корнеев Вячеслав Владимирович

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТЬЮ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ

Специальность 05.13.01 – Системный анализ, управление, обработка информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

Работа выполнена в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Гурченков Анатолий Андреевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Дикусар Василий Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Костиков Юрий Александрович

Ведущая организация:

Институт системного анализа РАН

Защита состоится «20» декабря 2007 г. в 16 час 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.017.03 при вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д.40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ им. А.А. Дородницына РАН.

Автореферат разослан ___________________ 2007 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Кандидат физико-математических наук Мухин А.В.

Общая характеристика работы

Задачи управления вращающимися твердыми телами с полостями, содержащими жидкость, относятся к слабо изученным проблемам.

При решении задач управления различного рода техническими объектами одним из важных является вопрос об устойчивости управляемого движения. Стабилизация заданного режима работы управляемого объекта осуществляется путем удержания движений рассматриваемого объекта в некоторой достаточно малой окрестности заданного режима, а также при асимптотическом приближении этих движений к заданному режиму.

Одной из важных задач в этой связи является разработка математической модели, выбор вида и характера управляющего воздействия, получение зависимостей для параметров системы от управляющего воздействия.

В представленной работе рассматривается объект регулирования, который представляет собой твердое тело с полостями частично или полностью заполненными жидкостью, что представляет интерес как с практической, так и с теоретической точки зрения применительно к таким задачам, как изучение динамики шара, заполненного жидкостью, при угловой стабилизации жидкостных ракет.

В работе найдена аналитическая зависимость угловой скорости возмущенного движения от момента внешних сил для вращающегося твердого тела с полостью, целиком заполненной как идеальной, так и вязкой жидкостью. Внешний момент рассматривается как управляющее воздействие. Таким образом, появляется возможность анализа различных постановок задач оптимального управления. Для таких задач применяется аппарат оптимального управления и удается либо получить аналитические решения, либо предложить эффективный численный метод и продемонстрировать результаты соответствующими вычислениями.

Актуальность темы

Задачи стабилизации и управления движением ротора с полостью, содержащей жидкость, являются важными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Они возникают и при изучении движения самолетов, кораблей, и спутников, где запас жидкого топлива, имеющийся на борту, оказывает существенное влияние на движение этих аппаратов.

Рассматриваемые вопросы находят свое применение при изучении динамики космических аппаратов с запасами топлива. Они равномерно закручиваются на орбите вокруг некоторой оси для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей.

Эти задачи актуальны также при проектировании быстровращающихся роторов, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью.

С теоретической точки зрения данные задачи важны прежде всего тем, что они относятся к сложным задачам механики, и всякий раз требуют для своего решения новые подходы и методы.

В данной работе предложена методика для решения задач оптимального управления в применении к вращающимся телам, наполненным жидкостью.

Цель и задачи исследования

Основной целью работы является разработка методов управления устойчивостью движения вращающихся твердых тел с жидким наполнением, совершающих возмущенное относительно равномерного вращения движение под действием моментов внешних сил. Рассматривается случай полного заполнения полости идеальной и вязкой жидкостью. Компоненты момента внешних сил, действующих на систему, перпендикулярные оси стационарного вращения, предполагается рассматривать как управляющие воздействия.

Одной из первых задач исследований было получение зависимости характеристик системы от момента внешних сил. Другой задачей было выяснение устойчивости объекта, получение ограничений на параметры системы для обеспечения ее устойчивости.

Важным направлением исследования была постановка задачи управления регулируемого объекта. При этом рассматривались различные методы теории оптимального управления для динамических систем, где в качестве неизвестной функции управления выступает момент внешних сил.

В ходе исследований удалось применить аппарат оптимального управления, основанный на принципе максимума, и теорию динамического программирования Беллмана. Для этого потребовалось осуществить преобразование исходных соотношений и, в частности, получить сведение к эквивалентным системам дифференциальных уравнений. В другом случае удалось использовать найденную зависимость напрямую.

Научная новизна

В последние годы проводятся обширные исследования в области разработки систем управления. Очень часто весьма важные результаты с точки зрения построения системы управления можно получить из математического описания и изучения только объекта регулирования.

По известной динамике объекта регулятор может быть найден стандартными методами. Эту проблему в настоящее время нельзя считать решенной с теоретической точки зрения, хотя она и была предметом ряда исследований.

Практически отсутствуют результаты о постановке задач оптимального управления для таких систем. В настоящей работе дается постановка задач оптимального управления с различными функционалами и представлен математический аппарат для их эффективного решения.

Рассматриваются известные в теории управления модели; где в качестве связей фигурируют найденные соотношения, описывающие динамику тел с жидким наполнением.

Методы исследования

В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается задача Коши для линеаризованного уравнения Навье-Стокса для возмущенного относительно равномерного вращения движения тела с полостью, содержащей жидкость. Методом Галеркина отделяется временная составляющая решения от пространственных координат. Для случая вязкого заполнения учет вязкости производится методом пограничного слоя, а выражения для обобщенных диссипативных сил получаем, следуя процедуре Л.Д. Ландау. Для разрешения системы интегро-дифференциальных уравнений используется прямое и обратное преобразование Лапласа.

В задаче исследования устойчивости применяется критерий А.М. Ляпунова устойчивости линейных систем для характеристического уравнения невозмущенного движения. Методом возмущений получены поправки для случая вязкого заполнения.

При исследовании моделей задач оптимального управления широко используется принцип максимума Л.

Д. Понтрягина и используется метод динамического программирования Р. Беллмана. Применены необходимые условия оптимальности А.Б. Куржанского для задач управления в условиях неопределенности. Для построения численных решений задач оптимального управления с интегральными ограничениями используется регуляризованный метод проекции градиента с выбором шага согласно процедуре Армийо. Задача отыскания проекции точки на множество решается с использованием двойственного метода. Для некоторых постановок численно реализован метод Беллмана. В программной реализации численных экспериментов используется ряд алгоритмов, которые реализованы на языке C++, текст наиболее важных из них вынесен в приложения и является значимой частью диссертации. Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков многомерных функций в ряде задач осуществлялось с помощью среды Mathcad.

Практическая ценность

Полученные в работе результаты использованы в расчетах динамики и прочности машин роторного типа, а также при оптимизации их конструктивно-технологических параметров. Кроме того, эти результаты могут применяться при анализе задач управления и устойчивости аппаратов подобного типа.

Использованные методы теории оптимального управления могут быть применены в различных областях техники для задач, перевода системы в требуемое состояние, для реального управления вращающимися роторами с жидким наполнением. Программно реализованные алгоритмы и разработанный комплекс программ используется в практической деятельности ЦНИИМАШ и в учебном процессе МАТИ и ВЦ им. А.А. Дородницына РАН.

Апробация

Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах:

1. XVI Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам» (3-8 сентября 2006 г, г.Абрау-Дюрсо).
2. Международный аэрокосмический конгресс IAC 2006, г.Москва.
3. Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН (2004-2007 гг.).
4. Научные семинары кафедры «Прикладная математика» МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского (2004-2007).
5. Международная конференция молодых ученых. MAKS 2007, г.Жуковский, МО.

Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений.

Общий объем диссертации страниц. Список использованных источников включает 80 наименований.

Содержание диссертации

Во введении обосновывается тема диссертации, ее актуальность, сформулированы цели и задачи исследования, изложены полученные результаты и их практическая ценность.

В ведении дан краткий экскурс в историю вопроса, показаны трудности, возникающие при решении задач о вихревых движениях жидкости в полости вращающегося твердого тела. Оказалось, что при решении задач управления динамикой твердого тела с жидкостью для некоторых классов движений задача может быть разбита на две части.

Первая, гидродинамическая часть задачи сводится к решению краевых задач, зависящих только от геометрии полости и независящих от движения тела. При этом необходимо еще рассчитать тензор присоединенных масс. Вторая часть задачи – это обыкновенная задача динамики твердого тела, сводящаяся к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это удалось сделать Жуковскому Н.Е., который рассмотрел задачу о поступательном движении твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость. Такое разбиение позволяет существенно упростить исходную задачу.

Что касается такого класса движений как вращательные, то задачи динамики вращающейся жидкости выдвигают ряд сложных проблем чисто математического характера. Поэтому было решено, насколько возможно, разделить задачу движения тела с жидкостью на гидродинамическую и динамическую части. Первая из них сводится к расчету некоторых функций, зависящих от формы полости, и тензоров, выражающихся через эти функции. Вторая часть задачи – исследование движения тела – использует лишь указанные тензоры, характеризующие воздействие жидкости на тело.

В первой главе рассматривается возмущенное относительно стационарного вращения движение твердого тела с полостью Q, целиком заполненной идеальной, несжимаемой жидкостью плотности , в поле массовых сил с потенциалом U. Уравнения Навье-Стокса, описывающие движение жидкости, записываются во вращающейся системе координат. Oxyz, жестко связанной с твердым телом, а уравнение моментов – относительно центра инерции всей системы.

Движение тела с жидкостью предполагается близким к равномерному вращению вокруг оси Oz. Уравнения Навье-Стокса линеаризуются около равномерного вращения, и поэтому рассматриваемые в этой главе движения являются существенно вихревыми. Полученная таким образом задача разбивается на две части. Первая – гидродинамическая часть задачи сводится к решению некоторых краевых задач на собственные значения и зависит только от геометрии полости

(1.1)

Вторая - динамическая часть задачи сводиться к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

(1.2)

В предположении, что ось вращения системы является одновременно осью массовой и геометрической симметрии тела и полости, уравнения упрощаются.

С помощью процедуры Галеркина уравнения (1.1) и (1.2) принимают вид

(1.3)

где ; ; .

Получено характеристическое уравнение для свободно вращающегося тела с жидкостью. Сформулированы условия устойчивости этого движения. Построены области устойчивости в безразмерных параметрах (,h) рис. 1

Далее выведена формула зависимости угловой скорости возмущенного движения от момента внешних сил.

(1.4)

а значения констант и , X и Y определяются исходя из геометрии твердого тела, конкретного вида полости.

Показано, как с введением новых функций интегральное уравнение для может быть сведено и системе, обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка.

Здесь После этого ставятся различные задачи оптимального управления, и устанавливается возможность широкого применения методологии принципа максимума для их решения.

Так во второй главе с использованием принципа максимума Понтрягина получены аналитические решения задачи безусловной минимизации терминального функционала вида,

(2.1)

или в векторном виде

где -неизвестная функция управления, –заданное действительное положительное число, - матрица 6х6, причем отличны от нуля - столбец, i=1,2 – заданные действительные числа.

Задача (2.1) решается с использованием принципа максимума Л.Д. Понтрягина. Функция Гамильтона-Понтрягина имеет вид

(2.2)

Сопряженная система

(2.3)

Выражения для оптимального управления

(2.4)

(2.5)

Для определения оптимального управления разрешим сопряженную систему. В силу вида матрицы можем с разу выписать выражения для первых двух компонент (t)

Оставшиеся компоненты найдем, решив следующую систему

(2.6)

Уравнения 1 и 3, 2 и 4 системы (2.6) можно решить независимо; в итоге получим:

Полученные решения сопряженной системы нужно подставить в (2.4) и (2.5), и окончательно значения оптимального управления можно будет записать, определив параметры и . Для этого можно воспользоваться системой двух линейных уравнений относительно и , которая получается из уравнений при t=T подставкой в нее выражений (2.4) и (2.5), и найденных решений сопряженной системы (2.3). А именно

(2.7)

(2.8)

Выражения (2.7) и (2.8) окончательно решают поставленную задачу в аналитической форме.

Далее во второй главе рассмотрена задача оптимального управления с функционалом вида

, ,

Для этой задачи получено решение с разрывным оптимальным управлением, со следующими условиями для точек переключения

причем эти условия могут не иметь решений, например, если , что будет соответствовать решению (плата «слишком завышена»).

Они могут иметь счетное число решений, соответствующее количеству пересечений периодических функций в левых частях с прямой у = .

В третьей главе рассмотрены вихревые движения вязкой жидкости в полости вращающегося тела. Уравнения движения жидкости записывается в вращающейся системе координат Oxyz, жестко связанной с твердым телом, а уравнение моментов относительно центра инерции всей системы. Уравнения линеаризуются около равномерного вращения всей системы, как твердого тела и имеют вид

(3.1)

в Q, на S, при

Используя после процедуру Галеркина для коэффициентов разложения , получим систему интегро-диференциальных уравнений вида

(3.2)

где , Коэффициенты , - зависят от геометрии полости и характеризуют взаимодействие между движением твердого тела и волновыми движениями жидкости.

Для полости в форме цилиндра коэффициенты известны [61].

Далее в третьей главе приводится характеристическое уравнение системы тело-жидкость в невозмущенном движении.

Поправки, обусловленные вязкостью жидкости находятся методом возмущений. Сформулирован критерий устойчивости по линейному приближению. Построены области устойчивости в безразмерных параметрах (,h). Показано, как вязкость сдвигает границы области неустойчивости.