Совершенствование методов проектирования нефтегазопроводов на основе нормативного вероятностного подхода

Таблица 1 – Результаты расчетов вероятностных характеристик
напряжения методом Монте-Карло

Число реализаций	Напряжение по Мизесу		Напряжение по ASME B 31.4
	Математическое ожидание, МПа	Среднее квадратическое отклонение, МПа	Математическое ожидание, МПа	Среднее квадратическое отклонение, МПа
100	217,3	29,0	243,9	30,2
200	219,6	27,9	246,5	29,4
300	221,1	27,4	247,9	28,7
400	219,8	28,4	246,7	29,8
500	219,5	28,7	246,5	30,2
600	218,3	28,1	245,3	29,6
700	218,3	27,9	245,3	29,4

1 – напряжение по Мизесу; 2 – напряжение по ASME B 31.4

Рисунок 1 – Математическое ожидание напряжения
зависимости от числа реализации

1 – напряжение по Мизесу; 2 – напряжение по ASME B 31.4

Рисунок 2 – Среднее квадратическое отклонение напряжения
в зависимости от числа реализаций

В таблице 2 приведены результаты, полученные методом интерполяционных полиномов при выборе по два и по три узла интерполяции для каждой входной случайной величины. Следует отметить, что уже при 16 реализациях (схема 2х2х2х2) наблюдается соответствие с результатами метода Монте-Карло.

Таблица 2 – Результаты расчетов вероятностных характеристик
напряжения методом интерполяционных полиномов

Число узлов	Напряжение по Мизесу		Напряжение по ASME B 31.4
	Математическое ожидание, МПа	Среднее квадратическое отклонение, МПа	Математическое ожидание, МПа	Среднее квадратическое отклонение, МПа
2х2х2х2	217,1	28,6	243,9	29,9
3х3х3х3	217,1	28,3	243,8	29,7

Проведенные исследования позволяют сделать вывод о том, что решение задачи статистической динамики НДС трубопроводной конструкции целесообразно выполнять методом интерполяционных полиномов. Он по сравнению с методом Монте-Карло дает возможность на порядок сократить необходимое количество расчетов, сохраняя при этом требуемую точность получаемых результатов.

Третья глава посвящена разработке методики оценки надежности перехода подземного участка нефтегазопровода через сейсмический разлом.

Традиционный подход базируется на детерминированных расчетах деформации изгиба b; осевых (фибровых) деформациях сжатия ac и растяжения at; деформации сжатия w, при которой начинается гофрообразование; деформации Mmax, соответствующей максимуму на кривой «момент – деформация»; и, в последующем, на установлении запасов прочности и принятия проектных решений по критерию обеспечения прочности и устойчивости.

Разработанный новый подход базируется на детерминированных расчетах с применением метода конечных элементов (на базе МКЭ-пакета ANSYS); решении задачи статистической динамики методом интерполяционных полиномов; вычислении функций безопасности и риска на основе теории, предложенной В.В. Болотиным, где применяется вероятностная модель редких событий, а также на методе сравнения количественных показателей надежности анализируемых проектных вариантов.

Содержание методического обеспечения раскрыто на примере перехода подземного участка нефтегазопровода через сейсмический разлом.

Решение задачи статистической динамики осуществляется методом интерполяционных полиномов, выбор которого обоснован во второй главе. В качестве случайных входных данных выбраны величины, оказывающие существенное влияние на напряженно-деформированное состояние участка нефтегазопровода. Это сейсмические смещения, предел текучести и модуль упругости металла, толщина стенки трубы. Определены их законы распределения и вероятностные характеристики (математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение). С целью снижения вычислительных затрат применяется схема 2х2х2х2х2, означающая, что для каждой входной случайной величины задаются по два узла интерполирования. Для проверки сходимости метода интерполяционных полиномов применительно к решаемой задаче проведены расчеты и по другим схемам, в частности 2х2х1х1х2 и 3х2х1х1х2.

В качестве выходных параметров приняты деформации b, ac и at, используемые в критериях проектного SLE и максимального расчетного DLE землетрясений. Они являются выходными случайными величинами. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение выходной случайной величины находятся по следующим формулам:

(4)

(5)

где

q – общее число реализаций; yi – значение выходной случайной величины на i-ой реализации; i – число Кристоффеля выходной случайной величины; n – число входных случайных величин; qk – число узлов интерполирования, выбранное для k-ой входной случайной величины; kj – числа Кристоффеля для k-ой входной случайной величины.

Математические ожидания и средние квадратические отклонения рассчитанных деформаций сведены в таблицу 3.

Таблица 3 – Математические ожидания и средние квадратические отклонения выходных случайных величин

Характеристики случайной величины	Землетрясение SLE			Землетрясение DLE
	b	ac	at	b	ac	at
	0,0413	0,1166	0,0000	0,9157	1,4986	0,3329
	0,00390	0,00568	0,0000	0,6293	1,0021	0,2676
	0,095	0,049	–	0,687	0,669	0,804

Показано, что коэффициент вариации выходных параметров для землетрясения SLE находится в пределах 0,05…0,10, а для случая DLE составляет уже 0,70….0,80.

Установлено, что для случая DLE, где характерна высокая изменчивость выходных параметров, малые возмущения входных параметров приводят к существенному изменению выходных параметров. Это указывает на то, что детерминированное решение задачи может привести к излишне оптимистическим прогнозам коэффициентов запаса по различным критериям разрушения. Это все диктует необходимость расчета функций безопасности и риска. Функция безопасности B(t) определяется как вероятность того, что на отрезке времени [0, t] ни разу не возникнет аварийная ситуация:

(6)

где v() – область возможного состояния конструкции в момент времени ; – область безопасного состояния конструкции, которая включает в себя допустимую область по отношению к предельным состояниям; R(t) – функция риска.

Получена следующая формула расчета функции риска для сейсмических воздействий SLE и DLE:

(7)

где

причем tSLE = 200 лет; tDLE = 1000 лет; SLE = 510-3 1/год; DLE = 10-3 1/год; В(ФDLE) и В(ФSLE) – условные безопасности, равные вероятностям того, что авария не наступит при осуществлении событий ФDLE и ФSLE соответственно. Условные показатели безопасности трактуются как вероятности удовлетворения критериев проектирования SLE и DLE:

(8)

Соотношения (8) можно представить в более удобной для практического использования форме. Учитывая, что область состояния квазимонотонно приближается к границам допустимой области, получим

(9)

Входящие в эти выражение вероятности находятся с помощью функций распределения соответствующих выходных параметров.

Функция распределения случайной величины Y определяется равенством и равна вероятности того, что случайная величина принимает значение, меньшее y. В методе интерполяционных полиномов для построения функции распределения выходного параметра его значения располагаются в порядке возрастания

где q – общее число реализаций. Пусть этим значениям соответствуют числа Кристоффеля 1, 2,…, q. Тогда

и так далее, т.е. (при ).

Для рассматриваемых в данной задаче выходных случайных величин получены и графически представлены их функции распределения. Сопоставляя расчетные данные с допускаемыми значениями критериев землетрясений SLE и DLE, установлено, что все критерии проектирования за исключением одного удовлетворяются с высокой вероятностью (близкой к единице). График функции распределения деформации ac для землетрясения SLE представлен на рисунке 3. Вероятность выполнения критерия прочности при сжатии (гофрообразовании) для землетрясения DLE составляет всего 62,5 %.

Рисунок 3 – График функции распределения деформации ac
для землетрясения SLE

График функции распределения деформации ac для землетрясения DLE изображен на рисунке 4. Таким образом, B(DLE) = 0,625, а для землетрясения SLE можно принять, что B(SLE)  1.

График вычисленной по формуле (6) функции надежности приведен на рисунке 5. Как видно из графика, для исследуемого участка газопровода со сроком службы T = 40 лет вероятность безотказной работы составляет 0,985, хотя минимальный коэффициент запаса прочности по нормативным (детерминированным) расчетам равен 1,5. При таком запасе не гарантируется надежное функционирование газопровода при сейсмическом воздействии.

Рисунок 4 – График функции распределения деформации ac
для землетрясения DLE

Рисунок 5 – График функции безопасности трубопровода по срокам службы

Четвертая глава посвящена разработке модели и алгоритма расчета функции надежности с учетом трещинообразования в металле конструкций нефтегазопроводов.

Применительно к рассматриваемой задаче функция надежности H(t), которая определяется как вероятность пребывания трещины в допустимой области на отрезке времени [0, t], представлена в виде

(10)

где lc – критический размер трещины; Kfc – коэффициент циклической вязкости разрушения; Kmax – коэффициент интенсивности напряжений, соответствующий максимальному напряжению в цикле нагружения.

Критическая длина трещины lc характеризует целостность элемента конструкции, а критический циклический коэффициент интенсивности напряжений характеризует момент ускоренного развития усталостной трещины на данной эффективной частоте нагружения. Поэтому оценка функции надежности проводится по приближенной формуле модели цепи

; (11)

, (12)

где H1(t) – надежность по параметру l в цепи первого фиктивного элемента; H2(t) – надежность по параметру K в цепи второго фиктивного элемента.

Определение текущих параметров l(t) и K(t) осуществляется методом интерполяционных полиномов. При этом случайный стационарный процесс нагружения N(t) с заданной спектральной плотностью представляется неканоническим разложением, а поцикловая скорость роста усталостной трещины полностью определяется соотношением, предложенным П. Пэрисом.

Если случайные величины и , а также их критические значения и , определяющие стохастическую границу области допустимых состояний, распределены по нормальному закону, то соотношения (12) можно переписать в виде

(13)

где

Анализ зависимостей (13) показывает, что для расчетной оценки функции надежности достаточно определить математическое ожидание и дисперсию параметров и в каждый момент времени.

В указанной постановке реализация метода интерполяционных полиномов осуществляется в следующем порядке.

1. Проводятся детерминированные расчеты, определяются в различных сечениях действующие напряжения, по которым выявляются возможные места появления трещин и направления их распространения.
2. Задаются параметры (математическое ожидание и дисперсия) нормального закона распределения характерного размера (или размеров) начального трещиноподобного дефекта и .
3. Определяются экспериментальным путем моменты распределения стохастических границ области допустимых состояний , , и .
4. Для случайных величин r1, r2, …, rs задаются числа узлов интерполяции q1, q2, …, qs и определяются значения узлов типа Чебышева
   (kj = 1, 2, …, qj; j = 1, 2, …, s).
5. Для рассматриваемого конструктивного элемента определяется расчетным путем зависимость K(l, N, r1, r2, …, rs).
6. Задаются числа узлов интерполяции неканонического разложения и строятся реализации случайного процесса нагружения:

(14)

где kN – текущий номер реализации, определяемый перебором индексов и , kN = 1, 2, …, qN ; qN – общее число реализаций, ;
, , – независимые случайные величины в узлах интерполирования.

Анализ выражения (14) показывает, что -реализации имеют одинаковую амплитуду изменения нагрузки. В этих реализациях определяются минимальное и максимальное значения нагрузки:

(15)

где – амплитуда реализации нагружения с частотой , .

7. Задается число узлов интерполяции случайной величины размера трещины в момент времени t и определяются ее значения в узлах интерполяции:

(kl = 1, 2, …, ql), (16)

где – узел типа Чебышева случайной величины l.

8. В заданных узлах интерполяции определяются значения размаха коэффициента интенсивности напряжений:

(17)

где kK – текущий номер узла интерполяции случайной величины K(t), определяемый перебором индексов k, k, kl, k1, k2, …, ks; kK = 1, 2, …, qK; – общее число узлов интерполяции случайной величины K(t).

9. По формулам метода интерполяционных полиномов вычисляются моменты распределения случайной величины максимального коэффициента интенсивности напряжений в момент времени t:

(18)

10. Производится оценка функции надежности в момент времени t. Общая надежность цепи, состоящей из двух фиктивных элементов, определяется соотношением (11).
11. Назначается такой достаточно малый интервал времени t, чтобы можно было считать размах коэффициента интенсивности напряжений в этом интервале постоянной величиной. Интегрируя уравнение скорости роста трещины в узлах интерполяции, получим приращение размера трещины за малый промежуток времени t:

(19)

Здесь kl – текущий номер узла интерполяции случайной величины l, определяемый перебором индексов , kl = 1, 2, …, ql; ql –
общее число узлов интерполяции случайной величины l, .

По формулам метода интерполяционных полиномов находятся значения моментов распределения случайной величины приращения размера трещины в момент времени t:

(20)

12. Осуществляется переход к моменту времени t + t и вычисляются соответствующие ему моменты распределения случайной величины характерного размера трещины:

(21)

13. Вычисления продолжаются, начиная с пункта 7, до тех пор, пока функция надежности H(t) не станет меньше некоторой, наперед заданной величины .

Проведены аналитические исследования численного метода расчета коэффициента интенсивности напряжений. Результаты вычислений методом конечных элементов коэффициентов интенсивности напряжений для различных несквозных трещин эллиптической формы с использованием МКЭ-пакета АNSYS позволили обосновать и предложить поправочные коэффициенты в формулах расчета коэффициента интенсивности напряжений для осевой и окружной трещин.

Основные выводы и результаты

1. Разработан нормативный вероятностный подход к проектированию нефтегазопроводов, включающий нормативные (детерминированные) расчеты, решение задачи статистической динамики и вычисление функции надежности конструкции с учетом зависимости нагрузки и несущей способности конструкции от времени. Такой подход позволяет формировать проектные нормы надежности, включающие проектные решения, качественные и количественные требования по обеспечению и контролю надежности, а также требования к устойчивости нефтегазопроводов к отказам.