Моделирование осветительных установок на основе решения уравнения глобального освещения локальными оценками метода монте-карло

111

На правах рукописи

Желтов Виктор Сергеевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСВЕТИТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГЛОБАЛЬНОГО ОСВЕЩЕНИЯ ЛОКАЛЬНЫМИ ОЦЕНКАМИ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО

Специальность 05.09.07 – Светотехника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Москва 2008

Работа выполнена в Московском энергетическом институте (техническом университете) на кафедре светотехники

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Будак Владимир Павлович

Официальные оппоненты: доктор технических наук

Лубенченко Александр Владимирович

кандидат технических наук

Макаров Денис Николаевич

Ведущая организация: Всероссийский научно-исследовательский,

проектно-конструкторский светотехниче-

ский институт имени С. И. Вавилова (ООО

«ВНИСИ»)

Защита состоится «17» октября 2008 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д212.157.12 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу 111250, Москва, ул. Красноказарменная, д. 13

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета)

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим присылать по адресу: 111250, Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Ученый совет МЭИ.

Автореферат разослан «___» __________ 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,
Д212.157.12, к.т.н., доцент Буре И.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Истощение природных ресурсов и загрязнение окружающей среды ставят задачу экономии электроэнергии в число наиболее важных на пути развития современного общества. В настоящее время в Российской Федерации реализуется Федеральная целевая программа «Энергоэффективная экономика на 2002 – 2005 года и на перспективу до 2010 года», утвержденная постановлением правительства РФ №726 от 17.11.2001 года. Проектирование и создание эффективных осветительных установок (ОУ) является неотъемлемой частью на пути снижения энергопотребления.

На сегодняшний день мы стали свидетелями перехода от инженерных методов расчета проектируемых ОУ, полностью сформулированных в 70-х годах и изложенных в работах Епанешникова М. М., к их моделированию, основы которых заложены еще в работах Матвеева А. Б.

Физически адекватное моделирование осветительных установок возможно только на основе уравнения глобального освещения (ГО). На сегодняшний день общепринятым подходом является переход к уравнению излучательности в диффузном приближении и его решение методом конечных элементов. Однако диффузная модель отражений очень плохо описывает свойства реальных материалов, а сам метод конечных элементов требует построения сетки, порождая при этом целый ряд проблем. Среди них можно отметить наиболее существенные: зависимость точности расчетов в различных участках сцены; невозможность уточнения результатов расчетов; отсутствие показателей погрешности расчетов.

На сегодняшний день известно несколько реализаций решения задач, в основе которых лежит уравнения ГО, с помощью прямого моделирования методом Монте-Карло. Среди них можно выделить работы Куща О. К., Коробко А. А. и Ходулева А. Б. Эти реализации позволяют повысить скорость сходимости по сравнению с методом конечных элементов, но не решают основных проблем, присущих ему. В частности, при прямом моделировании также необходима сетка конечных элементов.

Помимо прямого моделирования в математическом аппарате метода Монте-Карло известны локальные оценки. Исторически они развивались в атмосферной оптике и хорошо изложены в работах Марчука Г. И. Важно отметить, что локальные оценки, в отличие от метода конечных элементов и прямого моделирования, не требуют построения сетки конечных элементов, а также позволяют учитывать произвольную индикатрису рассеяния в уравнении переноса.

Применение методов локальных оценок к решению уравнения глобального освещения должно решить основные проблемы общепринятого на сегодняшний день метода конечных элементов. Это позволит не только физически точно моделировать осветительные установки, повышая их эффективность, но и повысить скорость вычислений.

Цели и основные задачи работы

Целью данной работы является разработка метода решения уравнения глобального освещения с помощью локальных оценок метода Монте-Карло.

Для достижения поставленной цели в работе были решены следующие задачи:

1. реализация механизма сравнения точности математических методов решения уравнения излучательности на основе аналитического решения задачи Соболева;
2. анализ решения уравнения излучательности методом конечных элементов;
3. разработка алгоритма решения уравнения излучательности локальной оценкой метода Монте-Карло;
4. вывод основных соотношений и реализация решения уравнения глобального освещения с помощью двойной локальной оценки метода Монте-Карло.

Основные положения, выносимые на защиту и научная новизна

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. метод решения уравнения излучательности с помощью локальной оценки метода Монте-Карло повышает эффективность расчетов более чем в 20 раз по сравнению с методом конечных элементов;
2. использование локальных оценок впервые позволяет ввести в моделирование осветительных установок физически адекватный учет зеркальной компоненты отражения, а двойная локальная оценка позволяет рассчитывать непосредственно яркость;
3. методы локальных оценок сходятся к точному аналитическому решению и методу излучательности и являются несмещенными;
4. метод локальной оценки позволяет, не ухудшая эффективности расчета, ввести учет спектральной зависимости для 10 – 20 длин волн, при этом потеря производительности составляет не более 3%;
5. локальная оценка позволяет не только рассчитывать световое поле осветительной установки, но и указывать на тенденции по оптимизации;
6. для физически адекватного моделирования осветительных установок необходимо перейти от диффузной модели отражения к модели, учитывающей зеркальную компоненту.

Практическая значимость диссертационной работы

1. разработанная программа расчетов освещенности с помощью локальной оценки позволяет существенно повысить эффективность моделирования осветительных установок;
2. созданная программа расчетов яркости двойной локальной оценкой может быть использована для оценки качественных показателей;
3. разработанный высокоэффективный алгоритм расчета освещенности локальной оценкой с учетом 10 – 20 длин волн может быть использован при цветовых исследованиях с учетом многократных отражений;
4. на основе предложенных алгоритмов возможно создание интерактивных коммерческих программ моделирования осветительных установок.

Достоверность результатов диссертационной работы

Достоверность результатов подтверждается математической строгостью всех преобразований, сравнением результатов расчетов, предложенными методами локальных оценок, с аналитическим решением задачи Соболева и общепринятой программой LightScape.

Апробация работы

По результатам диссертационной работы опубликовано 7 работ. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях: Научно-техническая конференция «Молодые светотехники России», декабрь 2005, Москва; Научно-техническая конференция «Молодые светотехники России», декабрь 2006, Москва; XIII Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», 1-2 марта 2007, Москва; Научно-техническая конференция «Молодые светотехники России», декабрь 2007, Москва; III Всероссийская конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде Matlab", 2007, Санкт-Петербург; XIV Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», 28-29 февраля 2008, Москва.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения и списка использованной литературы.

Работа изложена на 94 страницах и содержит 23 рисунка. Список литературы включает в себя 74 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследований, дана краткая характеристика работы.

Первый раздел работы посвящен аналитическому обзору существующих инженерных методов проектирования, компьютерному моделированию осветительных установок и решению интегральных уравнений методом Монте-Карло.

Инженерные методы проектирования были практические полностью сформулированы к 70-м годам прошлого века и изложены в работах М. М. Епанешникова. Расчеты больших осветительных установок по ним затруднительны и не точны. Так, например, учет многократных отражений возможен лишь для помещений с простейшей геометрией и то, только приближенными методами. Благодаря развитию компьютерной техники в настоящее время мы становимся свидетелями окончательного смещения парадигм в проектировании ОУ. На смену не точным и крайне трудоемким методам проектирования осветительных установок приходит их моделирование, позволяющее не только повысить скорость и точность расчетов, но и видеть реалистичное изображение еще только проектируемой установки и провести анализ влияния различных факторов на распределение света в освещаемой сцене.

В основе моделирования лежит уравнение глобального освещения, представляющее собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода

. 2 3

Уравнение (1) не имеет аналитического решения. На практике для его решения делается приближение о том, что все элементы в сцене диффузны, тогда можно перейти от яркости к светимости и после перехода к интегралу по пространству можно записать уравнение, получившее название уравнения излучательности

, 4 5

где F(r,r) – элементарный форм-фактор, – функция видности точки r из точки r.

Уравнение излучательности не имеет аналитического решения, за исключением двух частных случаев: фотометрической сферы и точечного изотропного источника между двух плоскостей (задача Соболева). Исторически его решают либо методом конечных элементов, либо методом трассировки лучей. Наиболее удачной реализацией метода конечных элементов является итерационный метод Саусвелла (Southwell). В настоящее время в большинстве компьютерных программ в начале рассчитывается освещенность при диффузных отражениях методом конечных элементов, а затем, при окончательной визуализации, учитываются зеркальные отражения с помощью трассировки в прямом ходе. Помимо такого подхода существуют решения на основе прямого моделирования уравнения ГО методом Монте-Карло, среди них можно отметить работы Куща О. К., Коробко А. А. и Ходулева А. Б.

Рассмотренные методы обладают целым рядом недостатков, которые оказывают негативное влияние при моделировании ОУ, отметим наиболее существенные из них:

1. диффузная модель отражений;
2. сложный и неоднозначный процесс построения сетки;
3. зависимость точности расчетов в различных участках сцены;
4. невозможность уточнения результатов.

Теория метода Монте-Карло, помимо прямого моделирования, позволяет проводить оценку функционалов с помощью локальных оценок. Локальные оценки получили широкое развитие в атмосферной оптике для решения уравнения переноса и находят свое отражение в работах Марчука Г. И. Важно отметить, что такой подход позволяет учитывать произвольную индикатрису рассеяния и не требует построения сетки конечных элементов.

Во втором разделе происходит вывод основных соотношений и анализ реализации алгоритма для решения уравнения глобального освещения локальными оценками метода Монте-Карло, а также рассматривается реализация алгоритма метода излучательности и проводится анализ решения задачи Соболева.

При разработке любого численного метода важно иметь эталонное решение. Уравнение излучательности (2) имеет аналитическое решение для случая точечного изотропного источника между двух бесконечных плоскостей (задача Соболева). Для распределения освещенности по плоскости можно получить выражение

. 67

Аналогичное выражение можно получить и для распределения освещенности по второй плоскости. В результате получается система интегральных уравнений типа свертки. Решение их основано на переходе в спектр через преобразование Фурье. После чего, проведя ряд преобразований, с учетом известных соотношений для функций Бесселя с помощью обратного преобразования Фурье можно получить итоговое аналитическое выражение для распределения освещенности

. 89

Решение задачи Соболева позволяет однозначно говорить о точности различных методов решения уравнения излучательности.

Далее рассматривается реализация метода конечных элементов для уравнения излучательности в среде Matlab. Расчеты разбиты на два основных этапа: определение начальной светимости поверхностей сцены от прямых источников света и расчеты многократных отражений. При этом на первом этапе формируется сетка конечных элементов. Выделяют два основных типа сетки: статическая и адаптивная. Работа с адаптивной сеткой сложнее по сравнению со статической, так как необходимо очень точно подбирать параметры, управляющие ее ростом, но она позволяет добиться более качественных результатов по сравнению со статической сеткой. После формирования сетки конечных элементов и определения начальной светимости начинается непосредственно расчет многократных отражений.

Согласно итерационному методу Саусвелла выбирается элемент с максимальной энергией, который на данной итерации будет передавать ее другим элементам сцены через форм-фактор. Аналитического решения для форм-фактора в общем случае нет, поэтому применяются численные методы его вычисления. Среди них наибольшую распространенность получили два: метод полукуба и метод полусферы. Передав энергию всем элементам сцены, выбирается новый элемент с максимальной энергией, который будет источником на следующей итерации. Таким образом могут быть учтены многократные отражения в сцене.

Рассмотренный метод конечных элементов является на сегодняшний день общепринятым подходом к решению уравнения ГО. В данной работе предлагается принципиально иной подход к решению уравнения глобального освещения на основе локальных оценок метода Монте-Карло, получивших наибольшее развитие в атмосферной оптике и в частности в работах Марчука Г. И.

В уравнении (1) интегрирование производится по телесному углу, что не является удобным при моделировании. Тогда, перейдя к интегралу по пространству, а также с учетом того, что искомая функция под интегралом стоит в точке r, а определяется в точке r и при этом переменные r и не являются независимыми, уравнение примет вид

. 10 11

Уравнение (5) содержит в себе -функцию, затрудняющую моделирование методом Монте-Карло. Устранить ее можно, проинтегрировав по пространству, что физически будет эквивалентно переходу к освещенности. Отметим также, что уравнение излучательности (2) не содержит особенности. Соответственно локальная оценка будет иметь вид

, 12 13

где – ядро уравнения.

Выражение (6) получило название локальной оценки метода Монте-Карло. Таким образом, для вычисления освещенности в некоторой заданной точке r необходимо построить Марковскую цепь блужданий в пространстве и на каждом акте вычислять величину k(r,r) для исследуемых точек. Математическое ожидание этой величины будет равно освещенности.

В рамках данной работы локальная оценка была реализована в среде Matlab. Для расчета многократных отражений в сцене не формируется сетка конечных элементов, а фиксируется набор точек, в которых мы хотим вычислять значения освещенности.

Вычисления основаны на построении цепи Маркова, соответственно, мы должны определить начальную точку этой цепи и соответствующий начальный вес разыгранного луча Q0. В качестве начальной точки выбирается один из источников излучения. Направление вылета разыгрывается равновероятно, а реальное распределение силы света учитывается весовыми коэффициентами.

Определив луч вылета из источника, ищется точка пересечения этого луча с ближайшим элементом сцены, и вес луча уменьшается на коэффициент отражения Q1=Q0. После чего для каждого из приемников вычисляется ядро уравнения излучательности k(r,r), где r – точка пересечения луча с элементом сцены, а r – приемник. Полученные значения, умноженные на текущий вес луча, прибавляются к освещенности в приемнике. После этого разыгрывается новое направление луча, а плотность вероятности перехода выбирается

. 1415

Далее вновь ищется точка пересечения луча с элементом сцены. Луч отслеживается в сцене до тех пор, пока его вес не станет ниже порогового либо он не покинет пределы сцены. Далее разыгрывается новый луч вылета из источника. После накопления статистики полученные значения светимости усредняются и нормируются, тем самым получается непосредственно значение освещенности в приемнике.

Для локальной оценки было проведено сравнение не только с точным аналитическим решением Соболева, но и с общепринятыми на сегодняшний день программами LightScape и DIAlux. В результате была получена хорошая сходимость результатов. Сравнение с задачей Соболева представлено на рисунке 1.

Рис. 1. Сравнение локальной оценки с точным решением Соболева.

Решение уравнения глобального освещения представимо в виде ряда Неймана, что позволяет провести преобразования

. 1617

В обычной форме это примет вид

1819

Локальная оценка, соответствующая последнему выражению, может быть названа двойной локальной оценкой и примет вид

, 2021

где

. 22 23

В выражении (11) -функция исчезает вследствие интегрирования, и, при этом, независимые переменные соответствуют геометрии распространения луча.

Таким образом, двойная локальная оценка позволяет проводить моделирование уравнения глобального освещения и вычислять непосредственно яркость от кратностей отражения выше первой с учетом произвольного закона отражения, а первая кратность может быть вычислена непосредственно.