Алгоритмы и программное обеспечение оценивания параметров волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов

На правах рукописи

Истигечева Елена Валентиновна

АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВОЛАТИЛЬНОСТИ

И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СТОИМОСТИ

ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата

технических наук

Томск – 2007

Работа выполнена на кафедре автоматизированных систем управления Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Научный руководитель:	Доктор технических наук, профессор Мицель Артур Александрович
Официальные оппоненты:	Доктор технических наук, профессор Светлаков Анатолий Антонович Доктор физико-математических наук профессор Терпугов Александр Федорович
Ведущая организация:	Новосибирский государственный университет экономики и управления

Защита состоится «14» июня 2007 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д212.268.02 при Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники по адресу:

634034, Томск, ул.Белинского, 53.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники по адресу:

634034, Томск, ул.Вершинина, 74.

Автореферат разослан « 8 » мая 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук _________________ А.Я.Клименко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Научный интерес к математическому моделированию в теории финансов обусловлен революционными преобразованиями финансового рынка – изменением его структуры, возрастанием волатильности (изменчивости) в ценах, появлением новых финансовых инструментов, использованием современных информационных технологий для анализа цен. Все это предъявляет к финансовой теории новые требования и ставит новые проблемы, для решения которых необходимо проведение глубоких научных исследований в области математического моделирования финансовых процессов. Будучи большой и сложной системой с огромным количеством переменных, различных факторов и связей, финансовые рынки требуют для своего анализа достаточно сложных математических методов, методов статистической обработки данных, численных методов и компьютерных средств.

Таким образом, построение и исследование математических моделей, адекватно описывающих динамику таких финансовых инструментов как акции, облигации, опционы, котировки валют, а также разработка алгоритмов прогнозирования стоимости этих финансовых инструментов в настоящее время является актуальным направлением финансовой математики. В связи с чем, становится необходимым изучение статистических характеристик и особенностей структуры финансовых временных рядов, вычисление параметров моделей, описывающих эволюцию финансовых инструментов и определение вида распределения стохастического процесса, лежащего в основе рыночных флуктуаций.

Основные вопросы, связанные с разработкой моделей и построением алгоритмов оценивания и прогнозирования стоимости финансовых инструментов рассмотрены в работах таких зарубежных специалистов как: Engle R.F., Bollerslev T., Nelson D.B., Fama E., Mandelbrot B., Shephard N., Taylor S.J., Barndorff-Nielsen О.Е., Andersen T. и др.

В российской науке наиболее значительный вклад в исследование указанных проблем внесли Ширяев А.Н. и группа ученых, работающих под его руководством в математическом институте им. В.А.Стеклова, отдельными задачами занимаются такие ученые как Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А., Терпугов А.Ф., Медведев Г.А. и др.

Актуальность проблем оценивания волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов привлекает к этой области исследования все большее количество ученых, которые пытаются ее решить, используя как традиционные, так и новые подходы: вейвлет– анализ, фрактальный анализ, нейросетевое программирование, спектральный анализ.

Однако, наибольший интерес сосредоточен вокруг моделей из семейства стохастических условно–гауссовских моделей (ARCH–Autoregressive Conditional Heteroscedasticity), многообразие которых, позволяет учесть особенности финансовых временных рядов независимо от их происхождения и дает достаточную точность прогноза без субъективной интерпретации входных данных, поступающих с торгового терминала.

В этой области традиционно исследования ведутся в двух самостоятельных направлениях, первое из которых характеризуется разработкой адекватных моделей функции волатильности с последующей оценкой ее параметров, а второе – разработкой алгоритмов идентификации функции распределения доходности финансовых инструментов.

В связи с чем, оказываются необходимыми дальнейшие исследования, связанные с разработкой алгоритмов, сочетающих в себе и первое, и второе направления.

Целью работы является выявление и формализованное описание эмпирических закономерностей финансовых временных рядов, разработка алгоритмов и комплекса программ оценивания параметров волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Выявить и проанализировать особенности структуры и динамики финансовых временных рядов.
2. Разработать алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности.
3. Разработать алгоритм оценивания параметров волатильности на основе модели стохастической волатильности.
4. Разработать алгоритм идентификации функции распределения доходностей финансовых активов.
5. Разработать комплекс программ, реализующий алгоритмы оценивания параметров волатильности, идентификации функции распределения доходностей и прогнозирования стоимости финансовых инструментов.
6. Апробировать комплекс программ прогнозирования на основе реальных данных, поступающих с терминала.

Объектом исследования являются реальные финансовые временные ряды на примерах обменных курсов ряда валют: швейцарский франк (CHF), английский фунт стерлингов (GBR), японская иена (YEN), канадский доллар (CAD), единая европейская валюта (EUR) к доллару США (USD) за период со 2 января 1997г. по 29.12.2006г.(около 2600 наблюдений для каждого ряда).

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности с заданным лагом.
2. Алгоритм идентификации функции распределения доходностей финансовых инструментов.
3. Результаты прогнозирования стоимости финансовых инструментов с использованием нормального обратно – гауссовского распределения.

Научная новизна результатов исследования состоит в следующем:

1. Разработан новый алгоритм оценивания параметров волатильности, отличительной особенностью которого является использование лага фиксированной длины. Кроме того, в отличие от известных методов оценивания, в данном алгоритме не требуется информация о функции распределение доходностей финансовых инструментов.
2. Разработан алгоритм оценивания параметров стохастической волатильности с использованием метода последовательного анализа и фильтра Калмана – Бьюси.
3. Впервые исследована возможность использования нормального обратно – гауссовского распределения для прогнозирования стоимости финансовых инструментов на примере обменных курсов валют.

Методология и методы исследования. Теоретическую и методологическую основу диссертационного исследования составляют труды отечественных и зарубежных ученых - специалистов в области построения и анализа моделей, описывающих динамику финансовых временных рядов.

Диссертационное исследование основано на использовании методов анализа временных рядов, имитационного моделирования, математической статистики, последовательного анализа, метода максимального правдоподобия, численных методов.

Программное обеспечение реализовано в среде программирования Borland Delphi 7.0, проверка конкретных расчетов осуществлялась в среде MathCad 12 и системы автоматизации математических вычислений «Макрокалькулятор».

Практическая значимость. Разработан комплекс программ для оценивания параметров функциональной и стохастической волатильности, идентификации распределения доходностей и прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

Разработанные в диссертации алгоритмы оценивания и прогноза и их программные реализации используются для оценивания реальной ситуации на финансовом рынке, для решения задач доверительного управления капиталом, для прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

Личный вклад автора. Постановка задач исследования выполнена совместно с научным руководителем А.А. Мицелем. Проведение обзорных и теоретических исследований, разработка алгоритмов оценивания и прогнозирования, проведение экспериментальных исследований и создание комплексов программ осуществлены автором лично.

Апробация работы. Основные теоретические результаты и законченные этапы диссертационной работы, а также результаты прикладных исследований и разработок докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

• XII, XIII международная научно – практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 2006г.,2007г.);
• Научная сессия ТУСУР (Томск, 2006г., 2007г.) секции «Математическое моделирование в технике, экономике и менеджменте» и «Автоматизация управления в технике и образовании»;
• научный семинар кафедры ТОЭ ТУСУР (2006 – 2007 г.г.);
• научный семинар кафедры АСУ ТУСУР (2005 – 2007 г.г.);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 научных публикациях, в числе которых публикации в журналах, рекомендованных ВАК – 2, научных и научно–технических сборниках – 3, трудах Всероссийских и Международных конференций – 6, учебном пособии – 1, в отраслевом фонде алгоритмов и программ – 2.

Результаты работы внедрены:

Достоверность результатов работы подтверждается исходными теоретическими, методологическими и практическими данными исследований, апробацией результатов и успешным внедрением в финансовых компаниях, осуществляющих работу на валютном и фондовом рынках.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность, сформулированы цели и задачи исследования, представлены основные положения, выносимые на защиту, показана научная новизна и практическая значимость работы, приведены основные результаты апробации.

Первая глава содержит обзор работ, посвященных построению моделей финансовых временных рядов, проведена систематизация моделей и исследованы их свойства. Рассмотрены закономерности, существующие на финансовом рынке, а также указаны преимущества и недостатки различных моделей финансовых временных рядов.

В 1900 году французский ученый Л.Башелье опубликовал свою знаменитую диссертацию, основ­ная идея которой состояла в том, что вероятностные методы математической физики могут быть использованы для анализа динамики рыночных цен, если от самих цен активов перейти к их приращениям. В 1965 году П. Самуэльсон показал, что предпочтительнее сначала перейти к логарифмам цен: возникла концепция геометрического (экономического) броуновского движения, которая заключалась в том, что прира­щения

,

имеют нормальное распределение. Здесь – рыночный курс финансового инструмента. Указанная замена переменной оказалась исключительно удачной: приращения , которые в литературе называются доходностями финансовых инструментов, оказываются стационарными и независимыми на очень больших от­резках времени.

Однако, дальнейшие исследования, показали, что эта простая модель не согласуется с фактическими данными, поскольку нарушается гипотеза о нормальности и независимости величин последовательности .

В связи с чем, возникла задача выбора модели, адекватно описывающей доходности финансовых инструментов.

Очевидно, что для выбора подходящей модели необходимо иметь представление об эмпирических закономерностях, которые могут и должны быть учтены в конструируемой модели. Обзор литературы позволяет выделить некоторые устойчивые закономерности, характеризующие доходности финансовых активов.

1. «Кластерность» волатильности. Суть этого феномена заключается в том, что за значительными изменениями цены актива часто следуют другие значительные изменения, тогда как слабые изменения обычно следуют за слабыми, то есть за периодом высокой волатильности следует период низкой волатильности.
2. «Левередж – эффект». Динамика финансовых инструментов характеризуется таким феноменом как отрицательная коррелированность доходности финансовых инструментов и волатильности. Так, если волатильность «мала», то цены стремятся к тому, чтобы их рост или падение длились как можно дольше, если же волатильность «велика», то цены замедляют свой рост или падение, стремясь повернуть движение в противоположном направлении.
3. «Длинная память». Финансовые временные ряды обладают, так называемой, длинной памятью, что подразумевает наличие значимой автокорреляции между удаленными наблюдениями. Это обстоятельство приводит к тому, что прошлые доходности «могут помочь» в предсказании доходностей будущих.
4. «Тяжелые хвосты». Функция плотности условного распределения доходностей финансовых активов характеризуется свойством лептокуртичности, т.е. более «тяжелыми хвостами» и большей вытянутостью (пикообразностью) в области среднего значения по сравнению с функцией плотности нормального распределения. Причиной выраженной ненормальности условных распределений являются выбросы или «хвостовые события» – ошибки прогнозов, многократно превосходящие стандартное отклонение.

Для объяснения особенностей финансовых временных рядов в 1982 г. Роберт Энгле предложил авторегрессионную модель условной гетероскедастичности ARCH(p):

, (1)

, (2)

где - доходность финансовых инструментов, - функция волатильности; - последовательность нормальных одинаково – распределенных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией.

В дальнейшем Т. Боллерслев обобщил ARCH(p)-модель в виде:

. (3)

Эта модель получила в литературе название обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности (в латинской аббревиатуре – GARCH(p,q)).

Основным преимуществом GARCH(p,q) - моделей является то, что при описании статистических данных можно ограничиться сравнительно небольшими значениями параметров и в отличие от моделей типа ARCH(p), которые демонстрируют свою работоспособность только при больших значениях параметра .

Модель GARCH(1,1) хорошо зарекомендовала себя на практике, и многие специалисты по эконометрике относятся к ней как к образцу сравнения.

В настоящее время семейство ARCH – моделей насчитывает множество одномерных и многомерных модификаций, однако наиболее интересной из них можно назвать модель стохастической волатильности. Принципиальным отличием от моделей семейства ARCH является то, что волатильность зависит не только от прошлых наблюдений, но и от некоторой ненаблюдаемой компоненты:

. (4)

Здесь ненаблюдаемую компоненту можно интерпретировать как случайный и неустойчивый поток новой информации, поступающей на финансовые рынки.

На практике, модель стохастической волатильности оказывается более предпочтительной, чем модель GARCH в предположении нормальности распределения доходностей.

В диссертационной работе показано, что при использовании распределений отличных от нормального, например, распределений с «тяжелыми хвостами», ситуация меняется на противоположную. Таким образом, для описания исследуемых финансовых временных рядов в работе используются две модели: модель стохастической волатильности и обобщенная авторегрессионная модель условной гетероскедастичности GARCH(1,1) при условии, что доходности финансовых инструментов подчиняются распределению с «тяжелыми хвостами».

Вторая глава посвящена оцениванию параметров волатильности.

В п. 2.1. предложен алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности GARCH(1,1) с заданным лагом.

Модель основана на авторегрессионной зависимости вида

, (5)

где – коэффициенты модели, подлежащие оценке.

Условие стационарности модели GARCH(1,1) определяется следующим неравенством:

(6)

В литературе для оценивания параметров волатильности на основе модели (5) предлагается использовать метод максимального правдоподобия. Однако, определить параметры в этом случае достаточно сложно, это связано с необходимостью многократного решения системы уравнений, обеспечивающей нахождение максимума функции правдоподобия и большой размерностью исходных данных. Кроме того, вид функции правдоподобия изменяется, если распределение доходностей оказывается отличным от нормального. В этом случае решение задачи оценивания параметров волатильности становится еще сложнее.

В связи с чем, в диссертационной работе предложен новый алгоритм, лишенный указанных недостатков. Так как распределение доходностей на практике всегда является неизвестным, то оценивание параметров модели предлагается осуществлять путем минимизации следующей функции невязки:

. (7)

с учетом условия стационарности (6). При этом подмножество определяется тройкой параметров следующим образом:

,

где – значение волатильности, вычисленное в соответствии с (5).