Математические модели производственной системы в условиях несовершенного рынка кредитов.

На правах рукописи

АКПАРОВА АННА ВАЛЕРЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ В УСЛОВИЯХ НЕСОВЕРШЕННОГО РЫНКА КРЕДИТОВ.

05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре Системного Анализа факультета Вычислительной Математики и Кибернетики Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова и в Центре развития технологий анализа и прогнозирования государственной, региональной и отраслевой экономики с помощью математических методов при МФТИ.

 

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Шананин Александр Алексеевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Бекларян Левон Андреевич

кандидат физико-математических наук,

доцент Обросова Наталья Кириловна

 

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский Экономико-Математический институт РАН

 

Защита состоится 26 октября 2006 г. в “______” на заседании диссертационного совета Д 002.017.04 в Вычислительном Центре имени А.А. Дородницына Российской Академии Наук по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д.40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН

Автореферат разослан ____ сентября 2006 г.

 

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук,

профессор Н.М. Новикова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Переход от идеологических дискуссий, происходящих на концептуальном уровне, к систематическим исследованиям на языке математических моделей является актуальным для всестороннего понимания экономических процессов и для построения эффективной экономической политики.

В отделе "Математическое моделирование экономических систем" Вычислительного центра им. Дородницына РАН (руководитель – академик А.А. Петров) накоплен значительный опыт математического моделирования российской экономики методами системного анализа. Основные результаты за последние 20 лет получены А.А. Петровым, И.Г. Поспеловым, А.А Шананиным, Н.К. Обросовой. По этим работам можно проследить эволюцию современных методов и представлений в области математического моделирования российской экономики.

Фундаментом математической модели экономики в целом является модель производственной системы. В данной работе используется подход к моделированию производственной системы, основанный на распределении мощностей по технологиям. Впервые распределение мощностей по технологиям было использовано в работе Хуатекера для анализа производственных функций типа Кобба-Дугласа. Затем, в работах Йохасена был предложен подход к построению производственной функции отрасли на основе информации о распределении мощностей по технологиям. Впоследствии такой подход использовался для анализа конкретных отраслей экономики Норвегии и Швеции. Общей чертой моделей производственной системы, предложенных Хуатекером и Йохансеном и нашедших свое развитие в работах Хильденбранда, Форсунда, Эйдэ, является их нейтральность по отношению к оборотным фондам.

А.А. Шаниным и Э.В. Автуховичем была предложена модификация модели Хаутекер-Йохансена, учитывающая дефицит оборотных средств и необходимость авансирования затрат на производство.

Кредитная система – это механизм преодоления проблем с авансированием затрат на производство. Однако российская кредитная система пока не является совершенной и производственные единицы испытывают трудности с получением кредитов. Традиционно различают два рынка кредитов – краткосрочных и долгосрочных. Долгое время доступ на оба рынка кредитов имели лишь крупные финансовые организации, т.е. рынок кредитов являлся сегментированным. В последние годы краткосрочный кредит стал более доступным и рынок краткосрочного кредита можно считать конкурентным. Однако рынок долгосрочного кредита остается сегментированным.

Крупные финансовые организации в свою очередь обеспечивают кредитом те производственные единицы, которым они доверяют и которые они могут каким-то образом контролировать. Хочется отметить, что получение долгосрочного кредита всегда связано с некоторым особенным доверием кредитодателя.

В связи с этим актуальным остается вопрос о том, каким образом крупные финансовые структуры будут строить свои отношения с производством и как преследуемые ими цели повлияют на эффективность распределения материальных ресурсов? Особенно интересен вопрос формирования процентных ставок по долгосрочным кредитам, поскольку во всем мире эта информация является конфиденциальной.

В последние годы наблюдается некоторая стабилизация в сбыте отечественных товаров и повышение эффективности распределения материальных ресурсов. Однако до настоящего момента не произошло значительного улучшения качества российских товаров по отношению к импортным. Эксперты считают, что стабилизация сбыта произошла за счет установления долгосрочных контрактных отношений между предприятиями. В связи с этим возникает необходимость модифицировать разработанные модели производства, чтобы объяснить произошедшую стабилизацию, а так же выявить скрытые угрозы, способные снова дестабилизировать экономические отношения.

Цель работы:

1. Построение математических моделей производственной системы для выявления механизма формирования процентных ставок по кредитам в условиях несовершенной кредитной системы и нестабильной реализации продукции.

2. Объяснение произошедшей стабилизации на рынке сбыта отечественных товаров и выявление скрытых угроз, способных снова привести к дестабилизации.

Методы исследования. Для достижения поставленных целей решались задачи линейного программирования в функциональном пространстве с бесконечным числом ограничений. Используя их специфику решение было получено в аналитической форме. В работе использовались методы теории вероятности, выпуклого анализа и теория экстремальных задач.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Найдены функции загрузки, прибыли, средств замороженных под краткосрочные и долгосрочные кредиты производственной единицы в зависимости от цены и себестоимости продукции, и так же от процентных ставок по долгосрочным и краткосрочным кредитам.

2. Построена модель формирования процентов по долгосрочным кредитам в зависимости от целей кредитодателя и сегментированности кредитных рынков. Получены формулы для процентных ставок.

3. Найдены оптимальные стратегии поведения производственных единиц при работе в условиях несовершенного рынка кредитов, нестабильной реализации продукции и возможности заключения долгосрочных контрактов.

Теоретическая и практическая ценность работы. Построенные модели производства были использованы для описания неэнергетических отраслей экономики России в макроэкономических исследованиях ВЦ РАН им. А.А. Дородницына. Результаты были использованы в учебных семинарах по курсу «математические модели в экономике» на факультете Управления и Прикладной Математики в МФТИ.

Апробация работы. Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• международная конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2002» (Москва, 2002)
• научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Долгопрудный, 2003)
• международная конференция «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (Москва, 2004)
• четвертый Европейский конгресс математиков (Стокгольм, 2004)
• четвертая Московская международная конференция по исследованию операций (Москва, 2004)
• международная научно-техническая конференция «Системные проблемы надежности, качества, информационных и электронных технологий» (Сочи, 2004)
• научная конференция МГУ «Ломоносовские чтения» (Москва, 2005)
• научный семинар под руководством академика А. А. Петрова в ВЦ РАН им. Дородницына (Москва, 2005)
• научный семинар под руководством академика В.М. Полтеровича в ЦЭМИ (Москва, 2005)
• научный семинар под руководством академика А.Б. Куржанского на факультете ВМиК МГУ (Москва, 2005)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Основная часть работы изложена на 72 страницах машинописного текста. Приложение содержит 156 страниц. Список использованной литературы включает 35 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель и научная новизна полученных результатов, дается краткое содержание глав работы.111В первой главе исследуется модель отрасли производства в условиях дефицита оборотных средств, предложенная Шананиным и Автуховичем, которая является модификацией модели Хаутекера-Йохансена. Для модели Шананина-Автуховича находятся функции спроса, предложения и прибыли. Исследуются свойства производственной функции в сравнении с моделью Хаутекера-Йохансена. В модель Шананина-Автуховича вводится новый параметр таким образом, чтобы учесть инфляцию.

В §1.1 дается описание модели Хаутекера-Йохансена и формулируется обобщенная лемма Неймана-Пирсона.

В основе модели Хаутекера-Йохансена лежит гипотеза о разделении времен. В медленном времени изменяются производственные мощности. В быстром времени изменяются цены на выпускаемую продукцию и сырье. В модели рассматривается отрасль, выпускающая однородную продукцию и использующая при этом n видов производственных факторов текущего пользования (ПФТП). Предполагается, что в отрасли имеются различные технологии производства. Каждая технология задается вектором затрат ПФТП на выпуск единицы продукции.

При создании мощности осуществляется выбор технологии, по которой эта мощность функционирует. Тогда в любой фиксированный момент времени мощности оказываются распределенными по технологиям. Модель Хаутекера-Йохансена описывает распределение ресурсов внутри отрасли при заданной структуре производственных мощностей т.е. в быстром времени.

Обобщенная лемма Неймана-Пирсона утверждает, что оптимальными механизмами распределения ресурсов являются рыночные механизмы с "жесткими бюджетными ограничениями", при которых прибыльные технологии используются с максимальной интенсивностью, а убыточные - не используются вовсе. Из нее также следует, что мягкие бюджетные ограничения у производителей означают неэффективное распределение ресурсов, при котором используются менее прибыльные технологии, в то время как более прибыльные технологии оказываются недогруженными.

Обозначим через распределение мощностей по технологиям, через - вектор цен на ПФТП и цену выпускаемой продукции. Предположим, что . Тогда в модели Хаутекера-Йохансена можно определить функцию выпуска отрасли

2 3

и функции спроса на отдельные виды ПФТП в зависимости от цен

. 4 5

Соотношения (1) и (2) дают нам параметрическую зависимость , где . Зависимость выпусков от затрат ПФТП называется производственной функцией отрасли. Функции спроса и предложения в модели Хаутекера-Йохансена интегрируемы, т.е. Известно так же, что производственная функция отрасли в модели Хаутекера-Йохансена обладает такими неоклассическими свойствами, как неубывание и вогнутость.

В §1.2 приведена модель производственной единицы в условиях дефицита оборотных средств, предложенная Шананиным и Автуховичем.

В модели Шананина-Автуховича усложняется иерархия характерных временных масштабов. По-прежнему распределение мощностей по технологиям изменяется в медленном времени. Изменение цен на выпускаемую продукцию и ПФТП, процент за долгосрочный и краткосрочный кредит и других показателей, определяющих управление финансовыми потоками, считается происходящим на средних временных масштабах. Процессы маркетинга и обеспечения производства ПФТП происходят в быстром времени. Среднеквадратичное уклонение времени между двумя последовательными моментами реализации сравнимо с его математическим ожиданием. Таким образом, приемлемым упрощением является предположение, что моменты реализации образуют случайный пуассоновский поток с параметром .

Рассмотрим функционирование в быстром времени производственной единицы, имеющей себестоимость и мощность . Изменение таких показателей, как цена единицы продукции , вектор цен на ПФТП, процент за долгосрочный кредит и процент , начисляемый по краткосрочному кредиту, происходит на средних временных масштабах. Поэтому будем считать их фиксированными.

Обозначим через размер разового долгосрочного кредита, который берется производственной единицей на покупку ПФТП для того, чтобы начать работы по выпуску продукции. По исчерпанию этого кредита в момент времени , если реализация еще не наступила, производственная единица берет краткосрочный кредит в виде кредитной линии или приостанавливает выпуск продукции до момента ее реализации. Будем считать, что кредиты берутся лишь на покупку необходимых ПФТП, поэтому .

В момент реализации продукции производственная единица получает выручку

выплачивает задолженность по краткосрочному кредиту, которая равна и по долгосрочному – . Кроме того, у нее могут остаться средства в размере от неизрасходованного полностью долгосрочного кредита.

Рассмотрим задачу о максимизации математического ожидания денежных доходов за цикл деятельности производственной единицы между двумя последовательными моментами реализации продукции :

6 7

Структура решения такова, что если краткосрочный кредит дешевле долгосрочного, , то пространство параметров разбивается на две области. Производственные единицы из первой области работают бесперебойно за счет краткосрочного кредита. Производственные единицы из второй области не работают.

Если краткосрочный кредит дороже долгосрочного, , то пространство параметров разбивается на три области. Производственные единицы из первой области работают бесперебойно сначала за счет долгосрочного, а потом за счет краткосрочного кредитов. Производственные единицы из второй области работают за счет долгосрочного кредита, а по его исчерпании приостанавливают работу. Производственные единицы из последней области не работают.

В §1.3 найдены усредненные характеристики производственной единицы в рамках модели Шананина-Автуховича и исследованы функции спроса, предложения и производственная функция отрасли.

Чтобы поставить задачи, касающиеся группы производственных единиц (отрасли), нужно усреднить по времени случайные процессы, описывающие поведение отдельных производственных единиц. Эти процессы детерминировано изменяются между случайными моментами времени, образующими пуассоновский поток с параметром , а в эти моменты испытывают скачки до заранее известных значений. Было показано, что среднее значение такого процесса является не случайной, а детерминированной величиной и вычисляется по формуле .

Таким образом были найдены среднее значение средств замороженных под краткосрочные– и долгосрочные– кредиты производственной единице. Была так же определена средняя загрузка производственной единицы: .

Подставляя функцию загрузки в (1) и (2), получаем функции спроса и предложения для модели Шананина-Автуховича. Было показано, что функции спроса и предложения в модели Шананина-Автуховича не являются интегрируемыми, если краткосрочный кредит дороже долгосрочного.

На основании параметрической зависимости между предложением и затратами (спросом) построим производственную функцию модели отрасли . В диссертации был приведен пример невогнутой производственной функции в модели Шананина-Автуховича.

В §1.4 модель Шананина-Автуховича модифицирована так, чтобы учесть инфляцию. Построены функции спроса на кредиты в зависимости от инфляции. Исследовано влияние инфляции на загрузку производственных мощностей.

В §1.5 приведены результаты применения построенной модели для качественного анализа работы мощностей по производству печенья в ЗАО «Сухановский».

Вторая глава посвящена изучению того, как влияют цели крупных финансовых организаций на распределение материальных и финансовых ресурсов в подконтрольных им группах производственных единиц. Описано формирование процентов по долгосрочным кредитам в зависимости от целей кредитодателя и сегментированности кредитных рынков. Доказан аналог обобщенной леммы Неймана-Пирсона. Найдены формулы для процентных ставок.