авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |

Регуляризация и единственность решений линейных интегральных уравнений фредгольма первого рода

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Каденова Зууракан Ажимаматовна

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА

01.01.02 –дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата

физико-математических наук

Новосибирск, Ош – 2006

Работа выполнена в Ошском технологическом университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Асанов Авыт

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Голубятников Владимир Петрович

доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов Александр Иванович

Ведущая организация:

Институт математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург)

Защита состоится «_19_» _декабря_2006 г. в 16-00 на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу:

630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан «____» __________2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

д-р физ.-мат. наук Н.И. Макаренко

Общая характеристика работы

Настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов регуляризации и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

Актуальность работы. Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, принадлежат к классу некорректно поставленных задач. Один из классов таких некорректных задач составляют интегральные уравнения Фредгольма первого рода.

Новое понятие корректности в работах А.Н.Тихонова [6], М.М.Лаврентьева [4] и В.К.Иванова [3], отличное от классического, дало средство для исследования некорректных задач и стимулировало интерес к интегральным уравнениям, имеющим большое прикладное значение.

К ним приводится большое число прикладных задач, в том числе, задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах. В качестве приближенных решений таких задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, используются решения, получаемые методом регуляризации.

Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризации и единственности решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Цель работы. Построение регуляризирующих операторов для решения интегральных уравнений и систем уравнений Фредгольма первого рода, доказательство теорем единственности и получение оценки устойчивости для таких уравнений в разных семействах множеств корректностей.

Основные результаты.

- Доказаны теоремы единственности интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода.



- Построены регуляризирующие уравнения в пространстве .

- Получены оценки устойчивости в разных семействах множеств корректностей.

- С помощью разложения в ряд Фурье ядра интегрального уравнения Фредгольма первого рода типа свертки доказана теорема единственности и построены регуляризирующие операторы в пространстве .

Методы исследования. Для получения сформулированных в диссертации результатов используются методы функционального анализа и метод Фурье.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. Их достоверность устанавливается доказательствами, иллюстрируются примерами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные теоретические результаты могут быть применены в различных областях науки и техники.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на международных и российских конференциях: Международная научная конференция «Проблемы математики и информатики в XXI веке», г. Бишкек (2000), Международная конференция «Актуальные проблемы современной науки», г. Самара (2004), Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи», г. Самара (2004).

Результаты диссертации доложены также на семинарах: Ошского технологического университета «Проблемы и задачи математики» под руководством д.ф.-м.н., профессора Алыбаева К.С. (2004), Ульяновского государственного университета (семинар Ульяновского филиала Средневолжского математического общества) под руководством д.ф.-м.н., профессора Горбунова В. К. (2004), Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» под руководством академика Монахова В.Н., чл.-корр. РАН Плотникова П.И. (2005), Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН «Условно-корректные задачи» под руководством академика Лаврентьева М.М. (2005).

Материалы диссертации опубликованы в следующих изданиях:

  1. Асанов А., Каденова З.А. Об одном классе интегральных уравнений Фредгольма первого рода.// Труды межд. научно-практ. конф.: «Проблемы образования, науки и культуры в начале XXI века». Вестник ОшГУ, серия ф-м.н.-Ош: Билим, 2001.-№4.-С.59-67.
  2. Асанов А., Каденова З.А. Об одном классе систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода.// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям.-Бишкек: Илим, 2002.- Вып.31.- С.172-182.
  3. Асанов А., Каденова З.А. О единственности решения для одного класса интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара: СамГТУ, 2004.-Ч.3.-С.122-126.
  4. Каденова З.А. О единственности решения для одного класса линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода типа свертки. // Труды межд. научной конф.- «Проблемы математики и информатики в ХХI веке».- Бишкек: КГНУ. 2000.- Вестник КГНУ.-Вып.4.-С.123-127.
  5. Каденова З.А. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода типа свертки с двумя независимыми переменными. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям.- Бишкек: Илим, 2000.-Вып.-29.-С.143-147.
  6. Каденова З.А. О единственности решения для одного класса систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды межд. научн.-теортической конф. «Проблемы экономики, мат.-мод. и авт. инф. процессов»-Ош: Вестник ОшГУ.-2003.-Вып.№7.-С.75-79.
  7. Каденова З.А. О единственности решений систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды 5-й Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки». - Самара: СамГТУ.-2004.-Ч.1,2.-С.61-66.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы и списка литературы.

Работа изложена на 93 страницах машинописного текста. Перечень литературы содержит 81 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору А. Асанову за постановку задач и внимание к работе.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор литературы, изложено краткое содержание диссертационной работы.

В первой главе изучаются вопросы регуляризации и единственности решения линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

В §1.1. рассматривается линейное интегральное уравнение вида

, (1)

где

(2)

данные функции, искомая функция. С помощью метода, примененного в работе [1], доказывается теорема единственности решения уравнения (1) в классе .

Обозначим

.

Введём новую функцию следующим образом

(3)

Известно, что

, (4)

где характеристические числа ядра , расположенные в порядке возрастания их модуля, исоответствующие ортонормированные собственные функции.

Теорема 1.1.1. Пусть - полное ядро и . Тогда решение уравнения (1) в пространстве единственно.

При доказательстве единственности решения уравнения (1) рассматриваются вопросы о регуляризации решения и построении регуляризирующих уравнений в пространстве .

Случай 1. Семейство множеств корректностей , зависящее от параметра ,

где .

Будем предполагать, что . Тогда уравнение (1) имеет решение и справедлива оценка

. (5)

Таким образом доказана

Теорема 1.1.2. Пусть ядро положительно определено,

- образ при отображении . Тогда на множестве оператор , обратный к K, равномерно непрерывен с гёльдеровым показателем , т.е. справедливо (5).

При этом решение уравнения

(6)

будет регуляризирующим для уравнения (1) на множестве .

Если - решение уравнения (1), то получена оценка

. (7)

Таким образом, доказана

Теорема 1.1.3. Пусть ядро положительно определено, , - решения уравнения (1) решение уравнения (6). Тогда справедлива оценка (7).

Замечание. Если , то в силу неравенства

можно улучшить оценку (7), тогда при получим:

.

Случай 2. Будем считать, что ядро положительно определено. Семейство множеств корректностей выделено следующим образом:

где

.

Предположим, что . Тогда уравнение (1) имеет решение и справедлива оценка

. (8)

Таким образом, доказана

Теорема 1.1.4. Пусть ядро положительно определено, - образ при отображении . Тогда на множестве существует равномерно непрерывный оператор , обратный к K, т.е. справедлива оценка (8).

В § 1.2. предполагается выполнение следующих условий:

имеют производные

при всех

выполняется хотя бы одно из следующих условий:





при почти всех

при почти всех

при почти всех .

Методом, предложенным в [2], доказывается

Теорема 1.2.1. Пусть выполняются условия а), б) и в). Тогда решение уравнения (1) единственно в классе .

В §1.3. рассматривается следующее уравнение с разностным ядром

. (9)

Предполагается, что и являются непрерывно – дифференцируемыми функциями на . Дополним определение данной функции четным образом так, чтобы при – << 00 было =.

Тогда будем иметь

(10)

(11) Разложим функцию в ряд Фурье на ,

(12) где

(13)

Доказывается

Теорема 1.3.1. Пусть где определены в формуле (13).Тогда решения уравнение (9) единственное в пространстве .

Интегрируя по частям в формулах для коэффициентов Фурье , получаем

Пусть . (14)

Сформулируем следующие условия

(15)

для любых

Теорема 1.3.2. Пусть выполнены условия а) и б). Тогда коэффициент Фурье имеет значение отличное от нуля, для всех . Поэтому

решение уравнения (9) единственно в пространстве .

В § 1.4. рассматриваются интегральные уравнения с разностными ядрами

(16)

Предполагается, что и являются непрерывно – дифференцируемые функции по t и по х на . Решение ищется в .

Дополняя в области , получим .

Используя разложение в ряд Фурье

(17)

где

(18)

доказываем следующее утверждение.

Теорема 1.4. Пусть где определены в формуле (18). Тогда решение уравнения (16) единственно в пространстве .

Вторая глава посвящена вопросам единственности и регуляризации решений системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

В § 2.1. изучается вопрос о единственности решения системы уравнений Фредгольма первого рода

(19)

где

(20)

- известные nxn – мерные матричные функции.

- n- мерные соответственно искомые и известные вектор-функции.

Введем новую матричную функцию

где B*- сопряженная матрица к матрице В.

В силу замечания 9.1 [5] справедлива формула

Из условия а) следует, что все положительны и

Предположим выполнение следующего условия:

а) Все собственные значение матричного ядра M(t,s) положительны.

Теорема 2.1.1. При выполнения условия а) решение системы (25) в пространстве единственно (здесь En–n-мерное вещественное евклидово пространство).

В § 2.2. Наряду с (20) рассматривается следующая система уравнений

(21)

Случай 1. Выделим семейство множеств корректности, зависящее от параметра , следующим образом:

где .

В диссертации получена следующая оценка устойчивости

(22)

где .

Таким образом, доказана

Теорема 2.2.1. Пусть оператор M, порожденный матричным ядром M(t,s), положительный. Тогда решение системы (19) в единственно. Кроме того, на множестве - образ при отображении оператором ) оператор , обратный к , равномерно непрерывен с гёльдеровым показателем , т.е. справедлива оценка (22).

Показано также, что решение системы (21) будет регуляризирующим для системы (19) на множестве , т.е.

. (23)

Доказывается

Теорема 2.2.2. Пусть оператор M порожденный матричным ядром M(t,s) положительный и . Тогда справедлива оценка (23), где - решение системы (21), - решение системы (19).

Случай 2. Выделив семейство множеств корректностей следующим образом:

,

где

.

Получена следующая оценка устойчивости

. (24)

Доказана

Теорема 2.2.3. Пусть оператор M, порожденный матричным ядром M(t,s), положительный, - образ при отображении . Тогда на множестве существует равномерно непрерывный оператор , обратный к , т.е. справедлива оценка (24).

В § 2.3 предполагается выполнения следующих условий:

а) имеет производные и где H*-сопряженная матрица к матрице H.

б) т.е.

т.е.

т.е.

т.е.

в) выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) т.е. при почти всех



Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:










 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.