авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |

Краевые задачи для квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Колпаков Илья Юрьевич

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С НЕОБРАТИМОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТЬЮ

01.01.02 – дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Пермь - 2006

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Абдуллаев Абдулла Рамазанович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Максимов Владимир Петрович

кандидат физико-математических наук,

доцент Коган Юрий Вольфович

Ведущая организация: Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина

Защита состоится « 2 » ноября 2006 года в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.188.02 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Поздеева 11, ауд.309.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан «___» сентября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

канд. физ.-мат. наук, доцент В.А. Соколов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для квазилинейных функционально- дифференциальных уравнений (ФДУ). Такие задачи возникают в математических моделях механики, химии, физики, биологии, экономики и в других науках. Вопросам разрешимости краевых задач посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных исследователей, в том числе Н.В. Азбелева, И.Т. Кигурадзе, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной и др. Систематическое применение методов функционального анализа при исследовании ФДУ началось с основополагающих работ Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной.

В большинстве работ, посвященных условиям разрешимости квазилинейных краевых задач, предполагается, что соответствующая линейная краевая задача однозначно разрешима для всех пар правых частей. И в относительно небольшом количестве работ рассматриваются квазилинейные краевые задачи с необратимой линейной частью, это так называемые «резонансные» краевые задачи. Признаки разрешимости резонансных краевых задач получены в работах С.А. Вавилова, И.Г. Малкина, А.Р. Абдуллаева, А.А. Бойчука, А.Б. Бурмистровой, A. Cabada, S. Fucik, M. Furi, J. Mawhin, M. Martelli, L. Nirenberg, B. Przeradzki и др. авторов. В работах, посвященных условиям разрешимости резонансных краевых задач, наиболее распространены методы, основанные на преобразовании Ляпунова-Шмидта. Однако применение данных методов имеет ряд трудностей, в том числе само фактическое построение уравнения разветвления довольно сложно и громоздко. В связи с этим возникла проблема создания новых простых в применении универсальных методов для исследования на разрешимость резонансных краевых задач. К данным методам относится и метод, предложенный в диссертационной работе.





Цель работы. Получение новых достаточных условий разрешимости краевых задач для различных классов квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью.

Методы исследования. Проблема существования решения краевой задачи сводится к проблеме разрешимости операторного уравнения. Используются методы теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений, теории линейных операторов и нелинейного функционального анализа. Также используется теорема о существовании неявного оператора и теоремы существования с условиями на границе. Кроме того, применяется аппарат, связанный с коэффициентом сюръективности.

Научная новизна. В работе предложен новый подход к исследованию на разрешимость квазилинейных краевых задач с необратимой линейной частью. Получены новые признаки разрешимости квазилинейных краевых задач для абстрактных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью и систем квазилинейных операторных уравнений. Найдены условия разрешимости некоторых классов квазилинейных краевых задач, в том числе:

- краевой задачи для уравнения с отклоняющимся аргументом;

- краевой задачи для уравнения Льенара;

- краевой задачи для уравнения с малым параметром;

- краевой задачи для уравнения нейтрального типа;

- краевой задачи для сингулярного дифференциального уравнения первого порядка.

Теоретическая и практическая ценность работы. Разработанная методика может быть использована для изучения новых классов краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Результаты работы могут применяться при исследовании конкретных краевых задач, возникающих в математических моделях реальных процессов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» в Казани (2003), на Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» в Самаре (2003), на Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» в Нижнем Новгороде (2003), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самаре (2003, 2004, 2006), на Областной научной конференции молодых ученых и аспирантов «Молодежная наука Прикамья» в Перми (2002), на научно-практической конференции «Педагогические идеи Е.А. Дышинского и современное математическое образование» в Перми (2004), на научно-исследовательском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям под руководства профессора Абдуллаева А.Р., на семинаре кафедры математического анализа Пермского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 155 страницах. Библиографический список содержит 160 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введем обозначения: , - ядро и образ линейного оператора , , - граница и замыкание множества , - открытый шар с центром в нуле и радиуса , - мерное евклидово пространство, - частная производная по второму аргументу оператора в точке .

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по тематике, приводится описание методики исследования и краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава носит вспомогательный характер. Здесь собраны основные определения и утверждения, используемые в основном тексте.

В параграфе 1.1 приводятся необходимые сведения из функционального анализа, в том числе, определение частной производной оператора.

В параграфе 1.2 абстрактная линейная краевая задача рассматривается как одно линейное операторное уравнение

,

где , и . Для оператора приводится условие нетеровости, дается описание ядра , обобщенно обратного оператора , проектора на образ оператора и оценка его нормы.

В параграфе 1.3 рассматривается операторное уравнение второго рода вида:

,

где дополнительный проектор на образ оператора , , (). Такое уравнение возникает при исследовании на разрешимость квазилинейного операторного уравнения

. (1)

Поскольку, в общем случае, образ оператора не совпадает со всем пространством, то с помощью теоремы о существовании неявного оператора, являющегося решением данного операторного уравнения, можно определить множество пар , которое оператор переводит в образ оператора . Приведем здесь эту теорему:

Теорема 1.3.3. Пусть оператор непрерывен на множестве и имеет на частную производную , непрерывную в точке . Пусть далее , оператор непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) ;

2) , для любых ;

3) , для любых , где , и -некоторые постоянные, зависящие только от множества и оператора .

Положим

,

.

В этих условиях существует единственный оператор такой, что элемент при каждом является решением уравнения . При этом оператор непрерывен на шаре , и .

В диссертационной работе пространство отождествляется с пространством , имеющие согласованные нормы: . Поэтому, при необходимости прямая топологическая сумма рассматривается как прямое произведение с изометричной нормой, а оператор записывается в виде .

Вторая глава содержит основные результаты диссертационной работы. В начале главы рассмотрен новый подход для получения условий разрешимости квазилинейного операторного уравнения (1). Во второй части главы предложенный подход применяется к решению вопроса о разрешимости абстрактной квазилинейной краевой задачи и системы квазилинейных операторных уравнений, путем сведения их к квазилинейному операторному уравнению (1).

В параграфе 2.1 приведены теоремы о неподвижных точках и теорема существования решения квазилинейного операторного уравнения (1), необходимые в дальнейшем.

В параграфе 2.2 доказываются теоремы существования решения уравнения (1) с условиями на границе области, в которой ищется решение. Приведем здесь одну из этих теорем:

Теорема 2.2.1. Пусть оператор - нетеров, - обобщенно обратный к оператор и пусть существуют открытая ограниченная окрестность нуля и непрерывный оператор такие, что выполнены условия:

1) ,

2) из , .

Тогда существует ненулевое решение уравнения (1) в .

На практике, в случае, если трудно вычислить точно условие 2) теоремы 2.2.1 удобно заменить следующим, более легко проверяемым условием:

2) из , .

В параграфе 2.3 описывается предлагаемый подход к решению вопроса о разрешимости квазилинейного операторного уравнения (1). Идея подхода состоит в следующем: сначала с использованием теоремы 1.3.3 о существовании неявного оператора доказывается существование множества и непрерывного оператора, с помощью которых нелинейный оператор переводит данное множество в образ линейного оператора. Затем с помощью теоремы 2.2.1 существования с условиями на границе доказывается существование решения в полученном множестве.

Параграф 2.4 посвящен разрешимости абстрактной квазилинейной краевой задачи:

(2)

где - линейный и непрерывный операторы, - линейный и непрерывный вектор-функционалы, - банаховы пространства, причем .

Задача (2) исследуется на разрешимость как одно операторное уравнение:

,

где операторы определены равенствами:

, .

Затем к полученному квазилинейному операторному уравнению применяется предлагаемый в работе подход.

В предлагаемом подходе требуется дифференцируемость оператора , поэтому приведем здесь условия дифференцируемости и вид производной оператора :

Если оператор и вектор–функционал дифференцируемы по Фреше, то оператор дифференцируем по Фреше и его производная в точке равна .

Далее сформулируем теорему о разрешимости квазилинейной краевой задачи (2):

Теорема 2.4.1. Пусть оператор - нетеров, и - обобщенно обратные к и операторы. Оператор вполне непрерывен и вместе с функционалом дифференцируемы, причем их частные производные непрерывны в точке . Пусть далее , оператор непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) ;

2) , , ;

3) , ,

;

4) , , , ;

5) ;

6) , где , и .

Тогда существует ненулевое решение квазилинейной краевой задачи (2).

В параграфе 2.5 рассмотрен вопрос разрешимости системы квазилинейных операторных уравнений:

(3)

где - линейные ограниченные операторы, - непрерывные операторы , и , , - банаховы пространства. Система (3), как и в случае краевой задачи, записывается в виде одного операторного уравнения:

,

где операторы определены равенствами:

, .

Затем приводится условие нетеровости оператора , дается описание ядра , вида проектора на образ оператора , проектора на и ассоциированного с ним обобщенно обратного оператора .

Введем понятие производной оператора в точке:

Если операторы и дифференцируемы по Фреше, то оператор дифференцируем по Фреше и его производная в точке равна

,

где - частная производная - ой функции по - ому аргументу, то есть и .

Оператора в случае системы (3) имеет вид:

.

Условия разрешимости системы (3) примут вид:

Теорема 2.5.1. Пусть операторы и - нетеровы, - обобщенно обратный к оператор. Операторы и вполне непрерывны, дифференцируемы и их производные непрерывны в точке . Пусть далее ( - нуль в ), оператор непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , где ;

6) , где , , , и .

Тогда существует ненулевое решение системы квазилинейных операторных уравнений (3).



Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:







 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.