авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 | 3 |

-еформации поверхностей положительной внешней кривизны с краем в римановом пространстве при внешних связях

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Коломыцева Елена Алексеевна

-деформации поверхностей

положительной внешней кривизны с краем

в римановом пространстве при внешних связях

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань 2013

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО

«Таганрогский государственный педагогический институт имени А.П. Чехова»

на кафедре алгебры и геометрии

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук,

профессор Фоменко Валентин Трофимович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бикчантаев Ильдар Ахмедович;

доктор физико-математических наук,

профессор Кокарев Виктор Николаевич.

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет»

Защита состоится 21 февраля 2013 года в 14:30 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, Казанский (Приволжский) федеральный университет, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан ____ января 2013 года.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важных разделов дифференциальной геометрии «в целом» является теория деформаций поверхностей в трехмерном евклидовом и римановом пространствах.

Бесконечно малые деформации занимают значительное место в теории деформаций двумерных поверхностей. Из геометрических и механических соображений целесообразно изучать бесконечно малые деформации поверхностей, для которых некоторые геометрические характеристики поверхности имеют наперед заданные значения вариаций. К настоящему времени достаточно полно изучены бесконечно малые изгибания поверхностей, характеризующиеся условием , где - первая квадратичная форма поверхности; бесконечно малые деформации поверхности с сохранением поточечно сферического образа поверхности, характеризующиеся условием , где - единичный вектор нормали поверхности (эти деформации коротко называют бесконечно малыми -деформациями); бесконечно малые деформации поверхности с сохранением элемента площади поверхности, описываемые условием (так называемые бесконечно малые -деформации) и другие. Вопросы изгибаний поверхностей нашли отражение в работах А.Д. Александрова, А.В. Погорелова, Н.В. Ефимова, В.Т. Фоменко, С.Б. Климентова и других авторов. Вопросы -деформаций поверхностей в евклидовом пространстве изучались в работах В.Ф. Кагана, Ю.А. Аминова, В.Т. Фоменко и других. Бесконечно малые -деформации поверхностей в пространстве были изучены в работах В.Т. Фоменко и И.А. Бикчантаева. Задачи, связанные с бесконечно малыми -деформациями поверхностей, изучались в работах Л.Л. Бескоровайной.



В работах О.Н. Бабенко исследовались бесконечно малые деформации поверхностей в евклидовом пространстве , сохраняющие элемент площади поверхности и поточечно сферический образ поверхности (так называемые бесконечно малые -деформации), при различных внешних связях.

Бесконечно малые деформации поверхностей в римановом пространстве изучены не достаточно полно. Бесконечно малые деформации поверхностей, определяемые только нормальным смещением точек поверхности, в римановом пространстве изучены B.Y. Chen и K. Yano и названы бесконечно малыми нормальными деформациями.

В.Т. Фоменко была сформулирована задача о бесконечно малых деформациях поверхностей в римановом пространстве, при которых поле единичных нормальных к поверхности векторов переносится параллельно в смысле Леви-Чивита вдоль траектории точек поверхности при её деформации и остается при этом нормальным полем к деформированной поверхности. Такие деформации В.Т. Фоменко назвал бесконечно малыми -деформациями поверхностей в римановом пространстве.

В работах В.Т. Фоменко изучались бесконечно малые -деформации поверхностей с краем в римановом пространстве, подчиненных условию , где - элемент площади поверхности, - средняя кривизна поверхности, - нормальное смещение точек поверхности при её деформации, - произвольно заданный числовой параметр, называемый коэффициентом рекуррентности. Такие бесконечно малые деформации В.Т. Фоменко называет бесконечно малыми ареально-рекуррентными -деформациями поверхностей с коэффициентом рекуррентности (коротко бесконечно малыми -деформациями).

В работах В.Т. Фоменко изучались бесконечно малые -деформации гиперповерхностей, подчиненных вдоль края внешней связи , где - единичный вектор нормали поверхности вдоль края, - поле деформации. Эту внешнюю связь В.Т. Фоменко назвал условием защемления края гиперповерхности при её бесконечно малой -деформации в римановом пространстве.

Условие защемления поверхности вдоль края является частным случаем условия обобщенной втулочной связи, записываемой в виде

, (1)

где - заданное вдоль края поверхности векторное поле, не обращающееся в ноль, - заданная функция. В связи с этим В.Т. Фоменко поставил задачу изучения бесконечно малых -деформаций поверхностей с коэффициентом рекуррентности при условии обобщенной втулочной связи в римановом пространстве. Эту задачу в частном случае рассматривала В.В. Сидорякина. Именно, В.В. Сидорякиной изучались бесконечно малые -деформации поверхностей с коэффициентом рекуррентности при следующих предположениях:

1) риманово пространство является пространством типа Лобачевского; это означает, что метрика пространства в координатах задается формулой , , ;

2) поверхность с гладким краем в задается уравнением , , имеет положительную внешнюю кривизну и является -связной;

3) поверхность подвергается бесконечно малой -деформации с коэффициентом рекуррентности , где , где - некоторый числовой интервал, определяемый поверхностью и пространством;

4) внешняя связь вдоль края поверхности является условием обобщенной втулочной связи (1), где векторное поле вдоль края однозначно определяется некоторой функцией , - заданная функция.

Бесконечно малые -деформации поверхностей при более слабых предположениях, чем в работах В.В. Сидорякиной, ранее не изучались.

В настоящей работе изучаются бесконечно малые -деформации поверхностей с коэффициентом рекуррентности в римановом пространстве при следующих предположениях:

1) пространство является произвольным римановым пространством с метрикой , , ;

2) поверхность с гладким краем задается в уравнениями , , имеет положительную внешнюю кривизну и является -связной;

3) поверхность подвергается бесконечно малой -деформации с коэффициентом рекуррентности , где;

4) внешняя связь вдоль края поверхности является обобщенной втулочной связью вида , где - заданная функция, - не обращающееся в ноль векторное поле, заданное вдоль края поверхности.

Важное место в теории деформаций занимают непрерывные деформации поверхностей. Непрерывные -деформации односвязных поверхностей в евклидовом пространстве при различных внешних связях изучались в работах О.Н. Бабенко.

В настоящей работе изучаются непрерывные -деформации -связных поверхностей в евклидовом пространстве при условии обобщенной втулочной связи.

Цель работы. Целью данной работы является исследование и описание поведения -связных поверхностей положительной внешней кривизны при бесконечно малых (в римановом пространстве) и непрерывных (в евклидовом пространстве) -деформациях, подчиненных вдоль края условию обобщенной втулочной связи.

Научная новизна диссертации. Научная новизна работы определяется следующими результатами, полученными автором:

  1. Изучено поведение поверхностей положительной внешней кривизны с гладким краем в отношении бесконечно малых -деформаций со всевозможными коэффициентами рекуррентности при заданной обобщенной втулочной связи в римановом пространстве;
  2. Найдены условия, при которых поверхности положительной внешней кривизны с гладким краем в римановом пространстве допускают или не допускают бесконечно малые -деформации со всевозможными коэффициентами рекуррентности при заданной обобщенной втулочной связи;
  3. Изучено поведение поверхностей положительной внешней кривизны с гладким краем в отношении бесконечно малых -деформаций с фиксированным коэффициентом рекуррентности при различных обобщенных втулочных связях в римановом пространстве;
  4. Найдены условия, при которых различные обобщенные втулочные связи являются корректными относительно бесконечно малых -деформаций поверхностей положительной внешней кривизны с заданным коэффициентом рекуррентности в римановом пространстве;
  5. Выделены однопараметрические с параметром , , семейства обобщенных втулочных связей, порождаемые векторными полями , такие, что для каждого семейства существует счетное множество значений таких, что при обобщенная втулочная связь, порождаемая полем , является некорректной; при поверхность допускает единственную бесконечно малую -деформацию при заданном коэффициенте рекуррентности и заданной обобщенной втулочной связи;
  6. Изучены непрерывные -деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны с гладким краем при условии обобщенной втулочной связи в евклидовом пространстве;
  7. Найдены условия, при которых поверхности положительной гауссовой кривизны в евклидовом пространстве допускают непрерывные -деформации при заданной обобщенной втулочной связи.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по геометрии «в целом», а также при построении раздела спецкурса по теории деформаций поверхностей.





Апробация работы. Основные результаты данного исследования докладывались и обсуждались на научных семинарах Таганрогского государственного педагогического института имени А.П. Чехова, Казанского (Приволжского) федерального университета, Южного федерального университета и были представлены на X Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи – Дагомыс, 1-8 октября 2009г.), на XVII международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010» (Москва, 12-15 апреля 2010г.), на международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований’2011» (Одесса, 15-28 марта 2011г.), на международной конференции «Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях», посвященной 50-летию образования механико-математического факультета ХНУ им. В.Н. Каразина (Харьков, 17-22 апреля 2011г.), на международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований’2012» (Одесса 20-31 марта 2012 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в десяти работах, список которых приводится в конце автореферата. Работы [1]–[3] опубликованы в журналах, входивших в список ВАК России на момент публикации, работы [4]-[9] опубликованы в материалах международных конференций.

Связь работы с научными проектами и заданиями. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 1.423.2011, тема «Реализация метрик положительной кривизны в виде поверхностей с заданной опорой», научный руководитель – Фоменко В.Т.

Структура диссертации. Работа состоит из содержания, введения, четырех глав и списка литературы из 36 названий. Объем диссертации составляет 86 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава является вспомогательной. В ней изложены основные сведения для уравнений с частными производными и основные понятия римановой геометрии.

Во второй главе изучаются бесконечно малые -деформации поверхностей со всевозможными коэффициентами рекуррентности , подчиненных фиксированной обобщенной втулочной связи.

Рассмотрим трёхмерное риманово пространство с координатами и метрикой , где , .

Пусть - поверхность, заданная уравнениями , , где - функции класса , , - некоторая замкнутая область евклидовой плоскости . Пусть, далее, граница области принадлежит классу , . Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности в римановом пространстве .

Пусть поверхность подвергнута бесконечно малой деформации : , , где - малый параметр, , , - поле бесконечно малой деформации.

Бесконечно малую деформацию поверхности называют бесконечно малой ареально-рекуррентной -деформацией с коэффициентом рекуррентности (коротко бесконечно малой -деформацией), если выполняются условия: 1) вариация элемента площади поверхности удовлетворяет соотношению , где - средняя кривизна поверхности , - заданное число, называемое коэффициентом рекуррентности, - поле единичных векторов нормалей к поверхности ;

2) деформация поверхности является бесконечно малой -деформацией, то есть для любой точки поверхности её единичный вектор нормали , параллельно перенесенный в в смысле Леви-Чивита в направлении вектора в соответствующую точку поверхности , совпадает с вектором нормали к в этой точке.

Бесконечно малую деформацию поверхности с полем называют тождественной.



Pages:   || 2 | 3 |
 

Похожие работы:







 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.