Описание броуновского движения и диффузии как немарковских случайных процессов

На правах рукописи

Скрипкин Алексей Владимирович

Описание броуновского движения и диффузии

как немарковских случайных процессов

Специальность 01.04.02 – Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре физики Московского государственного
технического университета им. Н.Э. Баумана

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Морозов Андрей Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Дадиванян Артем Константинович

доктор физико-математических наук, профессор

Полуэктов Павел Петрович

Ведущая организация: Научно-исследовательский физико-технический институт Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Защита диссертации состоится « » 2009 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан « » 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Барабанова Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение броуновского движения является одной из важных задач теоретической физики. Хаотическое движение взвешенных в жидкости или газе частиц было открыто в 1827 г. Р. Броуном, а первое последовательное объяснение такого движения было дано А. Эйнштейном и М. Смолуховским в 1905 г. на основе молекулярно-кинетической теории.

Развитие теории броуновского движения и диффузии продолжались на протяжении всего XX века. В 1918 г. В. Шоттки теоретически предсказал и получил основные закономерности «броуновского движения» тока электровакуумных приборов (дробовой эффект), которое вскоре было обнаружено и исследовано экспериментально. У. Вейсс, П.С. Райзеборо, П. Хангги, Р. Моргадо, Ф.А. Оливьера, А. Хансен в 1960—1990-е гг. занимались обобщениями динамического уравнения броуновского движения (уравнения Ланжевена), в том числе изучая хаотическое перемещение взвешенных частиц при воздействии внешних потенциальных полей.

Теория броуновского движения в сильной степени способствовала обоснованию и развитию статистической физики. Кроме того, она имеет важное практическое значение. В частности, указанные выше шумы электронных приборов определяются случайным движением переносчиков заряда. Броуновское движение ограничивает точность измерительных приборов. Например, «броуновское движение» зеркальца оптического гальванометра определяет предел точности данного прибора. Увеличение сопротивления растворов электролитов по сравнению с теоретическим во многом объясняется хаотическим движением ионов. Диэлектрические потери в диэлектриках определяются случайным движением молекул, обладающих дипольным моментом. Теория броуновского движения играет все большую роль в задачах физической кинетики, гидродинамики, радиофизики и других разделах теоретической физики.

Однако хорошо разработанная за последнее столетие теория броуновского движения и диффузии является приближенной. И хотя в большинстве практически важных случаев существующая теория дает удовлетворительные результаты, в некоторых случаях она может потребовать уточнения. Так, экспериментальные работы, проведенные в начале XXI века в Политехническом университете Лозанны, Университете Техаса и Европейской молекулярно-биологической лаборатории в Гейдельберге (под руководством С. Дженей) показали отличие поведения броуновской частицы от теоретически предсказываемого теорией Эйнштейна—Смолуховского, что было особенно заметным при увеличении размеров частиц. Исследования затрагивали также анализ движения окружающих частиц среды и показали существенное взаимное влияние движения броуновской частицы и вызываемое ею движение частиц среды друг на друга, то есть наличие «памяти» у броуновской частицы, или, другими словами, зависимость ее статистических характеристик в будущем от всей предыстории ее поведения в прошлом. Данный факт не учитывался в теории Эйнштейна—Смолуховского.

Таким образом, становится актуальной разработка теории броуновского движения и диффузии, которая бы учитывала указанные выше экспериментальные факты. Это, однако, требует изменения математического метода теоретического описания броуновского движения. Так, наличие «памяти» в движении броуновской частицы не может быть описано с помощью дифференциальных уравнений, в связи с чем необходимо использовать интегральные операторы, ядра которых принципиально могут учесть указанную «память» броуновской частицы. Актуальность исследования повышается важностью модели броуновского движения при исследованиях во многих областях теоретической физики.

Цель работы состоит в изучении броуновского движения, распространения тепла, поведения осциллятора в вязкой среде и в среде с флуктуирующим коэффициентом трения, изучении процессов диффузии и случайных процессов, происходящих в реологических средах, при помощи интегральных стохастических уравнений, и получении статистических характеристик изучаемых немарковских случайных процессов.

Научная новизна. В диссертации получила развитие теория броуновского движения и диффузии.

1. Показано, что использование интегральных операторов точнее описывает поведение броуновской частицы и осциллятора при учете увлечения ими частиц среды, а также в случае флуктуирующего кинетического коэффициента трения.

2. Проведено описание испарения с поверхности плоскости и капли при наличии флуктуаций потока частиц.

3. Найдены статистические характеристики для реологических сред, подверженных случайным напряжениям и деформациям.

Практическая значимость. Результаты исследований могут служить теоретическим обоснованием при разработке новых методов, использующих модели броуновского движения или осциллятора. В частности, полученные результаты могут иметь существенное значение при описании и разработке устройств демпфирования колебаний, при получении сред с микроструктурой, объектов нанотехнологий или высоконадежных электронных компонентов и др.

Полученные результаты статистического описания процессов диффузии могут служить основой при изучении объектов, находящихся в состоянии капельного аэрозоля, для анализа или прогнозирования их поведения. В частности, найденные результаты имеют значение при оценке среднего времени исчезновения тумана в метеорологических исследованиях.

Исследование реологических сред, подверженным случайным воздействиям, может найти применение при техническом или технологическом анализе объектов, обладающих вязкоупругими свойствами и подверженных случайным воздействиям, например, при исследовании изменения свойств бетона, находящегося во флуктуирующем температурном поле, например при резких перепадах температуры, или изучении концентрированных растворов полимеров, используемых при получении новых материалов с заданными свойствами.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями статистической физики, физической кинетики, теории вязкоупругости, теории колебаний, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

1. Результаты исследования одномерного броуновского движения и явлений теплопроводности при наличии внешних случайных динамических или тепловых воздействий.
2. Результаты описания броуновского движения сферической частицы и движения осциллятора в вязкой среде при учете увлечения ими частиц среды.
3. Результаты статистического описания процессов испарения частиц пара с плоской поверхности жидкости или сферической капли, учитывающие флуктуации потока частиц через поверхность раздела фаз, вызванные случайными изменениями температуры, концентрации и др.
4. Результаты исследования поведения стержней из реологических материалов, подверженных воздействию случайных одномерных воздействий (напряжений или деформаций).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на Второй Всероссийской молодежной научной школе «Микро-, нанотехнологии и их применение» (Черноголовка, ИПТМ РАН, 2005 г.); Четвертой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2007 г.); Второй Всероссийской конференции «Волновая динамика машин и конструкций» (Нижний Новгород, 2007 г.); Пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2009 г.); научных семинарах кафедры физики МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из которых 9 статей, в том числе 5 – из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, семи глав и заключения. Общий объем составляет 127 стр., включая 47 рисунков, 7 стр. библиографии, содержащей 83 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, определены цели, научная новизна и практическая ценность работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, дана общая характеристика и структура диссертации.

В первой главе приведен обзор работ, посвященных теории броуновского движения и диффузии. В главе рассматриваются как классическая теория (теория Эйнштейна – Смолуховского), так и современные исследования (построение обобщенного уравнения Ланжевена, прецизионное экспериментальное изучение взаимодействия броуновской частицы и окружающих ее частиц среды, развитие «фрактальной» теории броуновского движения и др.) В главе также проведен анализ работ, изучающих испарение и рост аэрозольных капель в газообразной среде. Особое внимание уделяется тем работам, в которых процессы броуновского движения и диффузии предполагаются немарковскими.

Во второй главе диссертации рассматриваются общие математические модели, применяемые при исследовании случайных физических процессов. Первый параграф главы посвящен анализу теории стохастических дифференциальных уравнений, использующихся при описании случайных процессов, имеющих марковский характер (например, классического броуновского движения и диффузии). Во втором параграфе построена математическая модель описания немарковского случайного физического процесса, использующая интегральные стохастические уравнения. В такой модели случайный процесс описывается уравнением вида

, (1)

в котором – непрерывная функция переменной , – случайный процесс с независимыми приращениями.

Считая, что преобразование (1) является интегралом Ито, когда функция представляет собой винеровский или пуассоновский процесс.

Третий параграф посвящен иллюстрации полученных выше общих соотношений. В качестве ядра интегрального преобразования (1) выбиралась функция абелевого типа

, (2)

а процесс считался винеровским. Найдены статистические характеристики рассматриваемого случайного процесса, в частности, показано, что его спектральная плотность обратно пропорциональна частоте, что характерно для фликкер-шума.

В третьей главе рассматривается процесс одномерного броуновского движения (а также распространения тепла) в безграничной среде. Показано, что даже в таком простейшем случае его описание как марковского процесса является лишь первым приближением.

Рассмотрим движение плоской поверхности в вязкой жидкости, занимающей полупространство (). Будем считать, что плоскость расположена в начале координат (при ), а её движение со скоростью происходит в направлении, перпендикулярном оси и лежащем в плоскости. На плоскость действуют сила вязкого трения со стороны среды и случайная сила (на единицу площади).

Движение плоскости в вязкой жидкости будет описываться уравнением

, (3)

где – скорость плоскости, – ее масса, отнесенная на единицу площади, – случайная сила, – сила сопротивления, – сумма остальных внешних заданных сил, действующих на плоскость вдоль направления ее движения.

В рассматриваемом одномерном случае, считая скорость жидкости малой, уравнение для при принимает вид

. (4)

Граничное и начальное условия для уравнения (8) имеют форму

, . (5)

Из (4), (5) и определения силы вязкого трения, действующего со стороны жидкости, находится зависимость силы от скорости

. (6)

Система уравнений (3) и (6) может быть записана в виде интегрального уравнения Вольтерра второго рода

, (7)

где

. (8)

Решение интегрального уравнения (7) имеет вид

, (9)

где резольвента

, . (10)

Здесь – гамма-функция.

С помощью метода, изложенного во второй главе, найдены статистические характеристики случайных процессов и (характеристические функции, корреляционные функции, спектральные плотности). В частности, для спектральных плотностей процессов получены выражения

, , (11)

где – интенсивность процесса , равная . Здесь k – постоянная Больцмана, T – температура, – коэффициент вязкого трения.

Из второго выражения (11) следует, что флуктуации скорости движения плоской поверхности в вязкой жидкости представляют собой фликкер-шум, для которого характерна обратная зависимость от частоты для диапазона малых частот. На рис. 1 приведены зависимости спектральной плотности, рассчитанные для классического случая, при котором сила сопротивления считается пропорциональной скорости (кривая 1), и по формуле (11) (кривая 2). Хорошо видно, что для больших частот характер этих двух зависимостей аналогичен, а при малых – наблюдается существенное отличие, связанное с наличием фликкер-шума в случае, описываемом формулой (11).

Рис. 1. Зависимости спектральной плотности, рассчитанные для классического случая, при котором сила сопротивления считается пропорциональной скорости (кривая 1), и по формуле (11) (кривая 2).

Отметим, что флуктуации температуры плоской поверхности в задаче о одномерной теплопроводности так же имеют спектральную плотность вида (11), а, следовательно, для них характерно наличие фликкер-шума. Это в свою очередь, учитывая зависимость кинетических коэффициентов от температуры, должно приводить к флуктуациям указанных коэффициентов в низкочастотной области спектра вида фликкер-шума.

Четвертая глава диссертации посвящена описанию броуновского движения шарообразной частицы и осциллятора в неограниченной вязкой среде с учетом увлечения ими окружающих частиц жидкости. Такое взаимовлияние броуновской частицы и окружающих ее частиц среды приводит к следующему выражению для силы сопротивления

(12)

В последнем выражении момент времени принят за начало движения частицы. Формула (12) получается путем нахождения силы сопротивления, испытываемой сферической частицей, совершающей гармонические колебания в вязкой жидкости (при малых числах Рейнольдса), с последующим использованием этого решения для нахождения силы сопротивления, действующей на частицу, совершающей произвольное движение со скоростью , разлагаемой в интеграл Фурье.

Подставляя (12) в (3) и вводя замены

, , , , ,

придем к выражению

. (13)

Выражение (13) описывает процесс Z(t), являющийся в этом случае немарковским процессом. Таким образом, использование для силы сопротивления выражения (12) место используемого обычно, в котором сила сопротивления пропорциональна скорости, приводит к необходимости применения интегральных уравнений, а, следовательно, и теории немарковских процессов.

С помощью метода, изложенного во второй главе, и в предположении найдены одномерная и L-мерная характеристические функции процесса и его статистические характеристики, а также статистические характеристики флуктуаций скорости броуновской частицы . В частности, L-мерная характеристическая функция флуктуаций скорости определяются соответственно выражениями. В частности, для имеем

. (14)

где

, (15)

Сравнение формулы (24) с классической, имеющей в знаменателе помимо постоянной лишь слагаемое, пропорциональное второй степени частоты, показывает, что использование для силы сопротивления выражения (12) вместо классического, пропорционального скорости, приводит к существенному различию спектральных плотностей флуктуаций скорости частицы, в особенности, в полосе низких и средних частот. На рис. 2 показаны в сравнении графики спектральных плотностей, даваемые формулами (24) (кривая 1) и в классическом случае (кривая 2).