Разработка модели эволюции валютных котировок.

Составив из строк матрицу S и из чисел вектор для r-ого шага итерационного процесса (6) имеем:

, (11)

Для оценивания параметрического вектора предложен следующий алгоритм:

1. Вычислить остатки ;
2. Необходимо вычислить первоначальные приближения.

В качестве оценки возьмем выборочное среднее доходностей. Далее находим безусловную выборочную дисперсию:

,

Параметры,,, выбираем положительными и такими, что. Например, можно взять,,,, где верхний индекс 0 обозначает начальное приближение параметра. В качестве начального приближения для параметра возьмем безусловную выборочную дисперсию.

3. вычислить условные дисперсии по рекуррентной формуле (2);
4. вычислить градиенты условной дисперсии, которые являются производными по параметрам: (, , ,, ):

;

5. вычислить Q, S, , ;
6. вычислить ;
7. выбрать необходимую точность определения значений компонент вектора. Проверить условие. Если условие выполнено завершить цикл;
8. выбрать коэффициент так, чтобы новое значение параметров оказалось в допустимой области и давало больший уровень функции правдоподобия, чем, т.е. ;
9. начать новую итерацию.

При создании модели большую роль играет не только точность прогноза, но количество используемых параметров. Для этого исследователями были созданы различные критерии такие как: критерий Акаике (AIC), критерий Шварца (BIC) и т.д. В настоящей работе на основе критерия Акаике был разработан новый PIC-критерий (PIC – Prognosis Information Criterion):

, (12)

, (13)

где — сумма квадратов отклонений прогноза логарифмической доходностей и их истинных значений, Q – число параметров модели, i – номер эксперимента, N – число экспериментов.

Число параметров подбирается таким образом, чтобы значения критерия было минимальным. После того, как было найдено значение числа параметров модели, перебором всех возможных вариантов значений каждого параметра в отдельности при условии сохранения постоянным общего числа параметров, выбираем ту модель, которая дает наилучший прогноз.

Третья группа вопросов посвящена построению системы поддержки принятия решений о покупке/продаже валюты, реализующую автоматическую торговлю. Главной задачей трейдера на фондовом рынке является покупка актива по низкой цене и его продажа по более высокой. Поэтому данная система должна принимать решения на основе прогноза, полученного с помощью предложенной модели эволюции валютных котировок. Эта система должна на основе экстраполяции прошлых данных определять будущее направление, величину и волатильность будущих изменений цены актива. В силу специфики рынка данная система должна представлять собой адаптивную нелинейную систему. Примером такой системы служит нейронная сеть. На вход данной системы будут подаваться прогнозные значения, полученные на основе модели эволюции цен активов и необработанные данные о доходностях актива за прошлые периоды времени.

Технический анализ пользуется у трейдеров большой популярностью. Основы технического анализа сформулировал еще в начале XX века Чарльз Доу. В техническом анализе утверждается, что в ценовых графиках содержится информация о реакциях инвесторов на те или иные события. Поэтому понимание психологии рынка может позволить его профессиональному участнику предсказывать будущие тенденции. В рамках диссертационного исследования было показано, что использование общепринятых стратегий торговли в сочетании с моделированием эволюции цен активов дает положительный результат. Такими стратегиями являются правило превышения предела изменения цен (TRB – trading range break) и правило скользящего среднего (MA – moving average). Правило TRB заключается в том, что покупать актив следует, когда цена превысит свое предыдущее наивысшее значение, и продавать актив, когда цена упадет ниже последнего минимума. Как покупка, так и продажа валюты на основе правила TRB совершается на основе предположения о сохранении ценового тренда в дальнейшем. Правило MA заключается в том, что следует покупать, когда краткосрочные скользящие средние превышают долгосрочные скользящие средние, и продавать, когда краткосрочные скользящие средние опускаются ниже долгосрочных. Заметим, что непосредственное применение данных стратегий без использования нейронных сетей не приводит к значительным результатам. Успехи спекулянтов в таком случае можно отнести в большей мере к их интуиции, а не использованию строгой математической системы. Нейронные сети в свою очередь позволяют распознавать и классифицировать образы, что обуславливает их применение в техническом анализе.

Для решения поставленной задачи в настоящей работе было предложено использовать блочную структуру для системы поддержки принятия решений о покупке/продаже валюты. Данная система представлена на рис.1.

Первый блок представляет собой нейронную сеть. Входными данными для данной сети являются прогнозы валютных котировок, сделанные с помощью AdGARCH-модели, и значения ширины 95% и 99% доверительных интервалов для каждого из прогнозов. Выходной слой состоит из одного элемента, который принимает три значения: -1 – продать валюту, 0 – ничего не предпринимать, 1 – покупать валюту.

Рис.1 Блочная структура СППР о покупке/продаже валюты

Второй блок представляет собой нейронную сеть, структура которой определяется на основе решающего правила:

(14)

где и – величины лагов краткосрочных и долгосрочных скользящих средних, – величина логарифмической доходности в момент времени t. Входной слой данной нейронной сети состоит из 20 элементов. Входными величинами являются логарифмические доходности. Выходной слой состоит из одного элемента, который принимает три значения: -1 – продать валюту; 0 – ничего не предпринимать; 1 – покупать валюту.

Третий блок представляет собой логический блок и принимает решение на основе правила превышения предела изменения цен. Решающее правило для третьего блока имеет вид:

(15)

где – значение валютной котировки в момент времени t.

Если цена актива превышает максимальное значение предыдущего периода, тогда следует покупать актив. Если цена актива становится ниже минимального значения предыдущего периода, тогда следует продавать актив. Если цена актива находится между минимальным и максимальным значениями предыдущего периода, тогда ничего не предпринимать.

Четвертый блок представляет собой нейронную сеть. Как известно, нейронные сети используются для классификации и распознавания образов. Этим обусловлено их широкое применение в техническом анализе. Технический анализ основан на анализе минимальных и максимальных цен, а также цен открытия и закрытия в предыдущих периодах. Поэтому данные цены будем использовать в качестве входных данных. Данная сеть использует для анализа 5 предыдущих периодов. Следовательно, необходимо использовать 20 входных элементов. Выходной слой состоит из одного элемента, который принимает три значения: -1 – продать валюту; 0 – ничего не предпринимать; 1 – покупать валюту.

Выходной блок представляет собой гибридную нейронную сеть, входными элементами которой служат значения, полученные вышеперечисленными блоками. Выбор гибридной нейронной сети в качестве главного решающего инструмента обусловлен тем, что данная сеть способна как к обучению, так и способностью делать выводы на основе нечеткой информации, которой по сути являются входные данные данной сети. Выходной слой состоит из одного элемента, который принимает три значения: -1 – продать валюту; 0 – ничего не предпринимать; 1 – покупать валюту.

Четвертая группа вопросов посвящена реализации и апробации разработанной модели. В работе выполнен анализ инструментальных средств создания информационной системы поддержки принятия решений о покупке/продаже валюты. В ходе экспериментальной проверки показывается, что предлагаемая модель эволюции валютных котировок дает лучшее качество прогноза по сравнению с аналогами. Качество прогноза оценивается по нескольким критериям. Первый критерий представляет собой сумму квадратов отклонений прогнозируемой величины от ее реального значения:

, (16)

где – прогнозное значение логарифмической доходности в i-том эксперименте, – значение логарифмической доходности в i-том эксперименте, – число экспериментов.

Таблица 1.

Критерии оценки качества прогнозирования валютных курсов.

Критерий	ARCH	GARCH	AdGARCH
	0.031	0,025	0,015
95%	0.067	0,053	0,033
99%	0.095	0,078	0,052

В качестве второго критерия возьмем половину ширины 95% и 99% выборочных доверительных интервалов. Чем лучше прогноз, тем меньше значение ширины доверительных интервалов. Выбор данных критериев обусловлен их простотой и наглядностью. В работе проводится оценка эффективности предложенной модели с помощью эмпирического исследования основанного на котировках валютных пар EUR/USD на рынке FOREX за период с 01.01.2001 по 31.12.2009 г. В таблице 1 представлены результаты исследования. В 1-ой строке представлена средне-квадратичная ошибка прогноза для моделей ARCH, GARCH и AdGARCH. Во 2-ой и 3-ей строках представлены значения половины ширины выборочных доверительных интервалов для каждой из рассмотренных в данном исследовании моделей. Таблица 1 наглядно показывает превосходство предложенной модели AdGARCH перед традиционной GARCH-моделью.

Также в работе выполнен анализ структуры и параметров обучения нейронных сетей. Структура нейронной сети, реализующей правило пересечения скользящих средних, определяется решающим правилом (14). Данная сеть имеет 20 входов, один внутренний слой, состоящий из двух нейронов и один выходной элемент. В качестве топологии данной сети была выбрана сеть прямого распространения. В ходе исследования было выяснено, что лучшей функцией активации для нейронов внутреннего слоя является линейная функция; лучшим из рассмотренных в данной работе алгоритмов обучения является метод оптимизации Левенберга-Марквардта.

С точки зрения топологии, нейронная сеть, принимающая решения на базе AdGARCH-модели, является сетью прямого распространения. Данная сеть имеет 6 входов, один внутренний слой, состоящий из 20 элементов и один выходной элемент. Лучшей функцией активацией для нейронов внутреннего слоя является сигмоидальная логистическая функция. Лучшим из рассмотренных в данной работе алгоритмов обучения является метод оптимизации Левенберга-Марквардта.

С точки зрения топологии, нейронная сеть, принимающая решения на основе технического анализа, является сетью прямого распространения. Данная сеть имеет 20 входов, 25 нейронов в первом внутреннем слое, 20 нейронов во втором внутреннем слое. Оптимальной функцией активации нейронов внутренних слоев является сигмоидальная логистическая функция. Лучшим из рассмотренных в данной работе алгоритмом обучения является метод оптимизации Левенберга-Марквардта.

В данной работе была проведена апробация системы поддержки принятия решений на валютном рынке. Апробация показала успешную работу данной системы. На рис.2 представлен график доходности, полученный в результате апробации разработанной в данной работе СППР:

Рис.2 Доходность торговых операций на рынке FOREX, совершенных СППР.

На рис. 2 по оси X отложены дни, а по оси Y доходность от торговых операций от начала периода до текущего дня включительно.

В ходе апробации системы поддержки принятия решений о покупке/продаже валюты было проведено исследование, обеспечивает ли данная система доходность выше доходности по рынку. Исследование проводилось на основе моделирования торговых операций с валютной парой EUR/USD с начала 2001 г. до конца 2009 г. Результаты данного исследования представлены в таб.2. За рыночную доходность была принята доходность от торговых операций с покупкой валютной пары 01 января рассматриваемого года и ее продажей 31 декабря этого года. Во третьем столбце таб.2 показана доходность СППР, использующей прогнозы на базе AdGARCH-модели, а в четвертом столбце – прогнозы на базе GARCH-модели.

Таблица 2.

Апробация СППР о покупке/продаже валюты.

Год	Рыночная доходность	Доходность СППР (AdGARCH)	Доходность СППР (GARCH)
2001	-5.96%	8.31%	5.67 %
2002	18.11%	22.47%	12.54 %
2003	14.41%	20.59%	15.32 %
2004	13.08%	17.72%	10.48 %
2005	-12.58%	13.15%	4,24 %
2006	11.18%	16.63%	8,71 %
2007	3.2%	7.61%	5,62 %
2008	2.37%	7.43%	3,29 %
2009	2.87%	8.94%	2,95 %