Оптимизация портфеля финансовых опционов

– массив позиций базисных активов в денежном выражении;

– элемент массива .

Поскольку в дальнейших расчетах потребуется использование «греков» опционов, которые рассчитываются для каждого опциона, необходимо получить количественное выражение позиций:

– множество позиций опционов колл, пут и базисов в количественном выражении (штук контрактов);

– массив позиций опционов колл в количественном выражении;

;

– элемент массива ;

– массив позиций опционов пут в количественном выражении;

– элемент массива ;

;

– массив позиций базисных активов в количественном выражении;

– элемент массива ;

.

Ковариационную матрицу логарифмических доходностей базовых активов опционов обозначим через , порядок данной матрицы равен . Для расчета показателя VaR, использовался метод дельта-гамма с разложением Корниша-Фишера. Данное разложение для четырех моментов будет выглядеть следующим образом:

,

где - квантиль нормального стандартного распределения уровня . Показатель VaR с доверительным уровнем может быть получен по формуле:

.

Для портфеля с известными и факторами риска, распределенным нормально с параметрами , можно найти:

- математическое ожидание изменения стоимости портфеля,

- дисперсия изменения стоимости портфеля, где

, ,

или более подробно

,

,

где и дельта и гамма портфеля опционов соответственно.

Для формулировки одной из систем ограничений необходим вектор . Структура данного вектора выглядит следующим образом:

,

где 6 – функция стоимости портфеля опционов, – волатильность (стандартное отклонение доходности i-го базиса) опциона с базовым активом. Тогда для портфеля опционов вектор будет следующим:

Задача оптимизации опционной комбинации выглядит следующим образом:

,

, (3.3.1)

где

- показатель риска VaR для портфеля ,

– веса позиций опционов колл в портфеле,

– веса позиций опционов пут в портфеле,

- веса позиций базисных активов в портфеле,

- функция доходности портфеля ,

- необходимая доходность (задается инвестором),

, , - доходности опционов колл, пут и базисных активов (известные величины, зависят от прогноза поведения цен базисных активов),

– вега портфеля.

При этом используются предположения для формулы Блэка-Шоулза:

1. Цена акции следует процессу геометрического броуновского движения с постоянным математическим ожиданием и стандартным отклонением .
2. Разрешены короткие продажи
3. Отсутствую транзакционные издержки. Разрешены неполные лоты.
4. Отсутствуют дивиденды в течение жизни дериватива.
5. Отсутствуют арбитражные возможности.
6. Акции торгуются постоянно (непрерывно).
7. Безрисковая ставка доходности постоянна и равна для всех срочностей.

В следующем разделе рассматривается численный пример оптимального инвестирования.

3.4 Сравнительный анализ оптимальных опционных комбинаций со стандартными

В качестве инструментов инвестирования используются опционы, торгующиеся на отечественном срочном рынке, а именно в срочной секции фондовой биржи РТС. Выбрано два наиболее ликвидных опциона на фьючерсы компаний «Газпром» и РАО «ЕЭС». Каждый из опционов имеет две активно торгующихся цены исполнения. В качестве даты исполнения для всех опционов выбирается одна и та же дата. Выбранные характеристики опционов достаточно адекватно отражают действительную ситуацию на отечественном срочном рынке при формировании исходного множества инструментов.

В данной работе в качестве стрессовых сценариев поведения рисковых факторов использовались диапазоны движения доходностей базовых активов и подразумеваемых волатильностей. Для доходностей был выбран отрезок [-0,2; 0,2], для волатильностей – [0,2; 0,7]. Выбор данных отрезков обусловлен историческим поведением цен базовых активов и подразумеваемых волатильностей опционов на эти активы в периоды кризисов на отечественном рынке. Для оценки максимального убытка (в рамках определенного выше стрессового поведения риск факторов) минимизировалась доходность портфеля с учетом описанных выше диапазонов. Формально данную задачу можно записать следующим образом:

где

- функция доходности портфеля ,

– доходность i-го базового актива,

– подразумеваемая волатильность опционов на i-ый базовый актив

Построив набор оптимальных портфелей, проведя процедуру бэктестинга выбранных моделей и убедившись в их адекватности, далее сравним некоторые оптимальные портфели со стандартными опционными комбинациями и построим эффективные границы. Сравнение оптимальных портфелей производилось с опционными комбинациями и единичными опционами, которые используются при ожидании роста цен базовых активов.

В качестве критерия сравнения использовались дневная доходность, показатель VaR в относительном выражении, максимальный риск в относительном выражении. Для состоятельности сравнения оптимальных портфелей со стандартными комбинациями необходимо сохранить начальные условия, т.е. начальную стоимость портфеля равную 1 млн. руб., а также предположение о росте базовых активов на 1% за день (подразумеваемую волатильность, цены базовых активов, цены опционов и т.д.). Результаты сравнения опционных комбинаций на 13.02.06 представлены ниже (таблица 3.4.1).

Таблица 3.4.1

Наименование комбинации	Однодневный 95% VaR	Дневная доходность	Максимальный риск	Стресс сценарии
Длинные коллы	-31,64%	5,26%	-99,61%	-20%	-20%	20%	20%
Короткие путы	-65,23%	8,95%	-430,85%	-20%	-20%	70%	70%
Стрэддл	-11,12%	1,42%	-66,86%	-1%	-16%	20%	20%
Стрэнгл	-11,29%	0,75%	-75,78%	1%	-14%	20%	20%
Бычий срэд колл	-4,61%	0,79%	-18,55%	-20%	-20%	20%	20%
Бычий спрэд пут	-6,89%	1,54%	-42,09%	-20%	-20%	20%	20%
Бэкспрэд колл	-7,97%	1,45%	-30,81%	1%	-16%	20%	20%
Оптимальный портфель 3	-23,74%	5,00%	-133,31%	-20%	20%	20%	20%

Из таблицы видно, что бычий спрэд пут доминирует стрэддл и стрэнгл. Эффективная кривая будет выглядеть следующим образом (рис. 3.4.1).

Построенная на основании таблицы 3.4.1 эффективная кривая включает в себя недоминируемые стандартные комбинации и одну оптимальную комбинацию. Рассмотрим, как изменится эффективная кривая, если она будет полностью состоять из оптимальных комбинаций. Для построения новой эффективной кривой необходимо для каждого значения доходности доминирующих комбинаций из таблицы 3.4.1 построить оптимальную комбинацию. Результат данного построения приведен в таблице 3.4.2.

Наименование комбинации	Однодневный 95% VaR	Дневная доходность	Максимальный риск	Стресс сценарии
Оптимальный портфель 1	-0,11%	0,79%	-4,00%	-20%	-3%	70%	20%
Оптимальный портфель 2	-4,84%	1,54%	-19,47%	-20%	-20%	70%	20%
Оптимальный портфель 3	-23,74%	5,00%	-133,31%	-20%	20%	20%	70%
Оптимальный портфель 4	-29,37%	5,26%	-157,67%	-20%	-20%	20%	70%
Оптимальный портфель 5	-41,18%	8,95%	-269,58%	-20%	-20%	70%	20%