авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |

Канонические формации и классы фиттинга конечных групп

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

ЕГОРОВА Виктория Евгеньевна

КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМАЦИИ И КЛАССЫ ФИТТИНГА

КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Специальность 01.01.06 – математическая логика,

алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

Работа выполнена на кафедре алгебры математического факультета Московского педагогического государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор ВЕДЕРНИКОВ Виктор Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор ШЕМЕТКОВ Леонид Александрович

кандидат физико-математических наук,

Трушина Мария Николаевна

Ведущая организация – Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.

Защита состоится « 31 » мая 2010 года в ________часов в аудитории ___ на заседании диссертационного Совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14, МПГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д.1, ауд. 204.

Автореферат разослан «____»______________2010 г.

Ученый секретарь Муравьева О.В.

диссертационного Совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Большое значение для теории классов конечных групп имеет работа [38] В. Гашюца. В этой работе В. Гашюц определил локальные формации, используя функцию, отображающую множество простых чисел в формации групп. В 1975 году Л.А. Шеметков в [34] ввел принципиально новые спутники, отображающие множество всех простых групп I в формации. Формации со спутниками такого вида называются композиционными. Локальные и композиционные формации занимают важное место в теории классов групп, большой вклад в изучение таких формаций внесли А.Н. Скиба, Л.А. Шеметков и их ученики [16, 25, 27, 32-34, 37-38, 39].

В 90-х гг. Л. А. Шеметковым и А. Н. Скибой были определены частично локальные и частично композиционные формации и классы Фиттинга [35], [28]. Независимо частично композиционные формации были определены также В. А. Ведерниковым и Д. Г. Коптюх [1-2,19].

Принципиальное значение для дальнейшего развития теории формаций и классов Фиттинга имела работа В.А. Ведерникова и М.М. Сорокиной [5], в которой был найден общий способ конструирования формаций и классов Фиттинга с помощью функции направления . Формация F=F(f,)=(G: G/O(G)f() и G/G(A)f(A) для всех АK(G)) называется -расслоенной формацией с -спутником f и с направлением , где – некоторая FR-функция, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах, то есть : I{непустые формации Фиттинга}. Задание различных направлений расслоенной формации позволило определить уже ранее изученные формации и классы Фиттинга, а также ввести бесконечное множество новых формаций и классов Фиттинга. Так, при задании направления (А)=EAEA для всех простых групп A получаем -каноническую формацию.





Наряду с частично локальными и композиционными формациями наибольшие применения нашли частично канонические формации. Хотя все три класса являются попарно различными, но они обладают рядом общих свойств, а именно у них сходное описание минимальных и максимальных спутников. Как показано в работах Л.А. Шеметкова [35-36] (Воробьева Н.Н. [7]) произведение двух локальных формаций (классов Фиттинга) является локальной формацией (классом Фиттинга), а для композиционных формаций как показал А.Н.Скиба [28]- это неверно. В.А. Ведерниковым [40], Ю.А. Еловиковой [11] (В.А.Ведерниковым [40], О.В. Камозиной [31]) установлено, что произведение двух канонических формаций (классов Фиттинга) является канонической формацией (классом Фиттинга) и т.д. Изучением расслоенных и в частности, канонических формаций и классов Фиттинга и их применениями занимались В.А. Ведерников [1-5], М.М. Сорокина [29,30], А.Б.Еловиков [9-10], Ю.А. Скачкова [11-12, 24], О.В. Камозина [14-15, 31], Н.В. Силенок [23], М.А. Корпачёва [17-18] и др.

В связи с этим задача изучения строения канонических формаций и классов Фиттинга в зависимости от тех или иных свойств решёток подформаций и подклассов Фиттинга является актуальной.

К этому направлению относится настоящая диссертация.

Для изучения внутреннего строения формаций и классов Фиттинга эффективно использование решеточных методов и конструкций. Они позволяют получить как более простые доказательства уже известных фактов, так и получить новые результаты. Примерами решеток в теории формаций и классов Фиттинга являются критические неоднопорожденные локальные формации и классы Фиттинга. Такие объекты рассматривались в работах [20,21,13]. Поэтому актуальным является вопрос изучения подобных объектов для канонических формаций. Использование модулярности решетки позволяет рассматривать вопросы длины формаций и классов Фиттинга. Так в работе [26] были описаны локальные формации длины 5, в [6] получено полное описание строения формаций длины 3, изучены композиционные формации длины 3 [4] и -расслоенные формации длины 3 [3]. Кроме того, интерес представляет свойство алгебраичности решетки. В работах [8,25-26] показано, что решетка всех формаций, решетка всех n-кратно локальных формаций, решетка всех разрешимых тотально локальных формаций являются алгебраическими, в работах [22,25] доказана алгебраичность решеток -замкнутых кратно и тотально локальных, насыщенных формаций, в работе [11] была доказана алгебраичность решетки кратно -расслоенных -формаций. В работах [20] и [14] соответственно получено полное описание строения неоднопорождённых тотально локальных формаций, все собственные тотально локальные подформации которых однопорождены и неоднопорождённых тотально локальных Фиттинга, все собственные тотально локальные подклассы Фиттинга которых однопорождены.

В связи с этим несомненный интерес представляет описание аналогичных свойств решёток канонических формаций и классов Фиттинга, а также изучение свойств канонических формаций и классов Фиттинга в зависимости от свойств их решёток канонических подформаций и подклассов Фиттинга, чему и посвящена данная диссертация.

Цель и задачи исследования. Целью данной диссертации является изучение свойств канонических формаций и классов Фиттинга и их решеток. Для достижения поставленной цели в диссертации предполагается решить следующие задачи:

  • описать критические неоднопорожденные тотально канонические формации и классы Фиттинга конечных групп;
  • описать канонические нормально наследственные формации длины 4;
  • установить алгебраичность ряда решёток канонических формаций.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются канонические формации и классы Фиттинга, предметом исследования –свойства канонических формаций и классов Фиттинга и их решеток.

Методы проведенного исследования. В работе использовались методы общей теории конечных групп, теории классов конечных групп, а также методы общей теории решеток.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться при изучении формаций и классов Фиттинга, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

  1. Описание критических неоднопорожденных тотально канонических формаций конечных групп.
  2. Описание критических неоднопорожденных тотально канонических классов Фиттинга конечных групп.
  3. Описание канонических нормально наследственных формаций ksn-длины 4.
  4. Алгебраичность решетки всех n-кратно -расслоенных -замкнутых формаций с направлением таким, что 0.
  5. Алгебраичность решетки всех -замкнутых тотально канонических формаций K.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры алгебры Брянского государственного университета (2002-2004); на VI международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чудакова (Саратов, 2004), на международной алгебраической конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша (Москва, 2008); на семинаре, руководимым профессором В.А.Ведерниковым (2005-2007); на алгебраическом семинаре, руководимым профессором А.А. Фоминым.

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях и четырех тезисах конференций, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 77 наименования. Объем диссертации – 84 страницы.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании данной диссертации.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются определения и обозначения, принятые в [5,40].

Глава 1 содержит обзор основных результатов диссертации.

В главе 2 собраны некоторые известные результаты, используемые в основном тексте диссертации.

Глава 3 «Критические канонические формации и классы Фитинга» включает в себя два раздела.

В алгебре интересным объектом изучения являются критические X-алгебры, то есть X-алгебры, не обладающие некоторым свойством , все собственные X-подалгебры которых этим свойством обладают. В работе [20] исследованы критические неоднопорожденные тотально локальные формации конечных групп, т.е. тотально локальные формации, которые не являются однопорожденными, но все собственные тотально локальные подформации которых однопорождены. Установлено, что каждая такая формация совпадает с классом всех конечных -групп, где ={p,q} для некоторых различных простых чисел p и q. В классе конечных разрешимых групп понятия локальной и канонической формаций (классов Фиттинга) совпадают [5], однако в неразрешимом случае – это различные понятия.

Теорема 3.1.13 описывает неоднопорожденные тотально канонические формации.

3.1.13. Теорема. Пусть F – неоднопорожденная тотально каноническая формация. Тогда и только тогда все собственные тотально канонические подформации формации F однопорождены, когда F=Е с ()=2.

Интересным является изучение критических классов Фиттинга. Так, в теореме 3.2.15 описаны критические неоднопорожденные тотально канонические классы Фиттинга.

3.2.15. Теорема. Пусть F – неоднопорожденный тотально канонический класс Фиттинга. Тогда и только тогда все собственные тотально канонические подклассы Фиттинга в F однопорождены, когда F=Е с ()=2.

Глава 4 «Решетки подформаций канонических формаций и их применения» включает в себя 3 раздела.

Наряду с понятиями группы и класса понятие решетки занимает центральное место в теории групп. Так как множество всех классов групп образуют решётку относительно отношения “”, подрешётками которой являются все указанные выше классы, то исследование произвольных классов групп сводится к исследованию их составляющих. Важное место среди них занимает изучение классов групп с короткими цепями подклассов относительно “”. Наиболее развитой в этом направлении оказалась теория формаций. В 1981 году А.Н. Скибой в работе [26] было введено понятие длины формации и описаны локальные формации длины 5. В.А. Ведерников получил полное описание строения формаций длины 3 [6]. В.А. Ведерниковым и Д.Г. Коптюх изучены композиционные формации длины 3 [4] и -расслоенные формации длины 3 [3]. В разделе 4.1 главы 4 данной диссертации описаны канонические нормально наследственные формации ksn-длины 3 и длины 4.

В доказательствах теорем о длине канонических нормально наследственных формаций используется понятие (A,B)- группы. Определим данное понятие.

Пусть G – монолитическая группа с монолитом P и K(P)=(A). Если G/P изоморфна простой группе B, не изоморфной A, то группу G будем называть (A, B)-группой. Если G/P изоморфна простой неабелевой группе A, то G будем называть (A, A)-группой.

Основными результатами главы 4 являются следующие теоремы:

4.1.8. Теорема. Пусть F – каноническая нормально наследственная формация. Тогда и только тогда lksn(F)=3, когда F=KFsn(G), где группа G одного из следующих типов:

1) G=ABC и A, B, C – попарно неизоморфные простые группы;

2) G – (A,B)-группа, где A и B - неизоморфные простые группы.

4.1.10 Теорема. Пусть F – каноническая нормально наследственная формация. Тогда и только тогда lksn(F)=4, когда F=KFsn(G), где группа G одного из следующих типов:

1) G=ABCD и A, B, C, D – попарно неизоморфные простые группы;

2) G=SC, где S – (A,B)-группа, СI\((A)(B));

3) G= ST, где S – (A,B)-группа, а T – (B,A)-группа;

4) G – монолитическая группа с монолитом M, K(M) = (A), K(G) = (A) (B) и G/M либо (B, B)-группа, либо циклическая группа порядка p2, либо неабелева группа порядка p3 и экспоненты p>2.

В теории классов групп большую роль играют полные решетки, которые существенно используются при описании строения критических классов групп. Пусть L –непустая подформация в E, причем - непустое множество L-формаций. Решетка называется полной решеткой формаций в L, если пересечение любой совокупности -формаций принадлежит и {, L}. Если L = E, то полную решётку в E будем коротко называть полной решеткой. В разделе 4.2. рассматриваются -замкнутые кратно -расслоенные формации, где – подгрупповой X – функтор. Напомним определение подгруппового X – функтора.

Пусть X – произвольный непустой класс групп и всякой группе GX сопоставлена некоторая система ее подгрупп (G). называется подгрупповым X – функтором, если для всякого эпиморфизма : AB, где А, ВX, выполнены включения ((А)) (В), ((В)) -1(А), и, кроме того, для любой группы GX имеет место G(G).

Формация F называется -замкнутой, если (G) F для любой группы GF.

Полными решетками являются решетка кратно -локальных, кратно -композиционных формаций [25] и кратно -расслоенных формаций [24]. Следующая лемма показывают, что полной будет решетка всех n-кратно -замкнутых -расслоенных формаций с произвольным направлением .

4.2.1. Лемма. – полная решетка формаций.

Полная решетка называется алгебраической, если любой ее элемент является решеточным объединением компактных элементов. Элемент c полной решетки L называется компактным, если для любого подмножества XL из неравенства csupLX вытекает существование такого конечного подмножества X0X, что csupLX0.

Использование алгебраических решеток в теории групп связано прежде всего с индуктивными положениями в теории групп, переходом от конечных множеств к бесконечным. Как известно решетка всех формаций, решетка всех n-кратно локальных формаций, решетка всех разрешимых тотально локальных формаций и решетка всех разрешимых тотально локальных классов Фиттинга являются алгебраическими, причем компактными элементами будут соответствующие однопорожденные классы [25-26,8]. Поэтому изучение однопорожденных классов групп значительно проще, чем произвольных (неоднопорожденных). Представление элемента решетки в виде решеточного объединения своих компактных элементов, изучение компактных элементов и переход от них к рассматриваемому элементу – основная идея алгебраических решеток.

В данном разделе доказана алгебраичность решетки всех -замкнутых n-кратно -расслоенных формаций, для которых направление 0, где 0(A)=EА для любого АI.

4.2.5. Теорема. Решетка , где 0, является алгебраической.

Поскольку отрезок 0 содержит направление -канонической формации, то получаем

4.2.6. Следствие. Решетка Kn является алгебраической.

В третьем разделе четвертой главы рассматривается решетка всех -замкнутых тотально канонических формаций. В теореме 4.3.4 доказана алгебраичность такой решетки.

4.3.4. Теорема. Решетка всех -замкнутых тотально канонических формаций K является алгебраической.

ЛИТЕРАТУРА



Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:







 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.