авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |

Оценки для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами или символами и их приложения

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Карасев Денис Николаевич

ОЦЕНКИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА

С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ЯДРАМИ ИЛИ СИМВОЛАМИ

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ

КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Ростов-на-Дону

2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных и интегральных

уравнений Ростовского государственного университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Ногин Владимир Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Александр Эдуардович Пасенчук

кандидат физико-математических наук,

доцент Анатолий Федорович Чувенков

Ведущая организация: Кубанский государственный университет

Защита состоится «31» октября 2006 г. в 16:50 на заседании диссертационного совета К 212.208.06 в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, механико-математический факультет РГУ, ауд. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148. Автореферат разослан _________.

Ученый секретарь

диссертационного совета К212.208.06

к. ф.-м. н., доцент В.Д. Кряквин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследования диссертации относятся, с одной стороны, к вопросу об ограниченности из в операторов типа потенциала с ядрами и (или) символами, осциллирующими на бесконечности, а с другой - к задаче обращения и описания образов таких операторов в неэллиптическом случае.

В диссертации рассматриваются операторы типа потенциала

(1)

ядра которых имеют особенности в начале координат и на единичной сфере и осциллируют на бесконечности:

(при интеграл (1) понимается в смысле регуляризации). Характеристики и предполагаются достаточно гладкими, а ограничена и стабилизируется в нуле как гельдеровская функция.

Рассматриваемый класс операторов содержит в себе, в частности:

а) операторы Бохнера-Рисса комплексного порядка , ;

б) акустические потенциалы, реализующие отрицательные степени операторы Гельмгольца

в;

в) дробные потенциалы типа Стрихарца по с осциллирующими на бесконечности характеристиками.

В настоящее время имеется большое число исследований по операторам типа потенциала вида



(2)

с достаточно гладкими (не осциллирующими) характеристиками в эллиптическом случае (С.Г. Самко, В.А. Ногин и др.).

Потенциалы вида (2) с осциллирующими на бесконечности характеристиками исследовались мало. Ранее –оценки для таких операторов были получены лишь в двух случаях «специфической» осцилляции, порождаемой функцией Бесселя (операторы Бохнера–Рисса (L. Brjeson, C. Sogge)) или функцией Ханкеля (акустические потенциалы, (В.А. Ногин, Б.С. Рубин)), а также модельный случай, когда в (2).

Кроме того, имеется большое число исследований по обращению операторов типа потенциала вида (2) с достаточно гладкими (не осциллирующими) характеристиками в эллиптическом случае. Отметим, что первые результаты в этом направлении принадлежат С. Г. Самко, построившему обращение риссовых потенциалов (т.е. потенциалов (2) с постоянной характеристикой ) и описавшему образ , а также более общие функциональные пространства , в терминах гиперсингулярных интегралов (ГСИ).

В начале 90-х, в работах В.А. Ногина и его учеников (М.М. Заволженский, Е.В. Сухинин, А.Н. Карапетянц, А.П. Чеголин и др.) был разработан новый метод обращения операторов типа потенциала - метод аппроксимативных обратных операторов (АОО). В рамках этого метода было построено обращение операторов вида (2) в неэллиптическом случае, когда их символы вырождаются на том или ином множестве в меры нуль.

Имеется также ряд работ по операторам типа потенциала с особенностями ядер на различных многообразиях в (В.А. Ногин, Е.В. Сухинин, А.Н. Карапетянц, А.П. Чеголин). Интерес к таким потенциалам вызван, прежде всего, их приложением в теории комплексных степеней классических операторов математической физики: волновых операторов, операторов Клейна-Гордона-Фока и Шрёдингера, телеграфного оператора и др.

Дробные потенциалы

введенные и исследованные Р. Стрихарцем, и их модификации (так называемые операторы типа Стрихарца–Пераля–Мияси) также играют важную роль в различных вопросах анализа и математической физики.

Цели работы:

1) получение –оценок для оператора Бохнера-Рисса и акустического потенциала комплексного порядка, в частности, – решение некоторых открытых задач для этих операторов;

2) описание образа акустического потенциала и, то есть, описание естественной области определения комплексных степеней с положительными вещественными частями, оператора Гельмгольца в ;

3) исследование вопроса об ограниченности из в операторов вида (1), ядра и символы которых одновременно осциллируют на бесконечности;

4) описание образов этих операторов в неэллиптическом случае.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы современного вещественного анализа: интерполяция, осцилляторные интегралы, -мультипликаторы. Существенно используются специальные пространства основных и обобщенных функций.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер. Они могут найти и уже нашли применение, например, в задачах описания комплексных степеней неэллиптических дифференциальных операторов, а также при получении –оценок для осцилляторных интегралов (операторов скрученной свертки).

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на студенческих научных конференциях, проходивших на механико-математическом факультете Ростовского госуниверситета; докладывались на научном семинаре технического университета в г. Хемнице (Германия), проходящего под руководством профессоров А. Бётчера и Б. Зильбермана; неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского госуниверситета, на международном Российско-Казахском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11]. Работы [1,3-6,8,9,11] выполнены вместе с научным руководителем В.А. Ногиным, а работа [10] совместно с В.А. Ногиным и А.Н. Карапетянцем. В работах [1,3-6,8,9,11] В.А. Ногину принадлежат постановка задач и основные идеи доказательств содержащихся там результатов, Д.Н. Карасеву принадлежат доказательства указанных результатов. В работе [10] В.А. Ногину принадлежит постановка задачи и основные идеи доказательств теорем 1-3. Д.Н. Карасеву принадлежат доказательства теорем 1 и 2.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 66 наименований. Объем диссертации - 107 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию оператора Бохнера-Рисса и акустического потенциала. Оператор Бохнера- Рисса представим в виде

, (3)

, где – функция Бесселя порядка .

Акустический потенциал, реализующий отрицательные степени оператора Гельмгольца в , имеет вид

(4)

,

(5)

где - первая функция Ханкеля. Получены – оценки для операторов (3) и (4), а в некоторых случаях удалось описать их L – характеристики, т.е. указать множество всех пар , для которых эти операторы ограничены из в .

В первом параграфе собраны необходимые обозначения, определения и

вспомогательные сведения. Для формулировки результатов введем точки:

, , ,

, ,

, , , , , ,

, , ,

, , ,.

, , ,

, .

Рассмотрим следующие множества на - плоскости:

если

, если

, если

и в остальных случаях

 (см. рисунки 1 и 2). Здесь символами и -85

(см. рисунки 1 и 2). Здесь символами и обозначаются, соответственно, открытый многоугольник с вершинами в точках и его замыкание.

Через будем обозначать L–характеристику оператора A т.е. множество всех пар , для которых оператор A ограничен из в .

 В §2-94

Рисунок 1





Рисунок 1

Рисунок 2

В §2 получены – оценки для операторов

 (6) где характеристика такова, что-98 (6)

где характеристика такова, что функция , непрерывно дифференцируема до порядка включительно, на интервале и . Описаны выпуклые множества – плоскости для точек которых оператор (6) ограничен из в и указаны области, в которых он не ограничен. Именно, доказано, что

. (7)

Кроме того, установлено, что множество не содержит точек, лежащих: 1) на отрезке и выше него; 2) на отрезке и левее него; 3) выше прямой в случае ; 4) на отрезке, если .

В параграфах 3 и 4 получены – оценки для операторов (3) и (4). В некоторых случаях описаны L–характеристики указанных операторов. Так, для оператора Бохнера-Рисса справедлива следующая

Теорема 1. Пусть Тогда

. (8)

Кроме того, установлено, что при знак вложения в (8) можно заменить знаком равенства.

Для оператора (4) доказана

Теорема 2. Пусть

I. Справедливо вложение

(9)

II. Множество не содержит точек:

1) лежащих на отрезке и выше него;

2) лежащих на отрезке и левее него;

3) лежащих выше прямой , если;

4) множества , если .

Заметим, что при , теорема 2 описывает L –характеристику оператора . Именно, при указанных значениях справедливо равенство

В §5 даны приложения теоремы 2 к получению – оценок для оператора , для точек прямой , выше которой этот оператор не ограничен из в (для вещественных ). Доказаны вложения

,

.

Кроме того, рассмотрены модификации акустического потенциала , задаваемые в образах Фурье равенством

, (10)

где , . Операторы (10) близки к акустическим потенциалам в том смысле, что символы операторов и имеют особенности одинакового порядка на единичной сфере.

Замечание 1. В настоящее время имеется ряд работ по оценкам для оператора Бохнера-Рисса и акустического потенциала вещественного порядка (Ch. Fefferman, E. Stein, P., Sjlin, I. Carleson, C. Sogge, L. Brjeson, J.-G. Bak., D. McMichael, D. Oberlin, В.А. Ногин, Б.С. Рубин). Наиболее полные результаты содержатся в теоремах 1 и 2, которые описывают L –характеристики указанных операторов при для оператора и для оператора .

В частности, эти теоремы дают положительный ответ на остававшийся открытым более 20 лет вопрос об ограниченности операторов () и () из в для точек треугольников и .

Замечание 2. Отметим, что большой интерес представляет случай операторов с осциллирующими ядрами, когда их характеристики «плохо» ведут себя (разрывны) на бесконечности. Возникающие в этом случае принципиальные трудности требуют привлечения новых идей и разработки новых методов. Исследования в этом направлении только начинаются; полученные для указанных операторов оценки не вошли в данную диссертацию. Однако, отметим, что в работах [13-16] был рассмотрен случай, когда характеристика в (6) заменена однородной нулевой степени характеристикой . Эта ситуация близка к анизотропной в том смысле, что функция принимает, вообще говоря, разные значения на разных лучах, выходящих из начала координат.

Вторая глава посвящена получению – оценок для оператора (1).

В §§ 6 и 7 описаны L –характеристики, соответственно, операторов

,

и

где функция является достаточно гладкой в окрестности точки , а стабилизируется в нуле как гельдеровская функция, кроме того, .

В § 8 получены оценки для оператора (1). В некоторых случаях описана L–характеристика этого оператора. Пусть функция удовлетворяет наложенным выше условиям, а . Одним из основных результатов диссертации является следующая

Теорема 3. I. Пусть , , Тогда

. (11)

II. Предположим дополнительно, что

в случае . Множество не содержит точек лежащих:



Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:







 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.