Поступательно-вращательные движения твердого тела на круговой орбите в поле тяготения хилла

УДК 521.1 На правах рукописи

Нурсейтов Конарбай Смайлович

ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ

В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ХИЛЛА

01.03.01 – Астрометрия и небесная механика

Автореферат

диссертаций на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Алматы, 2010

Работа выполнена в Южно-Казахстанском государственном университете имени М.О. Ауезова

Научные руководители: доктор технических наук, профессор, академик НИА РК Тулешов А.К.

доктор физико-математических наук,

профессор Шинибаев М.Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ихсанов Е.В.

кандидат физико-математических наук

Тулегенова К.Б.

Ведущая организация: Институт математики Министерства

образования и науки Республики

Казахстан

Защита состоится «30» ноября 2010г. В «17-00 » часов на заседании Объединенного диссертационного совета ОД 53.03.01 при АО «НЦКИТ» МОН РК по адресу: 050010, г.Алматы, ул.Шевченко, 15

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке МОН РК по адресу: г.Алматы, ул.Шевченко,28

Автореферат разослан «29» октября 2010г.

Ученый секретарь Объединенного

Диссертационного Совета, ОД 53.03.01

при АО «НЦКИТ», д.ф.-м.н., профессо Вильковиский Э.Я

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Спутники планет, искусственные спутники Земли, фрагменты ракет, космические станции, зонды, платформы и многие другие тела естественного и искусственного происхождения, совершающие движение в поле ньютоновского тяготения центрального и внешнего тела, представляют собой тело постоянной или переменной массы.

Они совершают поступательно-вращательные движения относительно центрального и внешнего тела, сообщая или пренебрежительно малые ускорения. Эти тела относятся к так называемым пассивно гравитирующим телам. Поступательно-вращательные движения пассивно гравитирующих тел описываются шестью обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, которые в полной постановке задачи не интегрируются в квадратурах в замкнутой форме. Традиционно, для интегрирования аналогичных нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами используют различные приближенные методы интегрирования.

Широко используются разложения в ряды по степеням эксцентриситета, а также в тригонометрические ряды по кратным средней аномалий. Здесь, в обоих случаях, ряды становятся расходящимися по достижению эксцентриситета орбиты знаменитого предела Лапласа е=0,6627. Это приводит к тому, что для сохранения требуемой точности надо в решениях удержать большое количество членов этих рядов. Вследствие этого решения становятся громоздкими и необозримыми.

Поэтому для построения орбит центра масс пассивно гравитирующих тел на практике приходятся анализировать сотни и тысячи траекторий, полученных численным интегрированием дифференциальных уравнений на ЭВМ, которые сопряжены с накоплением ошибок на каждом шаге интегрирования.

Из теоретической механики известно, что (свободное) поступательно-вращательное движение можно представить как совокупность поступательного движения тела совместно с центром масс и вращательного движения тела относительно центра масс. Вращательное движение пассивно гравитирующего тела относительно центра масс описываются динамическими уравнениями Эйлера, которые тоже в общем виде не интегрируются в квадратурах.

Альтернативой громоздким численным методам является метод промежуточных орбит. Выбор в качестве промежуточной орбиты кеплеровского эллипса приводит к появлению в решениях задач вековых и смешанных членов, которые пригодны только на коротких временных интервалах движения. Поэтому построение новой некеплеровской промежуточной орбиты, которая не зависит от эксцентриситета и не приводит к вековым и смешанным членам, является актуальной задачей теоретической механики.

В диссертации используется вторая промежуточная орбита Хилла интегрирования дифференциальных уравнений вращательного движения пассивно гравитирующего тела на почти круговой орбите малого наклона к основной плоскости.

В силу вышеизложенного, выполненное исследование поступательно-вращательного движения пассивно гравитирующего тела представляет собой новое решение второй основной задачи динамики и является актуальной задачей теоретической механики.

Цель работы. Целью работы является создание новой модельной задачи, которая в отличие от работ Т.Н.Дубашина, В.В.Белецкого, А.А. Калыбаева, С.Г.Журавлева и др. посвящена развитию второй промежуточной работы Хилла для приближенного интегрирования дифференциальных уравнений вращательного движения пассивно гравитирующего тела относительно его центра масс в случае А = В = С.

В работе предполагается решение следующих основных задач:

1. Определение цилиндрических координат центра масс пассивно гравитирующего тела в его орбитальном движении по почти круговой хилловой орбите.

2. Исследование влияния орбитального движения на вращательные движения пассивно гравитирующего тела относительно центра масс.

3. Интегрирование дифференциальных уравнений поступательно - вращательного движения пассивно гравитирующего тела в нецентральном поле тяготения Хилла.

Научная новизна. Впервые получены цилиндрические координаты центра масс пассивно гравитирующего тела в его орбитальном движении по почти круговой хилловой орбите как явные функции времени без вековых и смешанных членов.

Получены новые результаты о влиянии орбитального движения центра масс тела на вращательные движения тела относительно его центра масс. Предложена методика вычисления приращений углов Эйлера за счет орбитального движения центра масс пассивно гравитирующего тела.

Создана новая промежуточная модель поступательно-вращательного движения пассивно гравитирующих тел постоянной и переменной масс в случае равенства нулю относительной скорости отбрасываемых частиц, которая позволила проинтегрировать дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения пассивно гравитирующих тел.

Практическая ценность. В работе предложена и разработана новая промежуточная модель поступательно-вращательного движения пассивно гравитирующего тела, которая не зависит от предела Лапласа, не содержит вековых и смешанных членов в позиционных координатах.

Решения представлены в компактных выражениях и могут быть использованы при создании точных теорий поступательно-вращательных движений спутников, зондов и космических аппаратов, совершающих движение в нецентральном поле тяготения, например, Земли и Луны.

Научные положения выносимые на защиту:

– полярные координаты эллиптического типа движения в поле тяготения Хилла;

– полярные координаты кругового типа движения;

– дифференциальные уравнения орбитального движения тела в поле тяготения Хилла в случае малого наклона орбиты к основной плоскости и их аналитические решения.

– дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения спутника в нецентральном поле тяготения Хилла на почти круговой орбите и метод интегрирования эти уравнений.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на республиканской научно-практической конференции «Ауезовские чтения-2» (Шымкент, 1999 г.); на международной конференции, посвященной 60-летию ЮКГУ (Шымкент, 2003 г.); на семинаре института механики и математики при ЮКГУ (семинар академика НАН РК Т.Ш. Кальменова, Шымкент, 2003 г.); на научном семинаре кафедры «Оптимальные уравнения» Национального университета Узбекистана (Ташкент, 2003 г.); на семинаре кафедры теоретической механики КазНУ им. аль -Фараби (Алматы, 2010 г.).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 13 работах, в том числе рекомендованных Комитетом изданиях – 4.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех разделов, заключения и списка использованных источников. Объем диссертации составляет 100 страниц текста.

Основное содержание работы

Во введении дана оценка современного состояния исследуемой проблемы, приведены основные положения, необходимые для разработки проблемы, основана актуальность поставленной задачи, сформулирована цель диссертации, анализирована научная новизна и практическая ценность.

В первом разделе исследуется поступательное движение центра масс в нецентральном поле тяготения Хилла.

В п.1.1 приведены общие сведения о второй промежуточной орбите Хилла. Приводится силовая функция Хилла, первый член которой учитывает поле тяготения шарообразного центрального тела, а остальные два члена учитывают возмущения от внешнего тела. В п.1.2 приведено, следуя Б.М. Щиголеву, связь силовой функции Хилла с точной силовой функцией. Затем в п.1.3 для обоснования дальнейших исследований изложена классификация типов движения пассивно гравитирующего тела в поле тяготения Хилла по результатам М.Д.Шинибаева и Б.М.Щиголева. В п.1.4 рассматривается случай, когда пассивно гравитирующее тело Р массы m0 движется в поле ньютоновского тяготения центрального тела L массы m1, и возмущающего тела S массы m2, в плоскости орбиты тела S.

Здесь выделены в случае эллиптического типа движения две области возможности

А) 4

где – корни полинома – Hw2 + 2w3 – w4 = 0, а – переменная Хилла.

Далее в п.1.5, 1.6 после интегрирования уравнений Хилла

, ,

где ,

В п.1.7, 1.8, 1.9 выделены параметры эллиптического типа движения, затем приравнивая эксцентриситет орбиты нулю, определены в случаях А и В полярные координаты кругового типа движения центра масс пассивно гравитирующего тела в его плоском орбитальном движении.

В п.1.10, 1.11, 1.12 рассматривается движение центра масс пассивно гравитирующего тела Р в поле тяготения центрального тела L и внешнего тела S, когда орбита тела Р имеет малый наклон к основной плоскости, т.е. плоскости орбиты внешнего тела S. Здесь составлены дифференциальные уравнения орбитального движения и они проинтегрированы в случае кругового типа движения, в результате получены цилиндрические координаты центра масс пассивно гравитирующего тела с точностью до О(k4), где k – модуль эллиптического интеграла I-го рода.

В п.1.13, 1.14, 1.15, 1.16, используя условия трансформаций эллиптического типа движения в круговой тип движения, уточнены на интервалах А и В ранее найденные полярные и цилиндрические координаты центра масс пассивно гравитирующего тела в центральном и нецентральном поле тяготения Хилла.

В разделе 2 исследуется влияние орбитального движения центра масс по почти круговой орбите на вращательные движения пассивно гравитирующего тела относительно центра масс. В п.2.1 вводится система координат В.В.Белецкого и анализируются моменты гравитирующих сил Хилла на пассивно гравитирующее тело. Найдена силовая функция Хилла в случае поступательно-вращательного движения пассивно гравитирующего тела. Найдены компоненты моментов гравитационных сил поля тяготения Хилла.

В п.2.2 рассмотрена задача о поступательно-вращательном движении спутника (пассивно гравитирующего тела) в нецентральном поле тяготения Хилла на почти круговой орбите малого наклона к основной плоскости.

Здесь вводятся три системы прямоугольных координат: первая с началом в центре масс Земли и жестко связанная с ней, вторая Оxyz с началом в центре масс спутника, оси которой совпадают с его главными центральными осями и третья Оxyz, ось Z которой направлены по 0, а ось у по бинормали к орбите и ось х по трансверсали.

Рисунок 1

C учетом введенных систем координат дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения спутника можно записать в следующем виде:

(1)

Дифференциальные уравнения (1) замыкаются кинематическими соотношениями Пуассона

(2)

В п.2.3 приводятся первые интегралы системы дифференциальных уравнений (1) и (2). Кроме этого, здесь введены соотношения Ю.А. Архангельского, которые позволяют переписать первые интегралы задачи в удобной для дальнейших исследований.

В п.2.4 исследуется вопрос о взаимодействии движений спутника. Здесь, анализируя поступательную и вращательную часть силовой функции Хилла, установили, что влиянием вращательного движения спутника на его орбитальное движение можно пренебречь и, наоборот, влиянием орбитального движения на вращательное движение спутника не следует пренебрегать.

В разделе 3 выполнено интегрирование дифференциальных уравнений поступательно вращательного движения спутника в нецентральном поле тяготения Хилла. В п.3.1 рассматривается случай, когда являются постоянным. Центр масс спутника остается неподвижным и отстоит от центра Земли на расстоянии

– const.

Здесь исследуется вращательное движение спутника относительно центра масс. Этот случай обозначен через В1 (– const, , ) и соответствует вращательному движению спутника в центральном ньютоновском поле тяготения. В этом случае дифференциальные уравнения вращательного движения относительно центра масс принимают вид:

(3)

Уравнения (3) замыкаются кинематическими соотношениями Пуассона

(4)

и , , . (5)

В силу малого наклона окружности радиуса R к основной плоскости первые две строчки из системы (4) выпадают, а остальные допускают следующие первые интегралы

, (6)

(7)

(8)

. (9)

и соотношения (10)

. (11)

Исключив из (11) посредством (6), в силу (7) и (5) имеем:

(12)

где .

Располагая корни полинома

в порядке убывания

1 > 2 > 3 > 4,

перейдем от (12) к нормальной форме Лежандра

, (13)

на интервале 1 = 4132 /3142, 0

при = 1, = 0

и при = 4, , здесь . (14)

Проинтегрировав (13) от нуля до верхних переменных пределов, сохранив в биномиальных рядах величины, вплоть до , находим уравнение времени:

. (15)

Обратив выражение (15), получим зависимость

, (16)

где .

Пользуясь вторым уравнением из (5), находим в силу (14) и (16) угол нутации:

(17)

Исключим в уравнении (5) пользуясь (7), тогда получим (18)

В выражении (14) выделим k2, разложим знаменатель в биномиальный ряд и умножим на числитель, сохраняя члены вплоть до О(k4), затем проинтегрировав (18) от нуля до верхних переменных пределов в силу (15), имеем выражение для угла прецессий:

, (19)

где * – определено выражением (16).

Для определения угла собственного вращения выделим из первого интеграла (8) следующее дифференциальное уравнение

. (20)

Далее подставим из уравнения (18) в (20), затем выразим dt через d* в силу (15) и после разделения переменных проинтегрируем от нуля до верхних переменных пределов, тогда найдем:

, (21)

где – постоянные величины, определяемые через корни полинома .

Таким образом, в случае В1 (R – const, 0 – = 0, 0 = 0) получено новое решение уравнений Эйлера.

Найдены углы Эйлера ,, соответственно выражениями (17), (19) и (21) как явные функции времени в силу (16) с точностью вплоть до .

В п.3.2 исследуется случай В2 (R – const, 0 – = 0, 0 0). Центр масс спутника совершает равномерное движение с угловой скоростью по окружности радиуса R0 в центральном поле тяготения, а сам спутник совершает поступательно-вращательное движение совместно с центром масс. Дифференциальные уравнения вращательного движения спутника относительно центра масс в данном случае имеют вид:

(22)

Эти уравнения замыкаются кинематическими соотношениями Пуассона

(23)

Выписанные дифференциальные уравнения допускают следующие первые интегралы:

(24)

, (25)

и кинематические соотношения Ю.А.Архангельского

, , (26)

; (27)

(28)

Направляющие косинусы ,,, , , , , , связаны с углами Эйлера следующими выражениями:

(29)

Из выражений (23) следует, что , , не зависят от 0. А из выражений (26)(29) следует, что для определения углов Эйлера ,, достаточно найти выражения для , , . Для решения проблемы необходимо перейти к безразмерным переменным.

Пусть w является максимальным значением абсолютной угловой скорости спутника в его поступательно-вращательном движении.

Рассмотрим случай 0. Для решения проблемы перейдем в уравнениях (22), (23) к безразмерным переменным, выполняя замену

.

Уравнения (22), (23) примут вид:

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

Если в уравнениях (31)-(34) положить =0, то будем иметь уравнения (3), (4), которые были интегрированы в п.3.1.

Введем в уравнения (30)-(34) малый параметр следующим образом: