авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |

Корректность краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции

-- [ Страница 1 ] --

На правах рукописи

Туласынов Михаил Станиславович

КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ

01.01.02 – дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Якутск – 2008

Работа выполнена на кафедре математического анализа Института математики и информатики ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Попов Сергей Вячеславович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов Александр Иванович,

Институт математики им. С.Л. Соболева

СО РАН (г. Новосибирск),

кандидат физико-математических наук,

доцент Цыбиков Баир Номоевич,

Югорский государственный университет

(г. Ханты-Мансийск)

Ведущая организация: Сибирский Федеральный Университет

(г. Красноярск)

Защита состоится 12 ноября 2008 года в 16 часов на заседании диссертационного совета К.212.306.05 при ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова» по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Кулаковского 48, КФЕН ЯГУ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова

Автореферат разослан ___ октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета В.Е. Федоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных давно. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы французского математика М. Жевре в 1913-1914 гг. К ним относится также ряд эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения.

В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии (поверхности) или при достижении граничных точек. Это прежде всего линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля. Последним были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Это, в частности, стало причиной возникновения широкого фронта исследований в этом направле-нии, образования больших научных групп.

В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы А.В. Бицадзе, И.Н. Векуа, В.Н. Монахова, С.А. Терсенова, Т.И. Зеленяка, А.П. Солдатова, Т.Ш. Кальменова, М.М. Смирнова и их научных школ. Общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа была предметом исследований В.Н. Врагова, Г.Д. Каратопраклиева, А.Г. Кузьмина, А.И. Кожанова, С.Г. Пяткова, И.Е. Егорова, А.Г. Подгаева и других авторов.



Большое число работ посвящено изучению линейных сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции. Простейшей моделью является уравнение

(1)

где – эллиптический оператор второго порядка с оператором Бесселя . Данное уравнение при является параболическим, причем на прямой коэффициент при производной по имеет особенность. Для него задача Коши с данными при не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных уравнений такого вида была построена в работах С.А. Терсенова, И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, Н.В. Кислова, И.М. Петрушко, С.В. Попова и других авторов. Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в классах типа решение существует и единственно. Но более гладкие решения существуют только при выполнении конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Отметим, что С.А. Терсенов изучал эти задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций, сводил их разрешимость к разрешимости сингулярного интегрального уравнения, и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде. При этом предполагалось, что условия склеивания на линии раздела должны заключаться в непрерывности решения и ее первой производной по .

В представляемой работе рассматривается случай условий склеивания с полной матрицей с постоянными или переменными коэффициентами, более того, находится зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания.

Цель работы. Целью диссертации является исследование корректности краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции в случае условий склеивания с полной матрицей, включая условия с переменными коэффициентами.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению некоторых интегральных уравнений. Отметим в этом отношении монографии Н.Ф. Гахова (1963), Н.И. Мусхелишвили (1962), а также В.Н. Монахова (1977), С.А. Терсенова (1985).

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

– исследованы вопросы корректности постановки и гладкости решений краевых задач для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с постоянными коэффициентами;

– исследованы вопросы корректности постановки и гладкости решения краевой задачи для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с переменными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в данной работе, основываются на строгих математических доказательствах, и в частных случаях из них следуют известные результаты.

Область применения полученных результатов – краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Полученные результаты также могут послужить основой при постановке и исследовании новых краевых задач.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладыва-лись и неоднократно обсуждались на семинарах «Уравнения с меняющимся направлением эволюции» (ИМИ ЯГУ, руководитель профессор С.В. Попов), «Неклассические задачи математической физики» (ИМ СО РАН, Новосибирск, руководитель профессор А.И. Кожанов), на Всероссийской конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (Якутск: 2003, 2005), на Лаврентьевских чтениях Республики Саха (Якутия) (Якутск: 2002–2008), на Республиканской конференции «Математика. Информатика. Образование.», посвященной 25-летию математическиго факультета ЯГУ (Якутск, 2002), на Всероссийской школе-семинаре для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка" (Якутск: 2004–2008), на IV–V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск: 2004, 2007), на Всероссийской научной конференция с международным участием «Математические моделирование и краевые задачи» (Самара, 2008) и на Международной научной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий – 2008» (Красноярск, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях в научных журналах и сборниках, а также отражены в тезисах 8 докладов на научных конференциях.

Работа частично поддержана конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе «Университеты России»: в 2002–03 г.г. (УР.04.01.048), в 2004 г. (УР.04.01.047), ведомственной научной программой «Развитие научного потенциала высшей школы»: раздел 2. «Университеты России» (№ 2047–05); раздел 3.3 (проект 8427) в 2005 г.

Работа поддержана Федеральным агентством по науке и инновациям программой "Проведение научных исследований молодыми учеными" (2006-РИ-19.0/001/711, IV очередь) за 2006 г. стажировкой в Институт математики имени С.Л. Соболева СО РАН (Новосибирск).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 99 страниц. Список цитируемой литературы содержит 113 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны краткие исторические сведения по теме диссертации, обосновывается актуальность работы, формулируются цели исследования, в кратком виде приводится содержание работы.

Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из трех параграфов. В §1.1 даются основные определения и некоторые свойства гельдеровских пространств, в §1.2 приведены некоторые важные сведения из теории интегральных уравнений, в §1.3 даны некоторые интегро-дифференциальные тождества, которые в дальнейшем используются во второй и третьей главах.

Вторая глава посвящена исследованию краевых задач для сингулярного параболического уравнений с полной матрицей условий склеивания с постоянными коэффициентами. В §2.1 в области рассмотрено сингулярное параболическое уравнение с меняющимся направлением эволюции

, (2)

где .

Ищется ограниченное решение уравнения (2) из пространства Гёльдера , которое удовлетворяет начальным условиям

(3)

и условиям склеивания

(4)

где – заданные действительные постоянные, , , если и , если .

Результатом настоящего параграфа является явное описание условий разрешимости краевой задачи (2)–(4). При этом показано, что разрешимость краевой задачи (2)–(4) при сводится к разрешимости сингулярного интегрального уравнения, иначе – к разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

Если полученные условия разрешимости обозначить в следующем виде:

(5)

где – вполне определенные линейные интегральные операторы относительно и , то основной результат данного параграфа формулируется в виде следующих теорем:

Теорема 2.1. Пусть

  1. и ;
  2. выполнены условия , , и .

Тогда при выполнении условий вида (5) существует единственное решение краевой задачи (2)–(4) из пространства .

Теорема 2.2. Пусть

  1. и ;
  2. – наименьшее целое положительное число такое, что: , , , ;
  3. выполнены условия , , , .

Тогда при выполнении условий вида (5) существует единственное решение краевой задачи (2)–(4) из пространства .





Замечание 2.1 Найденное в теореме 2.2 решение краевой задачи (2)–(4) будет принадлежать пространству

1. , если ;

2. ( – сколь угодно малая положительная постоянная), если .

В §2.2 в области рассмотрена безусловная разрешимость краевой задачи (2)–(4). Параграф разбит на две части. Решение уравнения (2) в первой части ищется из пространства , во второй части при – из более широкого пространства , .

Результаты данного параграфа сформулированы в виде следующих теорем:

Теорема 2.3. Пусть

  1. и ;
  2. и .

Тогда при выполнении двух условий вида (5) существует единственное решение краевой задачи (2)–(4) из пространства .

Теорема 2.4. Пусть

  1. , , ;
  2. выполнены условия , , и , и ;
  3. при выполнены условия , , .

Тогда существует единственное решение краевой задачи (2)–(4) из пространства .

Замечание 2.2. Если и , то найденное в теореме 2.4 решение краевой задачи (2)–(4) будет принадлежать пространству , где – сколь угодно малая положительная постоянная.

В §2.3 в ограниченной области рассмотрено уравнение (2). Решение уравнения (2) ищется из пространства Гёльдера , которое удовлетворяет начально-краевым условиям

(6)

и условиям склеивания (4).

Основным результатом данного параграфа являются следующие теоремы:

Теорема 2.5. Пусть

  1. , и выполнены условия согласования ;
  2. выполнены условия , и .

Тогда при выполнении условий вида (5) существует единственное решение (2), (4), (6) из пространства .

Теорема 2.6. Пусть

  1. , и выполнены условия согласования ;
  2. – наименьшее целое положительное число такое, что: , , , ;
  3. выполнены условия , , , .

Тогда при выполнении условий вида (5) существует единственное решение (2), (4), (6) из пространства .

Замечание 2.3. Найденное в теореме 2.6 решение краевой задачи (2), (4), (6) будет принадлежать пространству

1. , если ;

2. ( – сколь угодно малая положительная постоянная), если .

Третья глава посвящена исследованию краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с переменными коэффициентами. В §3.1 в области рассмотрено модельное параболическое уравнение с меняющимся направлением эволюции

. (7)

Ищется ограниченное решение уравнения (7) из пространства Гёльдера , которое удовлетворяет начальным условиям

(8)

и условиям склеивания

(9)

где – заданные гладкие функции, причем – невырожденная матрица .

Основной результат данного параграфа формулируется в виде следующей теоремы:

Теорема 3.1. Пусть

  1. и ;
  2. при выполнены условия , , , и ;
  3. при выполнены условия , и .

Тогда при выполнении условий вида (5) существует единственное решение краевой задачи (7)(9) из пространства .

Замечание 3.1 Найденное в теореме 3.1 решение краевой задачи (7)(9) при будет принадлежать пространству

1. , если ;

2. ( - сколь угодно малая положительная постоянная), если .



Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:










 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.