авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |

Бикомпактные разностные схемы и численная диагностика особенностей

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

КОРЯКИН ПАВЕЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

БИКОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ЧИСЛЕННАЯ ДИАГНОСТИКА ОСОБЕННОСТЕЙ

01.01.07 – вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена в отделе физико-химических свойств вещества Института математического моделирования РАН.

Научный руководитель:

член корреспондент РАН, доктор физико-математических наук

Калиткин Николай Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Тупчиев Виль Асадулаевич,

Обнинский государственный технический университет атомной энергетики.

кандидат физико-математических наук, доцент

Алфимов Георгий Леонидович,

Московский государственный институт электронной техники (технический университет).

Ведущая организация:

Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, кафедра математики.

Защита состоится 17 декабря 2010 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д501.002.09 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, дом 1, стр. 4, НИВЦ МГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ.

Автореферат разослан «_____»________________2010г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Суворов В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Значительная часть современных инженерных разработок приводит к постановке задач в слоистых средах. Сюда можно отнести задачи микроэлектроники, оптики, геофизики и других инженерных и научных областей.

Решение таких задач осложняется тем, что свойства среды зачастую меняются скачкообразно, то есть коэффициенты, входящие в состав уравнений модели имеют разрывы первого рода. Это сильно затрудняет построение разностных аппроксимаций, так как любая аппроксимация через разрыв приводит к локальной потере точности и, как следствие, к потере точности всего расчёта.

В настоящей работе предлагается новый тип разностных схем – так называемые бикомпактные схемы, основной принцип построения которых можно сформулировать так: при построении аппроксимации пространственных производных необходимо использовать двухточечный шаблон и при этом не использовать полуцелые узлы.

Другая актуальная проблема, решение которой приводится в данной работе – это диагностика особенностей точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений по результатам численного интегрирования.

Цель работы - во-первых, разработать надёжный численный алгоритм, позволяющий решать широкий круг дифференциально-алгебраических задач в слоистых средах. Во-вторых, разработать методику, позволяющую при численном интегрировании дифференциальных уравнений контролировать точность получаемого решения, диагностировать наличие и определять тип особенности точного решения.





Научная новизна. Предложен новый тип разностных схем – так называемые бикомпактные схемы, применение которых особенно актуально для решения задач в слоистых средах, но они также могут использоваться и для задач в гомогенных средах, но, например, на неравномерных сетках. Для апробации методики на реальной сложной инженерной задаче, пространственная аппроксимация бикомпактного типа была записана для системы уравнений диффузионно-дрейфовой модели полупроводникового диода, что позволило решить эту систему целиком, без введения упрощающих предположений.

Впервые была предложена простая и очень эффективная методика диагностики особенностей точных решений при численном интегрировании ОДУ.

Практическая ценность работы. Предложенные в работе численные методы закрывают практически важные проблемы, с которыми вычислители сталкиваются регулярно.

Так, идея бикомпактности резюмирует множество наработок, сделанных другими в области компактных схем, и выделяет в отдельный класс с особыми свойствами схемы, записанные на двухточечном шаблоне. Подробно исследованы свойства таких схем и их применимость к задачам в слоистых средах и к задачам на неравномерных сетках.

Методика диагностики особенностей точных решений позволяет создавать программы для численного интегрирования ОДУ, которые помимо получения решения, проводят диагностику точного решения задачи на наличие особенностей и даже диагностируют положение и тип особенности. При помощи этой методики возможна диагностика даже таких тонких особенностей, как ограниченность числа непрерывных производных.

Личное участие автора в выполнении работы. Постановка задач, решаемых в диссертации, была выполнена автором совместно с научным руководителем, членом-корреспондентом РАН, д.ф.-м.н. Николаем Николаевичем Калиткиным и участницей научной группы под руководством Н.Н. Калиткина к.ф.-м.н., доцентом Еленой Александровной Альшиной (руководитель дипломной работы автора).

Лично автором было сделано большинство аналитических выкладок, реализованы в виде программ все изложенные в работе методы, проведены все необходимые тестовые расчёты, часть которых привела к результатам, давшим толчок к дальнейшим аналитическим исследованиям.

Постановка тестовой задачи о моделировании процессов в полупроводниковом диоде, решение которой приводится в третьей главе, была сделана д.ф.-м.н. Игорем Натановичем Горбатым. Вывод разностной схемы для решения этой задачи, программная реализация, отладка и расчёты сделаны автором лично.

Основные положения, выносимые на защиту.

  1. Построен и исследован новый тип разностных схем применительно к уравнению теплопроводности. Построены схемы разных порядков точности. Исследована устойчивость схем.
  2. Разработана оригинальная методика диагностики особенностей точных решений при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений.
  3. Подробно описана методика написания программ интегрирования ОДУ с контролем точности получаемого решения и автоматической диагностикой особенностей.
  4. Проведены расчёты, подтверждающие возможность расширения методики для диагностики особенностей при решений систем ОДУ и уравнений в частных производных.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на нескольких российских и международных конференциях, среди которых были Международный конгресс математиков в Мадриде в 2006 году, конференция памяти А.Ф. Сидорова «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», Всероссийская школа-семинар “Современные проблемы математического моделирования”. По материалам диссертации сделан доклад на совместном семинаре Института математического моделирования РАН и кафедры математического моделирования Московского физико-технического института (март 2010). Также были сделаны доклады на семинаре кафедры математики Физического факультета МГУ (октябрь 2009) и на семинаре Научно-исследовательского вычислительного центра МГУ (апрель 2010).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 96 страниц, рисунков 34, таблиц 8. Список литературы включает 60 наименований.

Публикации. По теме диссертации всего опубликовано 14 работ, основные из которых представлены в конце автореферата. Среди прочих две публикации были сделаны в Докладах Академии Наук, одна в Журнале Вычислительной Математики и Математической Физики и одна в журнале Математическое Моделирование.

Краткое содержание работы.

Введение включает в себя краткое описание проблем, решаемых в работе, постановку целей и оценку полученных результатов. Кроме того, во введении приводятся ссылки на опубликованные работы и сделанные доклады по полученным результатам. Также введение содержит краткое содержание глав.

Первая глава посвящена новому типу разностных схем – так называемым бикомпактным схемам. Сначала рассматриваются классические подходы к записи разностных аппроксимаций пространственных производных [1]. Обсуждаются проблемы, возникающие при использовании классических пространственных шаблонов, производится краткий анализ применимости подходов для задач в слоистых средах. Далее обсуждаются компактные разностные схемы [1-2], приводится обзор результатов, полученных другими исследователями в этой области [4-22].

Так, например, в работах В.И. Паасонена [6-10] делается ряд обобщений компактных схем, в том числе на криволинейные системы координат. Рассматривается компактная аппроксимация для уравнений типа «конвекция-диффузия», известная проблема решения которых заключается в некой неоднозначности в постановке граничных условий.

В работах [11-13] рассматривается построение компактных схем порядка точности до 6-го включительно, в том числе для неравномерных сеток. В работе [14] проводится анализ структуры ошибки компактной схемы 6-го порядка для уравнения диффузии с конвективным членом. Исследования компактных схем для волнового уравнения выполнены в работах [15-16].

Среди прочих результатов хочется отдельно сказать о работах, посвящённых схемам, которые иногда называют «суперкомпактными» и в которых используются только два узла, то есть локально задача замыкается в пределах одного интервала (ячейки) сетки. В работе [17] приводится метод построения аппроксимаций вторых производных до 6-го порядка точности включительно. Двухточечная аппроксимация 4-го порядка так же приводится в [18] и будет рассмотрена в этой главе, однако анализ литературы, проведённый авторами [5] говорит о том, что впервые такая аппроксимация появилась в [19].

В работе [4], на примере начально-краевой задачи для линейного однородного уравнения теплопроводности в сплошной среде, подробно исследованы схемы, использующие двухточечную аппроксимацию 4-го порядка по пространству вкупе с различными методами интегрирования по времени. В [5] предлагается оригинальный подход к записи аппроксимации 4-го порядка для пространственной производной уравнения переноса. Авторами предлагается в качестве вспомогательной функции использовать первообразную искомой функции. Это даёт возможность воспользоваться формулой Эйлера-Маклорена.

Решение задач в слоистых средах осложняется тем, что очень трудно построить аппроксимацию, дающую высокий порядок точности на стыках сред. Если задавать сетку так, что граница сред лежит между узлами сетки, то построить адекватную аппроксимацию тяжело. Будем выбирать сетку так, чтобы её узлы попадали на границы слоёв. Такие сетки называют специальными. Однако если шаблон аппроксимации содержит три и более пространственных узла, то специальные сетки не спасают, так как всё равно приходится делать аппроксимацию через разрыв, что понижает локальную точность расчёта.

Отметим здесь, что конкретно для уравнения теплопроводности А.А. Самарским была построена общеизвестная классическая схема, с аппроксимацией на трёхточечном шаблоне, то есть с использованием полуцелых узлов. Однако для уравнений других типов не получается построить хорошие схемы для слоистых сред с использованием полуцелых узлов. Оказалось, что для того, чтобы избежать описанных проблем, необходимо замкнуть всю схему в одном интервале и изгнать из расчётов полуцелые точки.

Бикомпактными называют схемы, шаблон которых состоит лишь из двух узлов сетки. Такой тип схем является мало исследованным, но при этом очень удобным в ряде практических задач. Такие схемы позволяют избавиться от некоторых нежелательных эффектов, как, например, эффект отражения уходящей волны от бесконечно удалённой жёсткой границы при расчётах схемами с использованием полуцелых узлов. Расчёты с её использованием показали, что эффект отражения исчезает.

В качестве примера, иллюстрирующего методологию построения схем бикомпактного типа, приводится вывод двух бикомпактных схем для уравнения теплопроводности. Рассматривается следующая задача:

11 2 23

Она решается методом прямых: пространственные производные заменяются разностными аппроксимациями, затем полученная система дифференциальных уравнений интегрируется по времени.

Чтобы получить аппроксимацию второй производной точности , нужен 3-точечный шаблон. Однако наша цель построить бикомпактную схему, в которой шаблон по пространству будет состоять из двух точек, то есть задачу мы будем решать в пределах одного интервала сетки по пространству. Чтобы воспользоваться 2-точечным шаблоном, заменим (1.1) эквивалентной системой двух уравнений первого порядка:

4 35

Помимо температуры , здесь появляется тепловой поток , который мы для удобства записи берём со знаком минус. Граничные условия задаются только для температуры - поток в граничных точках не известен. Профиль потока может быть получен из профиля температуры, за исключением граничных точек, в которых его нужно определять отдельно.

В неподвижной слоистой с­реде коэф­фициент и свободный член имеют неподвижные разрывы. Между разрывами считаем их многократно непрерывно дифференцируемыми. Благодаря наличию разрывов решение будет обобщённым. При этом физически правильным является решение, в котором , всюду непрерывны.

Введём по пространству специальную сетку так, чтобы все точки, в которых функции и имеют разрывы, являлись бы узлами сетки. Схему для узловых значений построим методом прямых, интегрируя (1.2) по пространству:

6 47

8 59

При этом под узловыми значениями функции надо подразумевать всегда односторонние пределы изнутри данного интервала. Но для теплопроводности величины и непрерывны всюду, в том числе на разрывах коэффициентов. Поэтому для них это просто узловые значения.

Задача получения бикомпактной пространственной аппроксимации заданной точности сводится к взятию интегралов в правых частях (1.3), (1.4) с нужной точностью. Так, для получения схемы точности , интегралы берутся по формуле трапеций, а для получения точности , интегралы аппроксимируются по формуле Симпсона 4-го порядка.

В схеме второго порядка точности по пространству, алгебраическими преобразованиями удаётся исключить поток, в результате чего получается схема, которую формально можно назвать трёхточечной, однако она полностью эквивалентна двухточечной и сохраняет аппроксимацию для слоистых сред. Получаемая схема отличается от традиционной схемы для уравнения теплопроводности тем, что в левой части вместо производной по времени в центральном узле шаблона стоит линейная комбинация производных в трёх узлах. Это, незначительное на первый взгляд, отличие приводит к тому, что полученная схема обладает уникальным спектром - . Очевидно, что собственные значения (СЗ) этой схемы растут много быстрее, чем СЗ классической схемы - и даже чем СЗ точного решения .

Рисунок 1 иллюстрирует поведение спектров рассматриваемых схем. Видно, что для бикомпактной схемы второго порядка высокие гармоники затухают гораздо быстрее не только классической схемы, но и точного решения, что обеспечивает получение более гладкого решения.

Во второй главе описывается методика диагностики особенностей точных решений при численном интегрировании дифференциальных уравнений. В общем виде, задачу, которую помогает решать предлагаемая методика можно сформулировать так. Предположим, что существует некоторый алгоритм решения определённого класса задач. Предположим так же, что есть конкретная задача, точное решение которой имеет особенность в какой-либо точке. Возникает вопрос: можно ли по результатам работы численного алгоритма понять, в какой точке решение имеет особенность и какого рода эта особенность?

 Спектры схем. Такая задача была-21

Рис. 1. Спектры схем.

Такая задача была поставлена в 2003 году на семинаре академика Г.И. Марчука в Институте вычислительной математики РАН. Тогда был предложен следующий пример: задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ):

. 10611

Точное решение задачи выглядит следующим образом:

. 12713

Оно имеет особенность в точке и не существует при .

Будем численно решать задачу (1.5), например, по явной схеме Эйлера порядка точности с постоянным шагом

,

где - значение в следующий момент времени.

Численное решение положительно, монотонно возрастает и существует при сколь угодно больших . По его виду невозможно сделать вывод о наличии полюса у точного решения. Кажется, что точное решение быстро возрастает и существует при любых . Такое же качественное поведение дают явные схемы Рунге-Кутта более высоких порядков точности.

В данной работе приводится методика диагностики решения на наличие особенностей. Она основана на приеме сгущения сеток и позволяет выявлять не только сингулярности решения, но и более тонкие особенности: например, ограниченность числа непрерывных производных.

Отметим здесь, что единственным исследованием, посвящённым этой тематике, которое удалось найти, является работа японцев Чиаки Хирота и Казуфуми Озава [20]. Методика диагностики особенностей, предложенная в этой работе предполагает 1) автономизацию исходной системы ОДУ 2) дифференцирование автономизированной системы ОДУ по длине дуги и 3) анализ поведения отдельных компонент решения полученной таким образом системы при расчётах для серии конечных длин дуги.

Эта методика позволяет диагностировать только степенные особенности и предполагает аналитическую модификацию исходной задачи.

Методика предлагаемая в данной работе основана на одностадийной схеме Розенброка с комплексным коэффициентом [21] и методе апостериорной оценки точности, предложенной Ричардсоном в 1927 году.



Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:







 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.