СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ КОНСТРУКЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СИЛОСОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ КОНСТРУКЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СИЛОСОВ, ДЛЯ ХРАНЕНИЯ СЫПУЧИХ ГРУЗОВ. РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ САПР ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПО МАССЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

В третьей четвертой главе «Разработка математической модели рациональных по массе цилиндрических силосов» рассматривается построение алгоритма численно-аналитического метода решения задач, описывающих напряженно-деформированное состояние (НДС) тонкостенной цилиндрической оболочки силоса, имеющей переменную (по образующей) толщину стенок и находящихся находящейся под воздействием переменных по высоте распределенных нагрузок(по высоте).

Если классифицировать цилиндрическую оболочку силоса по характеру ее расчетной модели, то она должна быть отнесена к тонкостеннымой оболочкаме средней длины, находящаяейся в двухосном напряженном состоянии от внешних воздействияй.

При расчете оболочки за искомые величины принимаются функции напряжений и перемещений от силовых воздействийфакторов (давления засыпки, веса конструкции и т.д.), определяемвычисляемые на основе уравнений равновесия, геометрических и физических уравнений с учетом граничных условий. Определяющими несущую способность являютсябудут нормальные напряжения; влияние касательных напряжений менее существенно. При этом, задача исследования напряженного состояния и деформацийНДС ставится в линейной постановке, когда рассматриваются малые перемещения, вследствие чего влияние деформаций на изменение расчетной модели не учитывается; кроме этого, физические свойства материала считаются неизменными.

Условия на краю или граничном контуре служат основными даннымиявляются определяющими для расчетной схемы оболочек. Края могут быть: свободными, шарнирно подвижно опертыми, шарнирно неподвижно опертыми, защемленными., Те или иные условия на контуреи могут распространяться по всему контуру, его части контура или бысуществовать в отдельных точках.

Таким образом, системой, описывающей НДС цилиндрической обечайки, является краевая задача, построенная на основе дифференциальных уравнений и различного типа краевых условий. В настоящее время подобного типа задачи обычно решают приближенными численными методами. Но, при решении краевой задачи оболочки ступенчатойпеременной толщины с учетом переменности распределенной внешней нагрузки, появляются переменные коэффициенты при членах дифференциальных уравнений, что исключает возможность решения последних в замкнутом виде и затрудняет прямое применение впрямую численных и аналитических методов, в связи с чем возникает вопрос разработки приемлемойэффективной методики решения возникающихпостроенных дифференциальных уравнений.

В третьей главе тТакже рассматриваются достоинства приближенных методов, позволяющих получать близкие к точному результаты при решении краевых задач алгоритмов управления, построенных на основе дифференциальных уравнений, имеющих переменные коэффициенты. Это обусловлено не только особенностями нагрузки на тонкостенные оболочки конструкции, но и спецификой снижения материалоемкости путем введения переменной жесткости за счет ступенчатого изменения толщины листовой конструкции.

Применение весьма распространенного Мметода конечных конечных элементов элементов (МКЭ) в настоящее время является наиболее мощным численным методом для решения задач механики деформируемого твердого тела. В силу присущей ему универсальности и алгоритмичности МКЭ успешно применяется для расчета конструкций практически любой сложности, и на его основе создаются комплексы программ широкого назначения. Следует отметить, однако, что при расчете тонкостенных оболочечных конструкций сопряжено с определенными трудностями в получение получении достоверных результатов сопряжено с определенными трудностями. Прежде всего,, - возникает проблема выбора конечного элемента, обеспечивающего достаточную точность при минимальной стоимости расчета. Это обстоятельство предъявляет высокие требования к квалификации инженеров, ведущих практические расчеты, поскольку для успешного выбора конкретного элемента из множества описанных в литературе, необходимо иметь опыт работы с ними и ясно представлять возможности каждого из элементов. Прежде всего, здесь возникает проблема выбора конечного элемента, позволяющего получить достаточную точность при минимальной стоимости расчета. В литературе описано множество конечных элементов, которые сравниваются между собой в тестовых расчетах, и оказывается, что каждый из них имеет ограниченную область применения. Это обстоятельство предъявляет высокие требования к квалификации инженеров, ведущих практические расчеты, поскольку для успешного выбора конкретного элемента из множества описанных в литературе, необходимо иметь опыт работы с ними и ясно представлять возможности каждого из элементов. В приложении к изучаемой проблеме это означает проведение дополнительных исследований и численных экспериментов, что сопоставимо по объему с настоящей работойпредлагаемой диссертацией.

Метод конечных разностей также весьма распространен благодаря легкости написания алгоритма, простоте в реализации на ПКПЭВМ, адаптируемости к различным типам обыкновенных обычных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Существует не только множество замен краевой задачи конечно-разностными схемами с различным порядком аппроксимации, скоростью сходимости и устойчивостью, но и множеством способов решения полученных систем алгебраических уравнений. Но, при использовании метода конечных разностей в случае дифференциальных уравнений высокого высоких порядка порядков с переменными коэффициентами возникает вопрос корректности получаемых решений.

Метод малого параметра дает возможность решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, но имеет один недостаток – громоздкий аналитический счет.

Для оболочек с переменной толщиной стенок под воздействием переменных распределенных нагрузок хорошие результаты дает метод возмущений, обеспечивающий решения «в запас». Но этот метод имеет серьезный недостаток – громоздкий аналитический счет.

Совместное применение двух последних методов, реализованноеосуществленное в численно-аналитическом методе MKRWконечно-разностной реализации метода малого параметра, позволяет избавиться от трудоемких аналитических вычислений и решить вопрос с оценкой точности полученных результатов. В работах Астахова М.В.е [ ] совместное применение указанного указанных метода методов обосновано на примере решения ряда краевых задач, описывающих НДС цилиндрических оболочек и панелей переменной толщины, находящихся под действием постоянного либо переменного давления.

На основе проведенного сравнительного анализа подходов предлагаетсяДелается вывод о целесообразности применение использования конечно-разностной реализации метода малого параметраметода MKRW для решения задачи прочностиопределения напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки переменной толщины, нагруженной переменным внешним внутренним давлением. Рассмотрим алгоритм метода в приложении к цилиндрической обечайке переменной по высоте толщины.

Анализ изменения (рисунок 2 в, г) теоретических и экспериментальных ( - по Янсену, - по Платонову) давлений на цилиндрическую часть силоса, а также учет динамических составляющих внешней нагрузки, возникающей от вибраций обечайки при загрузке силоса, позволяет аппроксимировать величину максимального давления как ординату , совпадающую с местом стыка цилиндра с днищем, а внутреннее давление может меняться по линейному закону от до , или:

, (1)

где: - начальное давление в верхней части стенки; - ордината высоты цилиндрической стенки; - радиус срединной поверхности оболочки; - безразмерный малый параметр.

Так как давление в верхней части силоса невелико, то возможно снижение массы обечайки путем применения листов стали различной толщины, начиная с листа максимальной толщины в месте стыка обечайки с днищем, и заканчивая листом минимальной толщины у крыши силоса (рисунок 2, а).

Для целей аналитического расчета оболочки и более эффективного проектирования, можно заменить ступенчатое изменение толщины, обусловленное технологическими требованиями, на линейно-переменное (рисунок 2, б) согласно закону:

,

(2)

где: - начальная толщина стенки; ; - произвольное число.

Минимизируя выражение удельной внутренней энергии такой оболочки с учетом симметричности геометрии и нагрузки:

(3)

на основе уравнения Эйлера вариационной задачи

, (4)

приходим к дифференциальному уравнению

, (5)

где: - прогиб срединной поверхности; - цилиндрическая жесткость оболочки; - коэффициент Пуассона; – модуль Юнга; - угловая координата.

(а – эскиз цилиндрической оболочки со ступенчато-переменной толщиной стальных листов; б – сечение стенки цилиндрической оболочки линейно-переменной толщины; в – эпюра теоретических давлений на стенку силоса по Янсену; г - эпюра экспериментальных давлений на стенку силоса по Платонову П.Н.; д – аппроксимация давления на стенку силоса линейным законом по предложению автора)

Рисунок 2 - Изменение толщины обечайки и внутреннего давления на ее стенки.

.

(а – эскиз цилиндрической оболочки со ступенчато-переменной толщиной стальных листов; б – сечение стенки цилиндрической оболочки линейно-переменной тол-щины; в – эпюра теоретических давлений на стенку силоса по Янсену; г - эпюра экспериментальных давлений на стенку силоса по Платонову П.Н.; д – аппрокси-мация давления на стенку силоса линейным законом по предложению автора)

Рисунок 2 - Изменение толщины обечайки и давления на ее стенки.

Так как давление в верхней части силоса невелико, то возможно снижение массы обечайки путем применения листов стали различной толщины, начиная с листа максимальной толщины в месте стыка обечайки с днищем, и заканчивая листом минимальной толщины у крыши силоса (рисунок 2, а).

Для целей аналитического расчета оболочки и более эффективного проектирования, можно заменить ступенчатое изменение толщины, обусловленное технологическими требованиями, на линейно-переменное (рисунок 2, б) согласно закону:Пусть толщина стенок оболочки изменяется согласно закону2:

,

(2)

(1)

где: - начальная толщина стенки; ; - произвольное число; - радиус срединной поверхности оболочки; - безразмерный малый параметр..

2Давление может меняться по линейному закону:

(2)

Так как давление в верхней части силоса невелико, то возможно снижение массы обечайки путем применения листов стали различной толщины, начиная с листа максимальной толщины в месте стыка обечайки с днищем, и заканчивая листом минимальной толщины у крыши силоса.

Минимизируя выражение удельной внутренней энергии такой оболочки с учетом симметричности геометрии и нагрузки:

(3)

на основе уравнения Эйлера вариационной задачи

, (4)

приходим к дифференциальному уравнению

, (5)

где: - прогиб средней срединной поверхности; - цилиндрическая жесткость оболочки; - коэффициент Пуассона; – модуль Юнга. ; - угловая координата.

Граничные условия запишем в виде:

, (6)

что соответствует шарнирному опиранию по торцам с концевым круговым шпангоутным подкреплением. Здесь - высота обечайки.

Подставив в (5) выражения из (1), (2) и введя некоторые параметры, получим:

, (7)

где: ;, , ; , ; , ; , ; , ; ..

Краевую задачу (6), (7) решим методом малого параметра и представим искомую функцию в виде ряда разложения по степеням :

. (8)

Нагрузку (21) также представим в виде ряда:

, (9)

где ..

Подставив (8), (9) в (7), приравняв коэффициенты при одинаковых степенях параметра и ограничившись тремя членами разложения, получим:

(10)

Применим к системе краевых задач (10), (6) метод конечных разностей обычной точности. Вводя пространство сеточных функций, заданных на сетке и удовлетворяющих граничным условиям, получим систему уравнений, разностные операторы которых представлены ниже:

, , , ,

(11)