авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:     | 1 ||

Оценки для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами или символами и их приложения

-- [ Страница 2 ] --

1) вне множества , если a) и пересечение множеств в правой части (11) непусто, b) ;

2) на отрезке и выше него в случаях a) и b) пункта 1), а также, если , и ;

3) на отрезке и левее него при тех же условиях, что и в пункте 2);

4) на отрезке , если ;

5) выше прямой при в случае a) пункта 1) или в случае и , или, если ;

6) принадлежащих множеству в первых двух случаях пункта 5).

Замечание 3. Отметим, что результаты теоремы 3 можно обобщить на случай потенциала (1) с ядром, имеющим степенные особенности на любом конечном числе сфер в с центром в начале координат. Такое обобщение дано в статье [12].

В § 8 рассмотрены частные случаи изменения параметров, когда, или . В частности, получены – оценки для потенциалов типа Стрихарца по вида

в предположении, что характеристика в окрестности точки удовлетворяет условиям, наложенным на характеристику в теореме 3, а в окрестности точки – условиям, наложенным на функцию .

Кроме того, приведен ряд эффектов, демонстрирующих влияние осцилляции ядра исследуемого оператора на его картину ограниченности, а также продемонстрировано влияние особенностей ядра на единичной сфере и в начале координат, на ограниченность оператора из в .

Рассмотрим оператор , где , (это означает, что точка {D} лежит ниже {M}, см. рисунок 3), и сравним множества и . Нашей целью является выяснение того, на сколько сильно меняется картина ограниченности оператора при непрерывном изменении параметра



Рисунок 3.

1) Если (это означает, что точка {M} лежит ниже {D}), то и т.к. множество не содержит точек, лежащих вне множества в силу утверждения II (пункт 1)) теоремы 3. Кроме того, уменьшается при уменьшении, и стремится к нулю при .

2) Если , то ={M}={D}.

3) Если , то .

Третья глава посвящена приложению результатов полученных в главах 1 и 2 к обращению и описанию образа оператора (1) в неэллиптическом случае и к описанию образа акустического потенциала.

В § 9 проводится исследование символа оператора (1), необходимое для построения обращения и описания образа этого оператора. В этом параграфе получено представление для символа указанного оператора. Кроме того, исследовано поведение этого символа при и .

В §10, в рамках метода АОО, строится обращение потенциалов (1) с – плотностями в неэллиптическом случае. Здесь мы предполагаем, что

. (12)

Обращение потенциалов , строится в виде

, , (13)

где

, (14)

, .

Как видно из (14), построение обращения потенциала в неэллиптическом случае связано с «улучшением» функции на бесконечности, на единичной сфере и на множестве нулей символа .

По сравнению с условиями на и, наложенными в теореме 3, предположим дополнительно, что и .

Следующая теорема утверждает, что оператор является левым обратным к .

Теорема 4. Пусть , , , с дополнительным ограничением при . Пусть далее . Тогда справедлива формула обращения

, ,

где – оператор (13).

В § 11 дано описание образа в терминах оператора (13) в неэллиптическом случае, когда выполнено условие (12). При этом мы существенно используем оценки для оператора (1), полученные в § 8. Отметим, что возникающие здесь принципиальные трудности связаны с вопросом о плотности в пространства С. Г. Самко–П. И. Лизоркина, построенного по множеству, являющемуся объединением множества нулей символа оператора (1), единичной сферы и начала координат. Эти трудности преодолеваются с помощью оценок для оператора из в , выводимых из (11).

Показано, что при некоторых дополнительных условиях гладкости на ядро , справедлива следующая теорема, являющаяся одним из основных результатов диссертации. Пусть , функции и такие же, как и в теореме 3 при , и , и удовлетворяют условию , в остальных случаях.

Теорема 5. Пусть , , , с дополнительным условием при .

Предположим, что . Тогда

,

где – оператор (13); – произвольные числа такие, для которых оператор ограничен из в .

Существование чисел и , описанных в формулировке теоремы 5 вытекает из – оценок для оператора , полученных в § 8.

В §12 описан образ акустического потенциала в терминах оператора – левого обратного к . При этом существенно используются оценки для оператора из в , вытекающие из (9). Кроме того, используется построенное В.А. Ногиным и М.М. Заволженским обращение акустического потенциала , в виде

(15)

.

Теорема 6. Пусть, , . Тогда

,

где – оператор (15); числа таковы, что оператор ограничен из в .

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Ногину В.А. за постановку задач, постоянную поддержку и внимание к работе.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

  1. Nogin V. A., Karasev D. N, On the L-characteristic of some potential-type operators with radial kernels, having singularities on a sphere // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2001. Vol. 4, No 3. P. 343–366.
  2. D.N. Karasev, –estimates for some potential-type operators with oscillating kernels // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2002, Vol.5, No. 2, P. 131–153.
  3. D. N. Karasev, V. A. Nogin, Estimates for the acoustic potentials and their application // Proceedings of A. Razmadze Math. Inst., 2002, Vol. 129, P. 29–51.
  4. D. N. Karasev, V. A. Nogin, Inversion of some potential-type operators with oscillating kernels in the elliptic and non-elliptic cases. // Integral Transforms and Special Functions, 2002, Vol. 13, P. 529–545.
  5. D.N. Karasev, V.A. Nogin, Description of the ranges of some potential-type operators with oscillating kernels in the non-elliptic case // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2002, Vol. 5, No 3, 316–349.
  6. D. N. Karasev, V. A. Nogin, ()-estimates for the Bochner-Riesz operator of complex order // Zeitschrift fr Analysis und ihre Anwendungen, 2002, Vol. 21, No. 4, P. 915–929.
  7. Д. Н. Карасев, -оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Дифференциальные уравнения, 2003, Т. 39, №3, C. 418-420.
  8. Д.Н. Карасев, В.А. Ногин, Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами и некоторые их приложения // Известия высших учебных заведений, Северо-Кавказский регион, естественные науки, 2003, №1, С. 8-11.
  9. D.N. Karasev, V.A. Nogin, On Boundedness of Some Potential-type Operators with Oscillating Kernels // Math. Nachr., 2005, Vol. 278, No. 5, P. 554-574.
  10. A.N. Karapetyants, D.N. Karasev, V.A. Nogin, –estimates for the fractional acoustic potentials and some related operators // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2005, Vol. 8, No. 2, P. 155-172.
  11. Д.Н. Карасев, В.А. Ногин, – оценки для акустических потенциалов и их приложения // Известия Вузов, Северо-Кавказский регион, естественные науки (Приложение), 2006, № 5, C. 3–7.
  12. А.Н. Карапетянц, Д.Н. Карасев, В.А. Ногин, Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Известия национальной академии наук Армении, 2003, Т 38, № 2, С. 37-62.
  13. М.А. Бетилгириев, Д.Н. Карасев, В.А. Ногин, –оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Известия Вузов, Северо-Кавказский регион, Естественные науки, 2004, № 2, C. 27–30.
  14. M.A. Betilgiriev, D.N. Karasev, V.A. Nogin, –estimates for some potential type operators with oscillating kernels // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2004, Vol. 7, No 2, P. 213-241.
  15. М. А. Бетилгириев, Д. Н. Карасев, В. А. Ногин, – оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Материалы международного российско-казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик-Эльбрус, 2004, C.





    41-43.

  16. М. А. Бетилгириев, Д. Н. Карасев, В. А. Ногин, Описание образа одного оператора типа потенциала с осциллирующим ядром // Владикавказский математический журнал, 2005, Т 7, Вып. 2, С. 17-25.


Pages:     | 1 ||
 

Похожие работы:








 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.