МЕХАНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СОЗДАНИЯ КОРМОПРИГОТОВИТЕЛЬНЫХ МАШИН С ВИБРИРУЕМЫМ ЗЕРНИСТЫМ

Наиболее правильным, на наш взгляд, подходом к описанию поведения вибрируемого зернистого слоя является его описание на основе моделей сплошной среды. В этих моделях учитывается взаимодействие частиц или элементарных объемов материала друг с другом и с воздушным потоком, присутствуют объемные силы, возникающие в сплошных средах. Но из всех существующих моделей подобного типа можно выделить лишь одну – модель на основе уравнений Лоренца, объясняющую все три экспериментально наблюдаемые типа поведения вибрируемого зернистого слоя, а именно: дрожание частиц с последующим уплотнением материала; циркуляционные движения; стохастическое поведение.

Во второй главе проводятся параллели между поведением нагреваемого снизу слоя вязкой жидкости и виброожиженным сыпучим материалом. Приводятся основные понятия из современной нелинейной динамики и синергетики и доказывается их применимость к описанию динамики вибрируемого зернистого слоя.

Краеугольным камнем синергетики является понятие о диссипативных структурах как пространственно-временных упорядоченных организациях в физических, механических, химических и биологических системах. Диссипативные структуры включают в себя все типы процессов самоорганизации: колебательные процессы, пространственную упорядоченность, пространственно-временное структурирование, хаотические состояния, что и наблюдается в процессах и аппаратах вибрационного типа.

Для возникновения диссипативных структур необходимы следующие условия, которые выполняются во многих технологических машинах и аппаратах:

1. Система должна быть открытой и постоянно обмениваться веществом и энергией с окружающей средой, т.е. система должна находиться в неравновесном состоянии.
2. В системе должно быть регулирование по типу обратной связи, что отображается нелинейными дифференциальными уравнениями.
3. Отклонения от равновесия превышают критические значения, то есть рассматриваются состояния, лежащие вне термодинамической (равновесной) ветви.
4. Процессы рассматриваются в таком диапазоне параметров, когда для их описания необходимы нелинейные математические модели.

Диссипативные структуры характеризуют поведение системы в целом, которое никак нельзя было предвидеть или понять на основе свойств отдельных ее элементов.

Условия возникновения, устойчивости, перехода из одного неравновесного стационарного состояния в другое были достаточно хорошо изложены И. Пригожиным, который разработал свою теорию на основе термодинамики неравновесных процессов.

За функцию состояния термодинамической системы принимается изменение энтропии:

, (1)

где производство энтропии; поток энтропии.

Энтропия обладает следующими свойствами.

1) Энтропия является экстенсивной величиной. Если система состоит из нескольких частей, полная энтропия равна сумме энтропий этих частей. Производство энтропии вызвано изменениями внутри системы, а поток энтропии возникает за счет взаимодействия системы с внешней средой.

2) Производство энтропии в реальных необратимых процессах всегда положительно:

. (2)

В термодинамике неравновесных процессов на основе уравнения (2) записывается полное условие термогидродинамической устойчивости:

. (3)

где производство избыточной энтропии в любой произвольной части объема термодинамической системы, равновесие которой рассматривается; плотность; число Релея; коэффициент, характеризующий изменение температуры в направлении вертикальной оси ; ускорение свободного падения; коэффициент теплового расширения; высота слоя вязкой жидкости; кинематическая вязкость; теплопроводность; частная производная от перепада температуры по соответствующей пространственной координате; i-тая компонента перепада скорости центра масс системы; перепад скорости потока по высоте слоя.

Применяя условие (3) для исследования конвективной неустойчивости Бенара можно использовать наименьшее из возможных значений числа Релея, при котором возникает неустойчивость. Такое значение числа Релея называется критическим и обозначается . То есть, среда переходит в неустойчивое состояние при условии:

. (4)

Для проверки применимости термогидродинамического математического аппарата в целом, и условия (4) в частности, к описанию динамики вибрируемого зернистого слоя были проведены экспериментальные исследования.

Экспериментальные установки, позволяющие получать прямолинейные вертикальные (рисунок 2а) и горизонтальные (рисунок 2б) колебания оснащались прозрачными сосудами кубической и цилиндрической форм. Изменяя параметры вибрационного воздействия на зернистый материал (просо), находящийся в сосуде, проводились наблюдения за его динамическим состоянием. При переходе материала от одного типа движения к другому фиксировались параметры вибрационного воздействия на него.

В качестве факторов, влияющих на динамическое состояние вибрируемого материала, использовались амплитуда и частота колебаний, а также высота слоя материала. Параметры вибрации измерялись акселерометром Analog Devices ADXL278, позволяющим измерять ускорения одновременно в двух взаимоперпендикулярных направлениях величиной ± 50 g с погрешностью не более 5 %. Показания акселерометра вы-

а) б)

Рисунок 2 Общий вид экспериментальных установок

водились на компьютер (рисунок 3), где подвергались дальнейшей обработке.

Проведенные экспериментальные исследования подтвердили работоспособность критерия (4), который указывает на переход материала из состояния уплотнения к регулярным циркуляциям, применительно к вибрируемому зернистому материалу.

Третья глава посвящена разработке гидродинамической модели вибрируемого зернистого слоя. В ней получены критерии подобия, позволяющие моделировать поведение виброожиженного сыпучего материала на гидродинамическом программном обеспечении. На основе методов синергетики производится сведение гидродинамической модели к модели Лоренца. Приводятся результаты компьютерного моделирования динамического поведения вибрируемого зернистого слоя и сравнение с экспериментом.

В предыдущих разделах упоминалось, что виброожиженный слой сыпучего материала напоминает вязкую жидкость и его поведение может быть описано при помощи уравнения Навье-Стокса:

, (5)

где скорость; давление; оператор Набла; силы, отличающие виброожиженный сыпучий материал от вязкой жидкости.

Для определения последнего слагаемого в правой части выражения (5) было рассмотрено движение частицы материала в сплошной среде виброожиженного сыпучего материала при прямолинейных вертикальных колебаниях (рисунок 4), где: архимедова сила от действия воздуха, архимедова сила от действия сыпучего материала; сила сухого трения; сила динамического напора со стороны воздушного потока; сила тяжести.

Дифференциальное уравнение движения частицы с учетом всех сил, действующих на нее (рисунок 4) выглядит следующим образом:

(6)

где коэффициент сопротивления; плотность воздуха; плотность частицы; эквивалентный диаметр частицы; амплитудное значение скорости воздуха в сечении Х = 0; коэффициент пространственного затухания скорости воздушного потока; частота колебаний; t – время; – плотность виброожиженного сыпучего материала; k – коэффициент подвижности материала; f – коэффициент внутреннего трения материала; h – высота слоя материала над частицей; – максимальная высота слоя материала в сосуде; х – текущая координата частицы; амплитуда колебаний; – коэффициент затухания колебаний в сыпучем материале.

Численное решение уравнения (6) дает траекторию движения частицы (рисунок 5).

Анализ рисунка 5 показывает, что частица поднимается под действием объемных сил на некоторую высоту и «зависает», совершая колебания на высоте, близкой к поверхности слоя материала.

Подставив выражения для сил, указанных на рисунке 4 в уравнение (5) и записав его в координатной форме для плоской картины движения, получим:

. (7)

К уравнениям (7) необходимо добавить уравнение неразрывности:

. (8)

Для того, чтобы модель была полной и законченной, к выражениям (7), (8) добавим граничные условия в соответствии с рисунком 6:

(9)

Для решения системы (7) при помощи специальных компьютерных программ, моделирующих поведение жидкостей и газов, необходимо получить критерии подобия между виброожиженным сыпучим материалом и вязкой жидкостью. Воспользовавшись методикой из теории подобия и обозначив штрихом безразмерные значения скорости, времени, координат и сил ; ; ; ; ; ; ; ; , получим:

В системе уравнений (10) полученные безразмерные критерии подобия обведены прямоугольными рамками. По их виду можно судить об аналогии процессов движения, происходящих в псевдожидкости под действием вибрации и в вязкой жидкости. Так, безразмерная величина представляет собой не что иное, как вибрационный аналог числа Эйлера, величина вибрационный аналог числа Рейнольдса, величина вибрационный аналог числа Фруда и, наконец, величина коэффициент перегрузки.

В результате преобразований получили следующие критерии подобия:

, , , , , , , . (11)

Наибольший интерес среди выявленных критериев подобия представляет вибрационный аналог числа Фруда:

. (12)

Само же число Фруда в гидродинамике определяется выражением:

, (13)

где V – характерная скорость; L – характерный размер (длина); коэффициент теплового расширения; Т – перепад температуры.

Сравнивая выражения (12) и (13), можно провести аналогию:

, , (14)

то есть изменение высоты слоя материала аналогично перепаду температуры, а коэффициент теплового расширения пропорционален произведению коэффициента подвижности материала на коэффициент внутреннего трения. В гидродинамике, при подогреве слоя жидкости снизу и при возникновении конвекционных течений, движущей силой является сила Архимеда, выталкивающая вверх нагретые у нижней кромки жидкости частицы, которые вследствие нагревания становятся легче. При виброожижении движущей силой является подъемная сила от возникающего при вибрации стенок сосуда воздушного потока. Из вышеизложенного можно сделать вывод о том, что перепад температуры в жидкости аналогичен изменению скорости воздушного потока по высоте слоя сыпучего материала.

Моделирование поведения виброожиженного слоя сыпучего материала при помощи программы для гидродинамических расчетов Flow 3D показало все три типа экспериментально наблюдаемых динамических состояния материала: уплотнение (рисунок 7), циркуляционные течения (рисунок 8), стохастическое движение (рисунок 9). Результаты моделирования и их соответствие натурному эксперименту (рисунок 7 - 9) подтверждают справедливость гидродинамической модели и полученных критериев подобия, и дает возможность использования ее для проектирования вибрационных машин с вибрируемым зернистым слоем.

Моделирование поведения виброожиженного слоя сыпучего материала при разработке каждой конкретной вибрационной машины при помощи уравнений Навье-Стокса и использовании гидродинамического программного обеспечения представляет собой весьма непростую задачу. Часто для проектирования вибрационной машины нет необходимости точно знать, как распределяются поля скоростей, ускорений и давлений в объеме материала. Достаточно информации лишь о том, какой режим движения материала будет осуществляться при решении конкретной задачи. Представление о режиме движения материала может дать модель Лоренца. Поэтому для упрощения уравнений Навье-Стокса можно использовать некоторую методику, основанную на принципах синергетики и приводящую к системе более простых дифференциальных уравнений. Такая методика была предложена американским физиком-метеорологом Эдвардом Лоренцом и впоследствии была названа моделью Лоренца. Используем данную методику для сведения уравнений (7) к системе Лоренца.

К системе уравнений (7) добавим уравнение неразрывности (8), граничные условия (9) и уравнения, описывающие изменение скорости воздушного потока и давления по высоте слоя виброожиженного слоя сыпучего материала. Скорости воздушного потока , генерируемого вибрирующим контейнером, в сечениях и (рисунок 6) считаем заданными (для данного режима вибрации), поэтому закономерности распределения этих скоростей внутри слоя материала записываем в форме уравнения переноса:

, (15)

где некоторый коэффициент.

Примем, что скорость воздушного потока изменяется по высоте слоя по следующему закону:

, (16)

где отклонение скорости от линейного профиля.

Приведем пояснения к выражению (16). Будем считать, что скорость воздушного потока у вибрирующего рабочего органа (днища) равна , а у верхней кромки виброожиженного слоя материала высотой она уменьшается на некоторую величину и равна . Тогда в любом текущем уровне по высоте слоя с координатой у линейное изменение скорости будет составлять величину .

Предположим, что плотность материала зависит от скорости воздушного потока, проходящего через материал, и изменяется по зависимости

, (17)

где коэффициент расширения материала от скорости воздушного потока (аналог коэффициента теплового расширения).

Положим, что давление в слое материала изменяется по следующим образом:

, (18)

где отклонение поля давлений от гидростатического давления.

Сведем все представленные уравнения в одну систему, которая и будет оценивать динамику виброожиженного слоя:

(19)

Рисунок 7 Поле скоростей в режиме движения с уплотнением

материала и экспериментально наблюдаемое уплотнение зерен проса

Рисунок 8 Поле скоростей в режиме циркуляции и циркуляционное движение зерен

проса с образованием ячеек Бенара, наблюдаемое в эксперименте

Используя методику Лоренца, сводим систему уравнений (19) к более простой системе нелинейных дифференциальных уравнений, именуемых моделью Лоренца, представляющую собой динамическую систему с трехмерным фазовым пространством (х, у, z):

, (20)

где , и параметры модели Лоренца.

Рисунок 9 Хаотический режим движения зернистого слоя с

выбрасыванием материала за пределы сосуда

Параметры модели Лоренца определяются из выражений:

; ; , (21)

где , , m и n – целые, с – отношение высоты ячейки циркулирующего материала к ее ширине .