Поступательно-вращательные движения твердого тела на круговой орбите в поле тяготения хилла

тогда, приравнивая величины справа и слева при 0 и , получим безразмерные уравнения для нулевого приближения

(35)

(36)

(37)

(38)

для первого приближения

(39)

(40)

(41)

Кроме этого, подставляя аргументы в тригонометрические функции = 0 + 1, = 0 + 1, = 0 + 1, пренебрегая величинами О(2) в выражениях (29), получим следующие вспомогательные соотношения:

(42)

(43)

(44)

Используя вспомогательные соотношения (42) (44), можно исключить через 1, 1, 1, 1, 1,1 в дифференциальных уравнениях первого приближения (39), (40).

В п.3.3 изложено интегрирование дифференциальных уравнений нулевого приближения в случае В2 (R – const, 0 – = 0, 0 0), которые совпадают с дифференциальными уравнениями в случае В1 (R – const, 0 – = 0, 0= 0).

Здесь качестве исходных выражений выписаны углы Эйлера (раздел 3, п.3.1), ограничиваясь членами порядка малости О(k2).

(45)

(46)

(47)

(48)

Используя выражение

,

Выражения (45) (47) можно переписать через безразмерное время :

(49)

(50)

(51)

где (52)

Далее в п.3.4 рассматривается интегрирование уравнений первого приближения случая В2 (R – const, 0 – = 0, 0 0). Для этого получены явные выражения , , как явные функции безразмерного времени с учетом выражений (49) (52):

. (53)

(54)

(55)

(56)

. (57)

. (58)

. (59)

(60)

. (61)

, (62)

. (63)

Для интегрирования уравнений первого приближения (39) (41) использованы выражения углов Эйлера в нулевом приближении (49) (52) и вспомогательные соотношения (53) (63). В результате найдены углы Эйлера 1,1,1

.

1 = l2 + l3 2,

где постоянные определены выражениями:

,

, .

Учитывая, что имеем приближенное решение уравнений (30) (34). В случае В2 (R – const, 0 – = 0, 0 0) в следующем виде:

(64)

(65)

(66)

Выражения (64) (66) представляют собой новое решение дифференциальных уравнений вращательного движения спутника относительно центра масс на хилловой круговой орбите в случае В2 (R – const, 0 – = 0, 0 0).

В п.3.5 изложено приближенное интегрирование дифференциальных уравнений вращательного движения спутника в случае А (R – const, D= 0 – = 0, 0 0).

Здесь предполагается, что центр масс спутника совершает поступательное движение по окружности радиуса R0 – const, который имеет малый наклон к основной плоскости С и в то же время совершает вращательное движение относительно центра масс.

Дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения спутника в этом случае выражаются уравнениями (1).

Первые три дифференциальных уравнения из системы (1) проинтегрированы на интервалах

А. 4

Дифференциальные уравнения вращательного движения спутника относительно центра масс имеют вид:

(67)

В уравнениях (67) величина D в системе «Земля–ИСЗ –Луна» имеет порядок О(10–14) С–2, поэтому приближенное решение (67) можно получить, используя решения дифференциальных уравнений (22), которые представлены компактными выражениями (64) (66). Для этого перейдем в (67) к безразмерным переменным, т.е. выполним замену ,

и получим

(68)

Система уравнений (32) в безразмерных переменных имеют вид:

(69)

Подставив в правые части уравнений (68), (69) величины с учетом выражений (64) (66), затем проинтегрировав от нуля до верхних переменных пределов, найдем:

, (70)

(71)

(72)

, (73)

, (74)

, (75)

(76)

В соответствии с соотношениями (26)(28) решение уравнений (68), (69) можно представить в виде углов Эйлера:

(77)

Основные выводы и результаты

1) Выполнена классификация типов движения центра масс спутника в поле тяготения Хилла.

2) Найдены области возможности движения центра масс спутника по почти круговой орбите.

3) Найдены цилиндрические координаты центра масс спутника в поле тяготения Хилла в случае малого наклона почти круговой орбиты к основной плоскости.

4) Доказано, что вращательные движения не влияют на поступательное движение центра масс спутника в поле тяготения Хилла.

5) Получены приближенные решения дифференциальных уравнений вращательного движения спутника относительно центра масс, совершающего движение по почти круговой орбите в хилловом приближении.

Условные обозначения: m – масса спутника; Mx, My, Mz – компоненты момента сил нецентрального поля тяготения Хилла; С – главный момент инерций спутника вдоль оси z; С – постоянная интеграла площадей; – истинная долгота (полярный угол); – гравитационный параметр; – координаты центра масс спутника; p,q,r – проекции вектора угловой скорости спутника вдоль осей x,y,z; – направляющие косинусы осей x,y,z с осями ; , , – углы Эйлера; , – гравитационный параметр; – безразмерные переменные; ; – постоянные коэффициенты;

Список опубликованных работ по теме диссертации:

1. Шинибаев М.Д., Нурсейтов К.С., Таскулова А. Эллиптический тип движения тела во второй плоской орбите Хилла //Тр. респуб. научно-практ. конф. «Ауезовские чтения-2».– Шымкент, 1999.– С. 112-115.
2. Шинибаев М.Д., Нурсейтов К.С., Таскулова А. Качественное интегрирование дифференциальных уравнений тела в поле тяготения (орбиты) Хилла // Тр. респуб. научно-практ. конф. «Ауезовские чтения-2».– Шымкент, 1999.– С. 110-112.
3. Нурсейтов К.С., Красинский А.Я., Шинибаев М.Д. Уточнение полярных координат пассивно гравитирующего тела на интервале 2
4. Нурсейтов К.С., Красинский А.Я., Шинибаев М.Д. Уточнение полярных координат пассивно гравитирующего тела на интервале 4
5. Нурсейтов К.С., Красинский А.Я., Шинибаев М.Д., Дасибеков А.Д. Моменты гравитационных сил, действющих на твердое тело в нецентральным поле тяготения Хилла //Тр. межд. научно-практ. конф. «Проблемы науки оброзавания и устройчивого социально-экономического развития общества в начале XXI века».– Шымкент,2003.– С.50-52.
6. Нурсейтов К.С., Шинибаев М.Д., Дасибеков А.Д. Хилл рісіндегі пассив гравитациялы денені интервалындаы цилиндірлік жйедегі кординаттарын айын трде рнектеу //Тр. межд. научно-практ. конф. «Проблемы науки образования и устойчивого социально- экономического развития общества в начале XXI века».– Шымкент,2003.– С.53-55.
7. Нурсейтов К.С., Шинибаев М.Д., Дасибеков А.Д. Цилиндрические координаты пассивно гравитирующего тела в поле тягатения Хилла на интервале //Тр. межд. научно-практ. конф. «Проблемы науки образования и устойчивого социально-экономического развития общества в начале XXI века».– Шымкент,2003.– С.98-101.
8. Нурсейтов К.С., Шинибаев М.Д., Утенов Н.М. Первые интегралы дифференцальных уравнений поступательно-вращательных движений спутника в нецентральном поле тяготения Хилла //Вестник МОН и НАН РК.– Алматы, 2004, №3.– С.15-19.
9. Нурсейтов К.С., Шинибаев М.Д., Утенов Н.М., Дасибеков А.Д. Интегрирование дифференцальных уравнений твердого тела с одной закрепленной точкой в нецентральном поле тяготения в случае // Вестник МОН и НАН РК.– Алматы, 2004, №3.– С.90-95.
10. Нурсейтов К.С., Шинибаев М.Д., Утенов Н.М. Дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения спутника в нецентральном поле тяготения Хилла на почти круговой орбите// Вестник МОН и НАН РК.– Алматы, 2004, №3.– С. 150-155.
11. Нурсейтов К.С., Жапбаров С.А., Утенов Н.М. Исследование устойчивости круговых движений по уравнениям первого приближения //Тр. межд. научно-практ. конф. «Индустриально-инновационное развитие-основа устойчивой экономики Казакстана».– Шымкент,2006.–С.399-401.
12. Нурсейтов К.С., Шинибаев М.Д., Таскулова А. Определение Кеплеровских оскулирующих элементов второй задачи Хилла// Известия НАН РК, Сер. физ.-мат.– 2008, №4.– С.44-46.
13. Тулешов А.К., Шинибаев М.Д., Нурсейтов К.С. Движение тела относительно центра масс в ньютоновском поле сил // Тр. VII казахстанско-российской межд. научно-практ. конф. «Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности» //Вестник КАЗНУ спец. выпуск.– Алматы, 2010, №4(67).–С.272-274.

ТЙІНДЕМЕ

Нрсейтов онарбай Смайллы

Хилл рісіндегі шеберлік орбитадаы атты денені ілгерілемелі – айналмалы озалыстары

01.03.01- Астрометрия жне аспан механикасы мамандыы бойынша физика-математика ылымдарыны кандидаты ылыми дрежесін алуа арналан диссертация

Зерттеу нысанасы:

Жасанды жер серіктері, ракеталарды алдытары, арышты станциялар, платформалар, зондтар, таы да баса арышты кеістіктегі денелер Ньютон рісіндегі озалатын атты денелер атарына жатады. Олар траты массалы немесе айнымалы массалы болады жне кеістікте ілгерілемелі айнымалы озалады. Егер оларды тарту гравитациялы кштері мардымсыз болса, оларды пассив денелер дейміз.

озалысты сипаттаушы дифференциалды тедеулер жйесі, бл жадайда, 9 бірінші реттік сызыты жне біртекті емес дифференциалды тедеулерден трады, олар зады трде квадратуралара келмейді жне тура шешілмейді. Сондытан атара жіктеп, жуытап шешу дістері олданылады. Кейде эксцентриситетті дрежесіне байланысты атарлара, кейде орташа аномалияа атысты атарлар олданылады. Егер эксцентриситет е=0,6627 мнінен асатын болса, ол атарлар жинаталуы кмнді болады, сондытан осы проблемаа байланысы жо жаа шешімдерді барлыы актуалды есептер атарына жатады.

Диссертацияда екі маызы зор есептер бірге шешіледі, олар

1. ш дене есебі;
2. массалы центрге атысты атты денені айналуы туралы есебі.

Бларды шешуде Хилды екінші орташа орбитасы олданылды.

Жмысты масаты:

Диссертацияда белгілі алымдар Г.Н. Дубошин, В.В. Белецкии, А.А. алыбаев, С.Г. Журавлев т.б. жмыстарынан згешілігі бар жаа модельдік есеп ойылып жаа діспен шешілді. Айналмалы озалыстаы жаа шешім массалар жайылуы шарты орындалан жадайда алынан.

Жмыста тмендегі негізгі есептер шешілді:

1. Орбиталы озалыс шебер типтес боланда денені массалы центріні озалысы цилиндрлік координатты жйеде аныталды.
2. Денені айналмалы озалысымен ілгерілемелі озалысы арасындаы серленулері зерттелінді.
3. атты ілгерілемелі–айналмалы озалысты дифференциалды тедеулері жуы шамада шешілді.

ылыми ндылыы:

Жаа орташаланан ілгерілемелі–айналмалы озалыстаы денені моделі рылды. Ол модель денені массалы центрі шебер типтес орбитамен озаланда дифференциалды тедеулерін жуы шамада интегралдауа ммкіншілік берді.

Практикалы ндылыы:

Жасанды жер серігіні массалы центрі экватор жазытыында шебер типтес орбитамен ілгерілемелі – айналмалы озалу есебі шешілді. Шешім оматы рнектелген, сондытан практикалы ндылыы бар деуге болады.

Диссертацияда атты денені массалы центріні Хилл рісіндегі озалу типтері аныталады жне шеберлік озалыстарды айналу айматары табылады. Денені ілгерілемелі озалысыны Хилл рісіндегі цилиндрлік координаттары орытылды. Ілгерілемелі – айналмалы озалыс зертелініп, онда айналмалы озалысты ілгерілемелі озалыса сер жоты асы екені длелденді.

Жмыста алашы рет Эйлер брыштарыны сімшелері ілгерілемелі озалыстада, салыстырмалы озалыстада аныталу ммкіншілігі ашылды. Зерттеу нтижелері атты денені ілгерілемелі – айналмалы озалысыны жаа шешімін берді, оны арыш механикасында орташа орбита ретінде алуа болады.

Нтижелерді жасанды жер серіктеріні наты озалыстарыны теорияларына олдануа болады.

SUMMARY

Nurseitov Konarbay Smailovich

Transitional-rotational motion of rigid body on cyclic orbit in the field of Hill’s gravitation

01.03.01 – Astrometry and celestial mechanics.

In the dissertation for the centre of mass of rigid body it is defined the types of motion, found the field of motion in a circular orbit, cylindrical coordinates of the centre of mass of the body’ in the field of Hill’s gravitation. It is proved that the rotational motion doesn’t affect on the forward motion of the body. For the first time it occurred the opportunity to find the increment of the Euler’s angles in the figurative as well as the relative motion of the body.

Research results represent a new solution of differential equations of forward-rotational motion of the body in the field of Hill’s gravitation, which can be used as an intermediate orbit with the construction of accurate theories of motion of artificial satellites in cosmic space.

Problem actuality. Planetary satellites, artificial Earth satellites, fragments of rockets, space stations, slings, platforms and many other bodies of a natural and artificial origin, which make movements in the field of Newton’s gravitation of the central and external body, they represent a body of a constant and variable mass.

They make forward-rotary motions concerning the central and external body, informing or scornfully small accelerations. These bodies are related to so-called passively gravity features. It is forward - rotary motions passively gravity features are described by six ordinary differential equations of the second order which aren't integrated in quadratures in the closed form in full problem statement. Traditionally, for integration of the similar nonlinear differential equations with variables coefficient it is used the various approximate methods of integration.

Expansion in a series on degrees of ellipticity and also in trigonometrical series on multiple of mean anomalies are widely used. Here in both cases, series become diverging on achievement of the well-known limit of Laplasa е=0,6627orbits ellipticity. It leads to that for maintainance of desired precision is necessary to keep a considerable quantity of members of these series in solutions. Thereof solutions become lengthy and immeasurable.

2 important tasks are solved together in the dissertation. They are:

1. Task of 3 bodies

2. The task of rotation of a firm body concerning its center of mass

The second average Hill’s orbit is used In these tasks’ solution.

The work purpose. The work purpose is creation of a new modeling task which unlike works of Dubashina, V.V.Beletsky, A.A.Kalybaeva, S.G. Zhuravlyov and etc. is devoted to the development of the second intermediate Hill’s work for the approximate integration of the differential equations of a rotary motion passively gravity features concerning its center of mass in a case

In this work the solution of following primary goals are supposed:

1. Definition of cylindrical coordinates of the center of mass passively gravity features in its orbital movement on almost circular Hill’s orbit

2. Research of influence of orbital movement on rotary motions of passive gravity features concerning the center of mass

3. Integration of the differential equations of forward - rotary motion of passively gravity features in the central field of Hill’s gravitation

Scientific novelty. For the first time cylindrical coordinates of the center of mass of passively gravity features in its orbital movement on almost circular Hill’s orbit as obvious functions of time without the centenary and mixed members are received.

New results about influence of orbital movement of the body’s center of mass on rotary motions of a body concerning its center of mass are received. The technique of calculation of increments of Euler’s angles at the expense of orbital movement of the center of mass of passively gravity features is offered.

The new intermediate model is created is forward-rotary motion of passively gravity features of a constant and variable mass in case of equality to zero of relative speed of rejected particles which has allowed to integrate the differential equations of forward-rotary motion of passively gravity features.

Practical value. In the work the new intermediate model of forward-rotary motion of passively gravity features is offered and developed, which doesn't depend on the Laplace limit and which doesn't contain the centenary and mixed members in positional coordinates.

Solutions are presented in compact expressions and can be used at creation of exact theories of forward-rotary motions of satellites, slings and the space vehicles which make movement in the central field of gravitation, for example, of the Earth and the Moon

Scientific positions that will be taken out on the defense of a thesis:

- Polar coordinates of elliptic type of movement in the field of Hill’s gravitation;

- Polar coordinates of circular type of movement;

- The differential equations of orbital movement of a body in the field of Hill’s gravitation in case of a small inclination of an orbit to the basic plane and their analytical solutions.

- The differential equations of forward-rotary motion of the satellite in the noncentral field of Hil’s gravitation in almost circular orbit and a method of integration of these equations.

Подписано в печать 28.10.2010г.

Формат 6084 1/16. Бумага офсетная №1.

Усл. п.л. 1. Тираж 120 экз. Заказ №678.

Опечатано в компании «CopyLand»

г. Алматы, пр. Сейфулина, 541

тел.: 261-16-12, 261-48-44

E-