авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 | 3 |

Конформно-дифференциальная геометрия гиперполосы

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Михайлова Алина Николаевна

Конформно-дифференциальная геометрия

гиперполосы

01.01.04 – геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань-2002

Работа выполнена в Чувашском государственном педагогическом университете имени И.Я.Яковлева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Столяров А.В.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Шурыгин В.В.

доктор физ.-мат. наук, профессор Игошин В.А.

Ведущая организация: Калининградский государственный университет

Защита состоится 27 ноября 2002 года в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 Казанского государственного университета по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, корпус 2, конференц-зал научной библиотеки КГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета

Автореферат разослан ____ октября 2002 года

Ученый секретарь диссертационного совета

канд. физ.-мат. наук, доцент

/М.А.Малахальцев/

I. Общая характеристика диссертации

Постановка вопроса и актуальность темы. Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства начала развиваться в рамках классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров. В начале двадцатого века в работах Фосса, Роте, Огура, Фубини строятся конформно-дифферен-циальные инварианты поверхности и конформно-инвариантные квадратичные формы. Полисферическая система координат для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей введена в рассмотрение впервые в работе Томсена1, опубликованной в 1924 г. Вессио2 изучает конформную геометрию двумерной поверхности в пространстве , пользуясь пентасферическими координатами.

Теория связностей занимает в дифференциальной геометрии существенное место и восходит к работам Т. Леви-Чивита, Г.Вейля, Э.Картана, Ш.Эресмана, В.В.Вагнера, А.П.Нордена, Г.Ф.Лаптева, П.К.Рашевского, А.М.Васильева, Ю.Г.Лумисте, Л.Е.Евтушика и многих других геометров. Специальное место в общей теории занимает теория связностей в однородных расслоениях; в рамках этой теории линейные связности чаще всего находят приложение при изучении геометрии оснащенных подмногообразий.

Следует отметить, что аффинные и проективные связности изучались в работах многих геометров. Понятие n-мерного пространства конформной связности появилось в работах Э.Картана3 в 1923 г., в которых он рассматривает m-мерную поверхность в пространстве конформной связности, также конформные связности, индуцируемые на этой поверхности связностью объемлющего пространства, вопросы конформного отображения и наложимости таких поверхностей. В работах С.Сасаки4 в 1939-40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.

Б.А. Розенфельд5 применяет к изучению конформной геометрии общую теорию образов симметрии в однородных пространствах. Исследования Р.М. Гейдельмана6 посвящены изучению фокальных свойств конгруэнции m-мерных сфер пространства . Работы В.И.Ведерникова7 посвящены теории конгруэнции гиперсфер в пространстве и конформному изгибанию нормализованных поверхностей.



При построении теории многомерных поверхностей в аффинном, проективном и конформном пространствах встречается ряд трудностей. Эти трудности связаны с тем, что на поверхностях в этих пространствах не удается определить инвариантные связности, пользуясь их первыми дифференциальными окрестностями. Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А.П.Норден8 разработал метод нормализации; в указанных работах, а также совместно с Г.В.Бушмановой9 им получены существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий.

Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью, был развит Г.Ф.Лаптевым10. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов подмногообразия.

Метод Г.Ф. Лаптева был применен М.А.Акивисом11 к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, m-мерных поверхностей n-мерного конформного и псевдоконформного пространств. В его работах в третьей дифференциальной окрестности построено инвариантное оснащение m-мерной поверхности и гиперповерхности n-мерного конформного пространства, то есть каждой точке поверхности внутренним образом присоединены m-мерная касательная сфера и нормальная (n-m)-сфера . С помощью инвариантного оснащения на поверхностях строятся конформная связность и связность Вейля, внутренним образом присоединенные к этой поверхности, а также система конформно-инвариантных тензоров, определяющих поверхность конформного пространства с точностью до конформных преобразований. В своих исследованиях М.А.Акивис изучает также поверхности, несущие сеть линий кривизны.

Подробный обзор работ по конформно-дифференциальной геометрии, выполненных до 1963 года, сделан в работе М.А.Акивиса12. Остановимся на исследованиях геометров, выполненных после 1964 года.

Н.В.Шульга13 вводит понятие пары m-мерных поверхностей n-мерного конформного пространства и пары двумерных поверхностей псевдоконформного пространства , изучает их геометрию, используя интерпретации Дарбу и Плюккера. Следует отметить, что интерпретации Дарбу n-мерного конформного пространства в (n+1)-мерное проективное пространство в последние десятилетия зарубежными геометрами уделяется большое внимание14.

Р.Ф.Бронштейн15 строит конформную теорию распределений m-мерных линейных элементов; исследует гиперраспределения, распределения m-мерных линейных элементов, а также распределения конформного пространства , определяемые нуль-системами проективного пространства . При этом распределение m-мерных линейных элементов не выделяется как основной подобъект, используется и его дополнение, относящееся в данном случае к ортогональному распределению.

В докторской диссертации Харта Иогана16 рассмотрены некоторые вопросы геометрии поверхностных полос и однопараметрических семейств гиперсфер (М-кривых) конформного пространства.

Л.Ф.Филоненко17 в своих работах, исходя из геометрии квадратичной гиперполосы в n-мерном проективном пространстве , рассматривает распределение m-мерных линейных элементов в (n-1)-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Значительное внимание уделяется возникающим при этом связностям, как вейлевой связности во всем пространстве, так и разного рода касательным и нормальным связностям распределения.

Исследования А.В.Столярова18 посвящены изучению геометрии оснащенных взаимно-ортогональных распределений m-мерных и (n-m)-мерных линейных элементов, аффинных и конформных связностей, индуцируемых оснащениями этих распределений.

Объектом исследования настоящей работы является гиперполоса

jpg">, погруженная в собственно конформное пространство (m<n-1).Теория регулярной гиперполосы , вложенной в n-мерное (m<n-1) центроаффинное, аффинное и проективное пространства и в пространство проективной связности, получила достаточное развитие (например, в работах В.В.Вагнера, А.В.Чакмазяна, Ю.И.Попова, А.В.Столярова, В.И.Шуликовского и др.). В.В.Вагнер19 посвятил свои исследования локальным гиперполосам центроаффинного пространства. Ю.И.Попов20 изучает внутреннюю геометрию регулярной гиперполосы, строит теорию вырожденных гиперполос и их обобщений в проективном и аффинном пространствах. Исследования А.В.Столярова21 посвящены изучению двойственной геометрии гиперполосы (голономной и неголономной), погруженной в проективное пространство или пространство проективной связности . Нормальные связности на оснащенной регулярной гиперполосе проективного пространства изучаются в работах П.А.Фисунова22.

Следует отметить, что конформно-дифференциальная геометрия гиперполосы в до настоящего времени не изучалась.

Изучение геометрии полос и, в частности, гиперполос в пространствах с различными фундаментальными группами представляет большой научный интерес и является актуальным в связи с многочисленными приложениями ее в математике, механике и физике. Например, В.В. Вагнер23 приводит следующие приложения теории поля локальных регулярных гиперполос в дифференциально-геометрическом пространстве , а именно:

а) к задаче вариационного исчисления на безусловный экстремум;

б) к вариационной задаче Лагранжа;

в) к неголономной геометрии в ;

г) к динамике склерономных механических систем с нелинейными неголономными связями.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение основ теории гиперполосы , погруженной в собственно конформное пространство ; эта теория включает в себя решение следующих ключевых задач:

  1. осуществить подход к изучению геометрии гиперполосы в собственно конформном пространстве с общих позиций, а именно, от геометрии неголономной гиперполосы (то есть гиперполосного распределения) с использованием подобъектов ее фундаментальных объектов порядка s=1,2,3 перейти к геометрии голономной гиперполосы ; доказать теоремы существования как неголономной, так и голономной гиперполос, погруженных в собственно конформное пространство ;
  2. путем построения и изучения полей фундаментальных и охваченных геометрических объектов различного порядка на гиперполосе инвариантным образом провести исследование ее внутренней геометрии, а именно:

а) в разных дифференциальных окрестностях построить различные инвариантные внутренним образом определяемые нормальные и касательные оснащения гиперполосы;

б) доказать основную теорему в теории гиперполосы в , то есть найти ее полный внутренний фундаментальный объект;

  1. исследовать дифференциально-геометрические структуры на гиперполосе в , индуцируемые полями ее фундаментальных и оснащающих объектов, а именно, изучить некоторые вопросы геометрии линейных связностей (аффинных, нормальных и конформных) на нормально или касательно оснащенном подмногообразии .

Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева24 и метод внешних дифференциальных форм Э. Картана25; это позволило получить дифференциально-геометрические факты, связанные с окрестностями до третьего порядка включительно.





Все результаты получены в минимально специализированном репере, благодаря чему они сформулированы в инвариантной форме.

Научная новизна. Результаты, полученные в работе в ходе решения поставленных задач (см. цель работы), являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что изучением дифференциальной геометрии гиперполосы в конформном пространстве до настоящего времени никто не занимался. Изучение геометрии гиперполосы в через исследование дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями ее фундаментальных и оснащающих объектов, позволило вскрыть новые аспекты темы; основные положения их заключаются в следующем:

1.Голономная гиперполоса определена полями фундаментальных подобъектов неголономной гиперполосы; доказаны теоремы существования неголономной и голономной гиперполос (глава I).

2. В разных дифференциальных окрестностях построены инвариантные оснащения гиперполосы полями нормальных (n-m)-сфер и касательных m-сфер (глава II).

3. Найден полный внутренний фундаментальный объект гиперполосы (глава II).

4. Изучаются линейные связности, индуцируемые на нормально или касательно оснащенной гиперполосе (глава III).

5. Найдено приложение аффинных связностей, индуцируемых нормальным оснащением гиперполосы , к изучению геометрии ортогональных сетей на этом подмногообразии (глава III).

В диссертационной работе приведены доказательства всех основных выводов; эти выводы сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение, полученные в ней результаты дополняют исследования по изучению подмногообразий конформного пространства. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях по изучению подмногообразий, вложенных в псевдоконформные пространства, при изучении дифференцируемых подмногообразий в пространствах с конформной структурой.

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (1999-2001 гг.), на научных сессиях аспирантов, докторантов и научных сотрудников Чувашского государственного педагогического университета имени И.Я. Яковлева (1999-2001 гг.), на итоговой конференции преподавателей Чувашского государственного педагогического университета имени И.Я. Яковлева (2001 г.), на заседании научно-исследовательского геометрического семинара Казанского государственного университета(2001 г.), на IX Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование» (г. Чебоксары, ЧГУ, 2001 г.), на Международной молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (г.Казань, 2001 г.).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в работу, опубликованы в 10 печатных работах автора (см. [1]-[10]).

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (общая характеристика работы), трех глав и списка литературы, включающего 80 наименований. Полный объем диссертации составляет 112 страниц машинописного текста.

Некоторые замечания. Все рассмотренные в настоящей работе исследования проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования – аналитическими.

Во всей работе индексы принимают следующие значения:

II. Содержание диссертации

Работа состоит из трех глав.

Г л а в а I посвящена определению гиперполосного распределения (неголономной гиперполосы) и гиперполосы, погруженных в собственно конформное пространство, выводу их дифференциальных уравнений и доказательству теорем существования.

В §§ 1,2 приводится материал, носящий реферативный характер и необходимый для дальнейшего изложения.

§ 3 первой главы посвящен выводу дифференциальных уравнений гиперполосного распределения и гиперполосы.

Гиперполосным распределением m-мерных линейных элементов, по аналогии с проективным пространством26, нами названа (§ 3, п. 1) пара распределений – распределение m-мерных линейных элементов и распределение гиперплоскостных элементов – с отношением инцидентности их текущих элементов в общем центре m<n-1.

При голономности (то есть при обращении в нуль кососимметричного тензора ) базисного распределения m-мерных линейных элементов гиперполосное распределение расслаивается на (n-m)-параметрическое семейство гиперполос . В п. 2 § 3 выведены дифференциальные уравнения гиперполосы , построены ее поля фундаментальных геометрических объектов первого порядка. В полуизотропном полуортогональном репере гиперполоса задается системой дифференциальных уравнений:

где (1)

Гиперполосы с полем нулевого тензора нами выделены из множества всех гиперполос и, по аналогии с работой Акивиса М.А. и Василяна М.А.27, названы гиперполосами кривизны . Доказано (§ 3, п. 3), что гиперполоса является гиперполосой кривизны тогда и только тогда, когда в каждой точке базисной поверхности характеристика гиперплоскостного элемента ортогональна касательной плоскости базисной поверхности.



Pages:   |
1
| 2 | 3 |
 
Авторефераты диссертаций  >>  Авторефераты - Разное

Похожие работы:








наверх


 
<<  ГЛАВНАЯ   |   КОНТАКТЫ
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.