Оценка ковариационной матрицы для случая временных рядов различной частотности и приложения для моделей финансовых рынков cпециальность

На правах рукописи

Панов Евгений Валерьевич

Оценка ковариационной матрицы для случая временных рядов различной частотности и приложения для моделей финансовых рынков

Cпециальность 08.00.13 – «Математические и инструментальные методы экономики»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Государственном университете – Высшей школе экономики

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,
Шведов Алексей Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Завриев Сергей Константинович
кандидат физико-математических наук

Катышев Павел Константинович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН

Защита состоится «22» марта 2010г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.013.02 Учреждения Российской академии наук Центрального экономико-математического института РАН по адресу: 117418, г. Москва, Нахимовский проспект, д. 47, ауд. 520.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦЭМИ РАН.

Автореферат разослан « » ________ 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук С.В. Борисова

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследователи часто встречаются с необходимостью работать с временными рядами различной частотности. К примеру, с макроэкономическими данными и данными с финансовых рынков. Одним из возможных подходов при построении эконометрических моделей в этом случае является прореживание более частых временных рядов. Но это приводит к потере значительной части информации, поскольку остающиеся после прореживания наблюдения в некотором смысле не будут передавать тип поведения наблюдаемых величин. Поэтому при работе с данными различной частотности актуальным является вопрос, нельзя ли построить оценки параметров эконометрических моделей таким образом, чтобы не терять информацию, т.е. каким-нибудь образом обойтись без прореживания. Это, к примеру, возможно для случая линейной регрессии (см. [Ghysels, Santa-Clara, Valkanov, 2002]1 и [Ghysels, Sinko, Valkanov, 2007]2) или для оценки параметров GARCH-процесса с некоторым изменением спецификации (см. [Ghysels, Jasiak, 1997]3).

Такая ситуация показана на Рис. 1 для двух величин (условно обозначенных Z1 и Z2), наблюдаемых в различные (нерегулярные) моменты времени. Прикладные задачи, требующие оценок, основанных на данных различной частотности, являются примерами задач, в которых данные могут быть смоделированы как последовательность случайных векторов, не все компоненты которых известны во все моменты времени.

Рис. 1. Пример величин, зависящих от времени и наблюдаемых с различной частотностью

Использование данных различных частотностей сопряжено с определёнными трудностями. Дело в том, что многие оценки из области анализа временных рядов для такого рода данных не предназначены. В недавнее время в этом направлении было получено несколько результатов. К примеру, так были обобщены оценки коэффициентов линейной регрессии или оценки параметров GARCH-процесса с некоторым изменением спецификации.

Вопросам оценивания асимптотических ковариационных матриц посвящено большое число научных работ в области эконометрики и спектрального анализа. Классическими трудами, описывающими подходы к решению данной проблемы, являются работы М. Пристли, М. Бартлетта, У. Ньюи, К. Веста, Д. Эндрюса, П. Филлипса, У. Ден Хаана, А. Левина, Х. Уайта, Э. Парзена, П. Даниэлла и др. С современными подходами к оцениванию некоторых параметров в случае временных рядов различной частотности можно ознакомиться в работах Э. Гайселса, Р. Валканова, А. Синько и др.

В данной работе получено обобщение оценки асимптотической ковариационной матрицы на случай временных рядов различной частотности. Такая оценка автоматически может обобщить на этот случай и методику оценки коэффициента «бета» для российских акций «второго эшелона РТС», и оценки коинтеграционного вектора, и метод главных компонент, и многие оценки из области многофакторного статистического анализа (см. обзор в [Айвазян, Мхитарян, 1998; стр. 546-564]4). В третьей главе работы описана методика оценки коэффициента «бета» – меры систематического риска, актуальной для российских акций «второго эшелона РТС».

Основные цели работы. Целями исследования являлись: обобщение оценки асимптотической ковариационной матрицы на случай временных рядов различной частотности; а также, как один из примеров её применения, оценивание коэффициента «бета» для российских акций «второго эшелона РТС», сделки по которым происходят нерегулярно – зачастую реже одного раза в день.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. получение формулы для обобщенной оценки асимптотической ковариационной матрицы Ньюи и Веста на случай временных рядов различной частотности;
2. доказательство теорем о том, что полученная оценка обладает всеми свойствами оценки Ньюи и Веста (положительная полуопределённость и состоятельность);
3. вывод формулы «усечённого» спектрального ядра для данной оценки, которое бы существенно облегчило расчёты, обобщая т.н. квадратическое спектральное ядро, признанное наиболее эффективным в своём классе;
4. доказательство свойств предложенного «усечённого» ядра (сходимости к квадратичному спектральному ядру и гарантии положительной полуопределённости);
5. численное исследование свойств предложенной оценки и предложенного ядра;
6. создание прототипа методики оценки коэффициента «бета» для акций «второго эшелона РТС».

Научная новизна исследования заключается в разработке новых методов оценок для временных рядов различной частотности. Главный результат работы – это обобщение оценки, определённой лишь для временных рядов одинаковой частотности, на случай рядов различной частотности и теоремы о сохранении всех её свойств. Ещё один результат, полученный в работе, – это спектральное ядро для оценок ковариационной матрицы, которое одновременно является «усечённым» (не зависит от автоковариаций высоких порядков), положительно полуопределённым и сходящимся к наиболее «точному» ядру из данного класса. Такого сочетания свойств не имеет ни одно другое известное автору спектральное ядро. Более того, в численном исследовании на коротких выборках данное ядро давало более точные результаты, чем квадратическое спектральное. Как следствие, в работе показано, как на основе полученной матрицы обобщить оценку коинтеграционного вектора и некоторых других параметров для случая временных рядов различной частотности. В-третьих, в данной работе впервые такие оценки численно сравниваются в случае временных рядов различной частотности. И, наконец, предложенная методика оценивания коэффициента «бета» для акций, торгуемых не каждый день, тоже вносит вклад в научную новизну работы.

Все основные результаты получены автором лично и являются новыми (за исключением доказательства одной из теорем об укорочении набора весов, полученного в соавторстве с научным руководителем А.С. Шведовым).

Методы исследования. При проведении исследования использовались методы математической статистики, теории вероятностей, стохастических процессов, спектрального анализа, эконометрики, анализа временных рядов, эмпирических финансов, оценки ценных бумаг и портфельной теории.

Теоретическая и практическая значимость результатов исследования. Теоретическая значимость результатов состоит главным образом в том, что полученная оценка обладает всеми преимуществами оценок с укороченными ядрами и оценок с квадратическими спектральными ядрами, но не наследует многих их недостатков. А именно, преимуществом оценок с укороченными ядрами является лёгкость вычисления и независимость от выборочных автоковариаций высокого порядка, а недостатком – низкая скорость сходимости. Преимуществом квадратических спектральных оценок является большая скорость сходимости, а недостатками – либо отсутствие гарантий положительной полуопределённости, либо сложность вычисления и зависимость от выборочных автоковариаций высокого порядка. Полученная оценка, единственная из известных автору, обладает одновременно всеми этими преимуществами, но ни одним из этих недостатков.

Также построенные оценки асимптотической ковариационной матрицы могут быть использованы не только для оценивания коэффициента «бета» на основе рядов различной частотности, но и для оценивания коинтеграционных векторов и обобщения метода главных компонент на данный случай.

С точки зрения практической значимости, одно из приложений заключается в том, что с данной оценкой открывается возможность оценивать все параметры, необходимые для измерения риска в системах RiskMetrics или MSCI Barra даже в тех случаях, когда торги по рассматриваемым инструментам происходят с различной и нерегулярной частотностью.

Последнее особенно важно для управления рисками на предприятиях, занимающихся посреднической деятельностью в области не самых ликвидных ценных бумаг, таких как акции «второго эшелона РТС» или свопы на отказ от кредитных обязательств (более известные как CDS). В периоды финансовых кризисов, характеризующиеся высокой волатильностью, возможность измерять риски и хеджировать их может определить дальнейшую судьбу такого предприятия. В разделе 3.2 также описано, каким образом результаты диссертации могут быть применены для расчёта резервов.

Апробация результатов исследования. Основные научные результаты диссертационной работы обсуждались на ежегодной конференции Международного Института Прогнозирования (ISF) в 2007 году (Нью Йорк), а также на семинарах кафедры эконометрики и математической экономики ГУ-ВШЭ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научные работы (в том числе 3 основные работы) общим объемом 4,4 п.л. (личный вклад автора 3.9 п.л.). Две работы опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, приложения, списка литературы из 87 наименований, 15 таблиц, 12 графиков и 3 рисунков.

2. Основные положения диссертации

Во введении обосновываются актуальность, цели и структура диссертации по оцениванию асимптотической ковариационной матрицы и её приложениям.

В первой главе работы рассмотрен класс оценок асимптотической ковариационной матрицы многомерного случайного процесса с дискретным временем, при построении которых используется идея, заключающаяся в том, что эту матрицу в некотором частном случае можно выразить через ковариационную функцию случайного процесса.

Получены два различных теоретических результата. Сначала в разделах 1.1-1.3 предлагается обобщение такого класса оценок на случай временных рядов различной частотности (мы используем термин «обобщение», поскольку речь идёт о расширении существующего класса оценок). После этого в разделах 1.4-1.5 предлагается новая оценка ковариационной матрицы, в некотором смысле улучшающая наиболее точную из описанных в литературе оценок из этого же класса.

Вопрос о выборе наилучшей оценки из данного класса (как и об определении наилучшего класса оценок) далек от своего окончательного решения. Но во многих случаях при использовании оценок из рассматриваемого в данной работе класса преимущество отдается оценке с весами, соответствующими квадратическому спектральному окну, которая иногда более коротко называется оценкой с QS (Quadratic Spectral) весами. Данная оценка строится как приближенно удовлетворяющая некоторому условию оптимальности и во многих практических ситуациях обладает хорошей точностью.

Оценка асимптотической ковариационной матрицы, предлагаемая в разделах 1.1-1.3, определена для временных рядов различной частотности, однако в случае данных одинаковой частотности она вырождается в хорошо известную оценку Ньюи и Веста. Предлагаемая оценка обладает всеми свойства оценки Ньюи и Веста: положительной полуопределённостью и состоятельностью при тех же условиях на случайный процесс, сопоставляемый данным. Поэтому мы будем называть эту оценку обобщением оценки Ньюи и Веста.

Оценка, предлагаемая в разделах 1.4-1.5, во-первых, асимптотически приближается к оценке с QS весами при росте размера выборки, во-вторых, включает в себя значительно меньше слагаемых, чем оценка с QS весами и, в-третьих, как и оценка с QS весами, является положительно полуопределённой для любого набора наблюдений (даже для очень коротких временных рядов). В численном исследовании такая оценка оказалась эффективнее, чем оценка с QS весами, в случае коротких временных рядов.5

Одна из первых работ, где рассматривается и оценивается асимптотическая ковариационная матрица многомерного случайного процесса с дискретным временем – [Levine, 1983]6. Но из-за имеющейся связи асимптотической ковариационной матрицы и спектральной плотности случайного процесса для построения оценок асимптотической ковариационной матрицы могут быть использованы и существующие оценки спектральной плотности. Таким оценкам за последние шестьдесят лет было уделено значительное внимание в работах Бартлетта, Парзена, Пристли и др.

Отметим, что кроме термина asymptotic covariance matrix (см., например, [Ledoit, Wolf, 2003]7) для обозначения асимптотической ковариационной матрицы используется термин long-run average covariance matrix (см., например, [Phillips, Moon, 1999]8). Различные оценки асимптотической ковариационной матрицы рассмотрены в работах Эндрюса и Монахана, Ден Хаана и Левина, Ньюи и Веста, Филлипса и др.

Рассмотрим последовательность случайных векторов . Для неё определим ковариационные матрицы . В общем случае эти матрицы могут быть различными для различных моментов времени, поэтому во многих прикладных задачах оказывается более интересной оценка некоторого среднего значения этих матриц. Асимптотическая ковариационная матрица, о которой пойдёт речь в данной работе, в некотором смысле является таким средним значением9.

Для этой последовательности можно определить спектральную плотность как

при тех , для которых указанный предел существует и конечен (штрих означает транспонирование). Если определено значение , то асимптотическая ковариационная матрица определяется как

(см. [Phillips, Moon, 1999]).

Можно пользоваться и другим определением. Рассмотрим частичные суммы последовательности : , и определим матрицу

,

если указанный предел существует.

Когда случайный процесс является стационарным в широком смысле, асимптотическая ковариационная матрица этого случайного процесса тесно связана с его ковариационной функцией. Напомним, что ковариационной функцией называется матричнозначная функция целого аргумента , действующая по правилу

,

(предположение о существовании такой функции включается в определение стационарного в широком смысле случайного процесса).

Если ряд сходится, то

.

Продолжая ряд исследований, Ньюи и Вест [Newey, West, 1987] строят оценку матрицы для рядов одинаковой частотности следующим образом:

, где .

В первой главе даётся более общая формулировка, такая, что в выборочных автоковариациях присутствуют не элементы выборки , а некоторые функции их и некоторого случайного параметра.

При некоторых условиях, в частности, на веса (точные формулировки приведены в разделе 1.4), матрица принимает только положительно полуопределённые значения и

при .