Оценка ковариационной матрицы для случая временных рядов различной частотности и приложения для моделей финансовых рынков cпециальность
Отметим, что если последовательность случайных векторов такова, что ковариационные матрицы
векторов
имеют предел10
– некоторую
действительную матрицу11, то только в этом случае можно говорить о состоятельности оценки при
в обычном смысле. Если этот предел не существует, то под состоятельностью оценки, следуя, например, работе [Newey, West, 1987], мы понимаем условие
при
.
Оказывается, можно сконструировать оценку для матрицы на основе временного ряда частичных сумм
, даже если некоторые его значения «пропущены» (недоступны).
Предлагаемая в работе оценка имеет следующий вид:
,
,
где
– вектор из нулей и единиц, его i-я компонента равна нулю тогда, когда компонента наблюдения
пропущена,
– диагональная матрица с элементами этого вектора на диагонали,
,
– наибольший из моментов времени
, когда
«доступна».
Получен результат о том, что оценка является положительно полуопределенной для любого
, при условии (Условие 1), что веса
для этого
могут быть представлены в виде:
Теорема 1. При выполнении Условия 1 на веса матрица
является положительно полуопределённой.
Далее доказано, что данная оценка является состоятельной оценкой матрицы (или матриц
в вышеуказанном смысле), если (будем называть это Условием 2)
1. веса для любых
,
удовлетворяют ограничению
для некоторого конечного
, а также
,
2. такова, что
и
.
Теорема 2. Предположим, что выполнены следующие условия:
(i) При любом
как сложная функция измерима на
при любом
и с вероятностью 1 непрерывно дифференцируема по
в некоторой окрестности
точки
– внутренней точки множества
.
(ii) (a) Существует измеримая функция , такая, что для любого
, для любого целого
и любого
верно что
и
, причём для некоторой константы
выполнено
.
(б) Существуют конечные константы ,
и
, такие, что для любого натурального
и любого
таких, что
выполняется
.
(iii) Для любого последовательность
обладает свойством
-перемешивания с коэффициентами перемешивания
размера
, либо обладает свойством
-перемешивания с коэффициентами перемешивания
размера
для некоторого
.
(iv) Случайная величина такова, что
сходится по распределению к некоторой случайной величине при
.
Тогда при выполнении Условия 2 на веса
|
К примеру, всем условиям, приведённым выше, одновременно будет удовлетворять набор весов (в этом случае
для любого
и любого
).
Открытым в некоторой степени остаётся вопрос о выборе вектора весов . Второй теоретический результат работы отностится именно к этой области.
Наименьшее среднеквадратичное отклонение12 элементов оценки от истинного значения асимптотической ковариационной матрицы даёт так называемое квадратическое спектральное ядро:
(1.14) , для некоторого
, где
.
Единственным его недостатком является то, что для положительной полуопределённости оценки. Иными словами в оценку войдёт огромное количество автоковариаций очень высокого порядка. В такую оценку входит столько же слагаемых, сколько имеется наблюдений, что неудобно на длинных выборках и приводит к низкой точности на коротких выборках.
Более того, оказывается, что простое отбрасывание слагаемых высокого порядка приводит к потере положительной полуопределённости, как показывает следующий пример. Рассмотрим выборку одномерных наблюдений
,
, где
при нечетном
и
при четном
. Возьмем
и
. Веса
и значения выборочных автоковариаций
при
приведены в следующей таблице.
|
|
|
0 |
- |
1.00 |
1 |
0.914 |
-0.95 |
2 |
0.687 |
0.90 |
3 |
0.398 |
-0.85 |
4 |
0.138 |
0.80 |
5 |
-0.029 |
-0.75 |
6 |
-0.086 |
0.70 |
При этих значениях .
Возникает вопрос о построении таких весов , которые бы обладали одновременно тремя свойствами:
- гарантировали положительную полуопределённость оценки,
- содержали намного меньше ненулевых элементов, чем длина выборки,
- сходились к квадратическим спектральным весам при росте выборки.
Доказано, что такое возможно.
Второй теоретический результат диссертации говорит, что такие веса можно построить по формуле
(1.16) ,
,
где числа определены как
(1.18) ,
это какая-нибудь функция, монотонно возрастающая и принимающая положительные значения, такая что
(1.17) ,
,
а определяется через функцию Бесселя первого порядка как
.
То, что такие веса с одной стороны гарантируют положительную полуопределённость оценки, очевидно из теоремы 1. Также в главе 1 доказана теорема о том, что они сходятся к квадратическим спектральным весам, описанным выше.
Теорема 3. Предположим, что
1) функция удовлетворяет приведенным выше условиям, в частности, условиям (1.17);
2) веса рассчитаны по формулам (1.16), (1.18);
3) веса рассчитаны по формулам (1.14) при
, то есть
.
Тогда при
.
Визуально качество аппроксимации можно оценить по Рис. 2.
Рис. 2. Пример качества аппроксимации весов весами
Как оказалось во второй главе работы, при численном исследовании, такой укороченый набор весов приводит к более высокой точности оценок в случае коротких выборок, а в случае же длинных выборок оценки оказываются настолько же точны, как и непосредственно с использованием квадратического спектрального ядра.
Во второй главе работы проведено сравнение точности оценок ковариационной матрицы. Сравнение сделано по двум критериям, описание которых дается в разделах 4 и 5. Одним из этих критериев является точность оценок коинтеграционного вектора (критерий взят из работы [Phillips, Ouliaris, 1988]13), другим – точность оценок коэффициентов регрессии для I(1) временных рядов (из работы [Phillips, Moon, 1999]). Были выбраны эти критерии, т.к. во многих прикладных задачах важна точность этих векторов, а не самих элементов матрицы. Под словом «точность» мы понимаем выборочное среднеквадратичное отклонение от значения оцениваемой величины, как это сделано в [Айвазян, Мхитарян, 1998; стр. 239].
В работе получена процедура выбора параметра ширины диапазона на основе данных различной частотности. В литературе такие процедуры носят название “automatic bandwidth selection” или “automatic lag selection”, (см., например [Newey, West, 1994]14 или [Christou, Pittis, 2002]15). Новизна же полученной процедуры заключается в том, что она рассчитана на данные различной частотности.
Для сравнения точности в случае временных рядов одинаковой частотности было проведено сравнение с оценкой ковариационной матрицы из другого класса – упрощённой версией т.н. оценки VARHAC, подробно исследованной в [Den Haan, Levin, 2000]16. Она основана на многомерном расширении рекурсии Левинсона-Дурбина, при помощи которого по ковариационной функции ,
строятся коэффициенты
процесса
-матрицы
,
и ковариационная матрица инноваций
этого
процесса, такие, что ковариационная функция этого процесса совпадает с
для всех
. Обозначим за
,
и
такие
-матрицы, которые получены этим способом из выборочных оценок ковариационной функции
,
. Упрощённая оценка VARHAC имеет вид:
|
(2.1) |
В случае одинаковой частотности произведено сравнение точности с оценками:
|
(2.2) |
|
|
(2.3) |
|
|
(2.4) |